Theorem dihjat1 42289

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 40713 analog.) (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihjat1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4597	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {𝑇} = {(0g‘𝑈)})
2	1	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
3		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 41970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihjat1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9	7, 8	lspsn0 21193	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
10	6, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
11	2, 10	sylan9eqr 2819	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) = {(0g‘𝑈)})
12	11	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}))
13		dihjat1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		dihjat1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
15		dihjat1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
16	3, 4, 7, 13, 14, 5, 15	djh01 42272	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
18	11	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}))
19		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	3, 4, 13, 19	dihrnlss 42137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	5, 15, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 21142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	6, 21, 22	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	7, 24	lsm01 19799	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
26	23, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
28	18, 27	eqtr2d 2798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	12, 17, 28	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
30		dihjat1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
31	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33		dihjat1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
34	33	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
35		eldifsn 4751	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
36	34, 35	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
37	3, 4, 30, 24, 8, 13, 14, 31, 32, 7, 36	dihjat1lem 42288	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
38	29, 37	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899  {csn 4587  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  SubGrpcsubg 19244  LSSumclsm 19762  LModclmod 21045  LSubSpclss 21116  LSpanclspn 21156  HLchlt 40210  LHypclh 40844  DVecHcdvh 41938  DIsoHcdih 42088  joinHcdjh 42254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39813

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-0g 17530  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39836  df-oposet 40036  df-ol 40038  df-oml 40039  df-covers 40126  df-ats 40127  df-atl 40158  df-cvlat 40182  df-hlat 40211  df-llines 40358  df-lplanes 40359  df-lvols 40360  df-lines 40361  df-psubsp 40363  df-pmap 40364  df-padd 40656  df-lhyp 40848  df-laut 40849  df-ldil 40964  df-ltrn 40965  df-trl 41019  df-tgrp 41603  df-tendo 41615  df-edring 41617  df-dveca 41863  df-disoa 41889  df-dvech 41939  df-dib 41999  df-dic 42033  df-dih 42089  df-doch 42208  df-djh 42255

This theorem is used by:  dihsmsprn  42290  dihjat2  42291  lclkrlem2c  42369  lcfrlem23  42425