Theorem dihjat1 41897

Description: Subspace sum of a closed subspace and an atom. (pmapjat1 40321 analog.) (Contributed by NM, 1-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihjat1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihjat1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat1.q	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihjat1	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Proof of Theorem dihjat1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4578	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {𝑇} = {(0g‘𝑈)})
2	1	fveq2d 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
3		dihjat1.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihjat1.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihjat1.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	3, 4, 5	dvhlmod 41578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8		dihjat1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9	7, 8	lspsn0 21000	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
11	2, 10	sylan9eqr 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑇}) = {(0g‘𝑈)})
12	11	oveq2d 7380	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}))
13		dihjat1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14		dihjat1.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
15		dihjat1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
16	3, 4, 7, 13, 14, 5, 15	djh01 41880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
18	11	oveq2d 7380	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}))
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
20	3, 4, 13, 19	dihrnlss 41745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	5, 15, 20	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	19	lsssubg 20949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈)) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
23	6, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈))
24		dihjat1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
25	7, 24	lsm01 19643	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑈) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
26	23, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ⊕ {(0g‘𝑈)}) = 𝑋)
28	18, 27	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
29	12, 17, 28	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 = (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
30		dihjat1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
31	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
32	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
33		dihjat1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
34	33	anim1i 616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
35		eldifsn 4730	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
36	34, 35	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
37	3, 4, 30, 24, 8, 13, 14, 31, 32, 7, 36	dihjat1lem 41896	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
38	29, 37	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ (𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ran crn 5629  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176  0_gc0g 17399  SubGrpcsubg 19093  LSSumclsm 19606  LModclmod 20852  LSubSpclss 20923  LSpanclspn 20963  HLchlt 39818  LHypclh 40452  DVecHcdvh 41546  DIsoHcdih 41696  joinHcdjh 41862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-riotaBAD 39421

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-tpos 8173  df-undef 8220  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-fz 13459  df-struct 17114  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-sca 17233  df-vsca 17234  df-0g 17401  df-proset 18257  df-poset 18276  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18749  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-sbg 18911  df-subg 19096  df-cntz 19289  df-lsm 19608  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20314  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-drng 20705  df-lmod 20854  df-lss 20924  df-lsp 20964  df-lvec 21096  df-lsatoms 39444  df-oposet 39644  df-ol 39646  df-oml 39647  df-covers 39734  df-ats 39735  df-atl 39766  df-cvlat 39790  df-hlat 39819  df-llines 39966  df-lplanes 39967  df-lvols 39968  df-lines 39969  df-psubsp 39971  df-pmap 39972  df-padd 40264  df-lhyp 40456  df-laut 40457  df-ldil 40572  df-ltrn 40573  df-trl 40627  df-tgrp 41211  df-tendo 41223  df-edring 41225  df-dveca 41471  df-disoa 41497  df-dvech 41547  df-dib 41607  df-dic 41641  df-dih 41697  df-doch 41816  df-djh 41863

This theorem is referenced by:  dihsmsprn  41898  dihjat2  41899  lclkrlem2c  41977  lcfrlem23  42033