Theorem dihjat1 40206

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 38630 analog.) (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihjat1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4634	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {𝑇} = {(0g‘𝑈)})
2	1	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
3		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 39887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihjat1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9	7, 8	lspsn0 20596	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
11	2, 10	sylan9eqr 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) = {(0g‘𝑈)})
12	11	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}))
13		dihjat1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		dihjat1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
15		dihjat1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
16	3, 4, 7, 13, 14, 5, 15	djh01 40189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
17	16	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
18	11	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}))
19		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	3, 4, 13, 19	dihrnlss 40054	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	5, 15, 20	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 20545	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	6, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	7, 24	lsm01 19523	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
27	26	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
28	18, 27	eqtr2d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	12, 17, 28	3eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
30		dihjat1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
31	5	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32	15	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33		dihjat1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
34	33	anim1i 616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
35		eldifsn 4786	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
36	34, 35	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
37	3, 4, 30, 24, 8, 13, 14, 31, 32, 7, 36	dihjat1lem 40205	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
38	29, 37	pm2.61dane 3030	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3943  {csn 4624  ran crn 5673  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  Basecbs 17131  0_gc0g 17372  SubGrpcsubg 18985  LSSumclsm 19486  LModclmod 20448  LSubSpclss 20519  LSpanclspn 20559  HLchlt 38126  LHypclh 38761  DVecHcdvh 39855  DIsoHcdih 40005  joinHcdjh 40171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-riotaBAD 37729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-tpos 8198  df-undef 8245  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-0g 17374  df-proset 18235  df-poset 18253  df-plt 18270  df-lub 18286  df-glb 18287  df-join 18288  df-meet 18289  df-p0 18365  df-p1 18366  df-lat 18372  df-clat 18439  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-subg 18988  df-cntz 19166  df-lsm 19488  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-invr 20180  df-dvr 20193  df-drng 20295  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lsp 20560  df-lvec 20691  df-lsatoms 37752  df-oposet 37952  df-ol 37954  df-oml 37955  df-covers 38042  df-ats 38043  df-atl 38074  df-cvlat 38098  df-hlat 38127  df-llines 38275  df-lplanes 38276  df-lvols 38277  df-lines 38278  df-psubsp 38280  df-pmap 38281  df-padd 38573  df-lhyp 38765  df-laut 38766  df-ldil 38881  df-ltrn 38882  df-trl 38936  df-tgrp 39520  df-tendo 39532  df-edring 39534  df-dveca 39780  df-disoa 39806  df-dvech 39856  df-dib 39916  df-dic 39950  df-dih 40006  df-doch 40125  df-djh 40172

This theorem is referenced by:  dihsmsprn  40207  dihjat2  40208  lclkrlem2c  40286  lcfrlem23  40342