Theorem dihjat1 37592

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 36016 analog.) (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihjat1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4408	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {𝑇} = {(0g‘𝑈)})
2	1	fveq2d 6452	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
3		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 37273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihjat1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9	7, 8	lspsn0 19414	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
11	2, 10	sylan9eqr 2836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) = {(0g‘𝑈)})
12	11	oveq2d 6940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}))
13		dihjat1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		dihjat1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
15		dihjat1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
16	3, 4, 7, 13, 14, 5, 15	djh01 37575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
17	16	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
18	11	oveq2d 6940	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}))
19		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	3, 4, 13, 19	dihrnlss 37440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	5, 15, 20	syl2anc 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 19363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	6, 21, 22	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	7, 24	lsm01 18479	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
27	26	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
28	18, 27	eqtr2d 2815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	12, 17, 28	3eqtrd 2818	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
30		dihjat1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
31	5	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32	15	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33		dihjat1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
34	33	anim1i 608	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
35		eldifsn 4550	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
36	34, 35	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
37	3, 4, 30, 24, 8, 13, 14, 31, 32, 7, 36	dihjat1lem 37591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
38	29, 37	pm2.61dane 3057	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ∖ cdif 3789  {csn 4398  ran crn 5358  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  0_gc0g 16497  SubGrpcsubg 17983  LSSumclsm 18444  LModclmod 19266  LSubSpclss 19335  LSpanclspn 19377  HLchlt 35513  LHypclh 36147  DVecHcdvh 37241  DIsoHcdih 37391  joinHcdjh 37557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-riotaBAD 35116

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-undef 7683  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-0g 16499  df-proset 17325  df-poset 17343  df-plt 17355  df-lub 17371  df-glb 17372  df-join 17373  df-meet 17374  df-p0 17436  df-p1 17437  df-lat 17443  df-clat 17505  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-cntz 18144  df-lsm 18446  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-drng 19152  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-lvec 19509  df-lsatoms 35139  df-oposet 35339  df-ol 35341  df-oml 35342  df-covers 35429  df-ats 35430  df-atl 35461  df-cvlat 35485  df-hlat 35514  df-llines 35661  df-lplanes 35662  df-lvols 35663  df-lines 35664  df-psubsp 35666  df-pmap 35667  df-padd 35959  df-lhyp 36151  df-laut 36152  df-ldil 36267  df-ltrn 36268  df-trl 36322  df-tgrp 36906  df-tendo 36918  df-edring 36920  df-dveca 37166  df-disoa 37192  df-dvech 37242  df-dib 37302  df-dic 37336  df-dih 37392  df-doch 37511  df-djh 37558

This theorem is referenced by:  dihsmsprn  37593  dihjat2  37594  lclkrlem2c  37672  lcfrlem23  37728