Theorem dihjat1 41417

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 39841 analog.) (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihjat1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4595	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {𝑇} = {(0g‘𝑈)})
2	1	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
3		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 41098	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihjat1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9	7, 8	lspsn0 20947	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
11	2, 10	sylan9eqr 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) = {(0g‘𝑈)})
12	11	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}))
13		dihjat1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		dihjat1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
15		dihjat1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
16	3, 4, 7, 13, 14, 5, 15	djh01 41400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
18	11	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}))
19		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	3, 4, 13, 19	dihrnlss 41265	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	5, 15, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 20896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	6, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	7, 24	lsm01 19586	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
28	18, 27	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	12, 17, 28	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
30		dihjat1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
31	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33		dihjat1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
34	33	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
35		eldifsn 4746	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
36	34, 35	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
37	3, 4, 30, 24, 8, 13, 14, 31, 32, 7, 36	dihjat1lem 41416	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
38	29, 37	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908  {csn 4585  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156  0_gc0g 17379  SubGrpcsubg 19035  LSSumclsm 19549  LModclmod 20799  LSubSpclss 20870  LSpanclspn 20910  HLchlt 39337  LHypclh 39972  DVecHcdvh 41066  DIsoHcdih 41216  joinHcdjh 41382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-riotaBAD 38940

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17381  df-proset 18236  df-poset 18255  df-plt 18270  df-lub 18286  df-glb 18287  df-join 18288  df-meet 18289  df-p0 18365  df-p1 18366  df-lat 18374  df-clat 18441  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19232  df-lsm 19551  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-oppr 20258  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lvec 21043  df-lsatoms 38963  df-oposet 39163  df-ol 39165  df-oml 39166  df-covers 39253  df-ats 39254  df-atl 39285  df-cvlat 39309  df-hlat 39338  df-llines 39486  df-lplanes 39487  df-lvols 39488  df-lines 39489  df-psubsp 39491  df-pmap 39492  df-padd 39784  df-lhyp 39976  df-laut 39977  df-ldil 40092  df-ltrn 40093  df-trl 40147  df-tgrp 40731  df-tendo 40743  df-edring 40745  df-dveca 40991  df-disoa 41017  df-dvech 41067  df-dib 41127  df-dic 41161  df-dih 41217  df-doch 41336  df-djh 41383

This theorem is referenced by:  dihsmsprn  41418  dihjat2  41419  lclkrlem2c  41497  lcfrlem23  41553