Theorem dvh2dim 41905

Description: There is a vector that is outside the span of another. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh2dim	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh2dim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 41902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
8		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (0g‘𝑈))
9	8	sneqd 4580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → {𝑋} = {(0g‘𝑈)})
10	9	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
11	1, 2, 5	dvhlmod 41570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		dvh3dim.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13	4, 12	lspsn0 20994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
16	10, 15	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)})
17	16	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ {(0g‘𝑈)}))
18		velsn 4584	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {(0g‘𝑈)} ↔ 𝑧 = (0g‘𝑈))
19	17, 18	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 = (0g‘𝑈)))
20	19	necon3bbid 2970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
21	20	rexbidv 3162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
22	7, 21	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
27	1, 2, 3, 12, 23, 25, 25, 4, 26, 26	dvhdimlem 41904	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
28		dfsn2 4581	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
29	28	fveq2i 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑋})
30	29	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
31	30	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
32	31	rexbii 3085	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
33	27, 32	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
34	22, 33	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {csn 4568  {cpr 4570  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  LModclmod 20846  LSpanclspn 20957  HLchlt 39810  LHypclh 40444  DVecHcdvh 41538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-riotaBAD 39413

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-undef 8216  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-proset 18251  df-poset 18270  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090  df-lsatoms 39436  df-oposet 39636  df-ol 39638  df-oml 39639  df-covers 39726  df-ats 39727  df-atl 39758  df-cvlat 39782  df-hlat 39811  df-llines 39958  df-lplanes 39959  df-lvols 39960  df-lines 39961  df-psubsp 39963  df-pmap 39964  df-padd 40256  df-lhyp 40448  df-laut 40449  df-ldil 40564  df-ltrn 40565  df-trl 40619  df-tgrp 41203  df-tendo 41215  df-edring 41217  df-dveca 41463  df-disoa 41489  df-dvech 41539  df-dib 41599  df-dic 41633  df-dih 41689  df-doch 41808  df-djh 41855

This theorem is referenced by:  dvh3dim  41906  dochsnnz  41910  hdmapevec  42295  hdmaprnlem15N  42321