Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvh2dim Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvh2dim 40620
Description: There is a vector that is outside the span of another. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvh3dim.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvh3dim.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvh3dim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dvh3dim.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dvh3dim.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dvh2dim (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   π‘Š(𝑧)
Proof of Theorem dvh2dim
StepHypRef Expression
1 dvh3dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvh3dim.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvh3dim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2731 . . . . 5 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5 dvh3dim.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dvh1dim 40617 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
8 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ))
98sneqd 4640 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ {𝑋} = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
109fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}))
111, 2, 5dvhlmod 40285 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
12 dvh3dim.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
134, 12lspsn0 20764 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1610, 15eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1716eleq2d 2818 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
18 velsn 4644 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ↔ 𝑧 = (0gβ€˜π‘ˆ))
1917, 18bitrdi 287 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ 𝑧 = (0gβ€˜π‘ˆ)))
2019necon3bbid 2977 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)))
2120rexbidv 3177 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 𝑧 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)))
227, 21mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
235adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
24 dvh3dim.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2524adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
26 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
271, 2, 3, 12, 23, 25, 25, 4, 26, 26dvhdimlem 40619 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑋}))
28 dfsn2 4641 . . . . . . 7 {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
2928fveq2i 6894 . . . . . 6 (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑋, 𝑋})
3029eleq2i 2824 . . . . 5 (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑋}))
3130notbii 320 . . . 4 (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑋}))
3231rexbii 3093 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑋}))
3327, 32sylibr 233 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
3422, 33pm2.61dane 3028 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  0gc0g 17390  LModclmod 20615  LSpanclspn 20727  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-undef 8261  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570
This theorem is referenced by:  dvh3dim  40621  dochsnnz  40625  hdmapevec  41010  hdmaprnlem15N  41036
  Copyright terms: Public domain W3C validator