Theorem dvh2dim 41434

Description: There is a vector that is outside the span of another. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvh3dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvh3dim.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dvh3dim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dvh3dim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dvh3dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dvh3dim.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dvh2dim	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑁   𝑧,𝑈   𝑧,𝑉   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧)   𝐾(𝑧)   𝑊(𝑧)

Proof of Theorem dvh2dim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvh3dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvh3dim.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dvh3dim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		dvh3dim.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dvh1dim 41431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ (0g‘𝑈))
8		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (0g‘𝑈))
9	8	sneqd 4589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → {𝑋} = {(0g‘𝑈)})
10	9	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
11	1, 2, 5	dvhlmod 41099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		dvh3dim.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13	4, 12	lspsn0 20911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
16	10, 15	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)})
17	16	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ {(0g‘𝑈)}))
18		velsn 4593	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {(0g‘𝑈)} ↔ 𝑧 = (0g‘𝑈))
19	17, 18	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 = (0g‘𝑈)))
20	19	necon3bbid 2962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
21	20	rexbidv 3153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 𝑧 ≠ (0g‘𝑈)))
22	7, 21	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
23	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24		dvh3dim.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
27	1, 2, 3, 12, 23, 25, 25, 4, 26, 26	dvhdimlem 41433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
28		dfsn2 4590	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
29	28	fveq2i 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋, 𝑋})
30	29	eleq2i 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
31	30	notbii 320	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
32	31	rexbii 3076	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑋}))
33	27, 32	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
34	22, 33	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑉 ¬ 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {csn 4577  {cpr 4579  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  LModclmod 20763  LSpanclspn 20874  HLchlt 39339  LHypclh 39973  DVecHcdvh 41067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 38942

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-undef 8206  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-lsm 19515  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lvec 21007  df-lsatoms 38965  df-oposet 39165  df-ol 39167  df-oml 39168  df-covers 39255  df-ats 39256  df-atl 39287  df-cvlat 39311  df-hlat 39340  df-llines 39487  df-lplanes 39488  df-lvols 39489  df-lines 39490  df-psubsp 39492  df-pmap 39493  df-padd 39785  df-lhyp 39977  df-laut 39978  df-ldil 40093  df-ltrn 40094  df-trl 40148  df-tgrp 40732  df-tendo 40744  df-edring 40746  df-dveca 40992  df-disoa 41018  df-dvech 41068  df-dib 41128  df-dic 41162  df-dih 41218  df-doch 41337  df-djh 41384

This theorem is referenced by:  dvh3dim  41435  dochsnnz  41439  hdmapevec  41824  hdmaprnlem15N  41850