Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap10 41487
Description: Part 10 in [Baer] p. 48 line 33, (Ft)* = G(tS) in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 17-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap10.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap10.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap10.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap10.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap10.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap10.t (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmap10 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆𝑇)}))

Proof of Theorem hdmap10
StepHypRef Expression
1 sneq 4642 . . . . 5 (𝑇 = (0g𝑈) → {𝑇} = {(0g𝑈)})
21fveq2d 6904 . . . 4 (𝑇 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g𝑈)}))
32fveq2d 6904 . . 3 (𝑇 = (0g𝑈) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝑀‘(𝑁‘{(0g𝑈)})))
4 fveq2 6900 . . . . 5 (𝑇 = (0g𝑈) → (𝑆𝑇) = (𝑆‘(0g𝑈)))
54sneqd 4644 . . . 4 (𝑇 = (0g𝑈) → {(𝑆𝑇)} = {(𝑆‘(0g𝑈))})
65fveq2d 6904 . . 3 (𝑇 = (0g𝑈) → (𝐿‘{(𝑆𝑇)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g𝑈))}))
73, 6eqeq12d 2741 . 2 (𝑇 = (0g𝑈) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆𝑇)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(0g𝑈)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g𝑈))})))
8 hdmap10.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 hdmap10.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap10.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 hdmap10.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12 hdmap10.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13 hdmap10.l . . 3 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14 hdmap10.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap10.s . . 3 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmap10.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1716adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
18 eqid 2725 . . 3 ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
19 eqid 2725 . . 3 (0g𝑈) = (0g𝑈)
20 eqid 2725 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
21 eqid 2725 . . 3 ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22 eqid 2725 . . 3 ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23 hdmap10.t . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
2423anim1i 613 . . . 4 ((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) → (𝑇𝑉𝑇 ≠ (0g𝑈)))
25 eldifsn 4794 . . . 4 (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝑇𝑉𝑇 ≠ (0g𝑈)))
2624, 25sylibr 233 . . 3 ((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
278, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26hdmap10lem 41486 . 2 ((𝜑𝑇 ≠ (0g𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆𝑇)}))
288, 9, 16dvhlmod 40757 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
2919, 11lspsn0 20932 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
3028, 29syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
3130fveq2d 6904 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(0g𝑈)})) = (𝑀‘{(0g𝑈)}))
32 eqid 2725 . . . 4 (0g𝐶) = (0g𝐶)
338, 14, 9, 19, 12, 32, 16mapd0 41312 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝐶)})
348, 9, 19, 12, 32, 15, 16hdmapval0 41480 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(0g𝑈)) = (0g𝐶))
3534sneqd 4644 . . . . 5 (𝜑 → {(𝑆‘(0g𝑈))} = {(0g𝐶)})
3635fveq2d 6904 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘(0g𝑈))}) = (𝐿‘{(0g𝐶)}))
378, 12, 16lcdlmod 41239 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
3832, 13lspsn0 20932 . . . . 5 (𝐶 ∈ LMod → (𝐿‘{(0g𝐶)}) = {(0g𝐶)})
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{(0g𝐶)}) = {(0g𝐶)})
4036, 39eqtr2d 2766 . . 3 (𝜑 → {(0g𝐶)} = (𝐿‘{(𝑆‘(0g𝑈))}))
4131, 33, 403eqtrd 2769 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(0g𝑈)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g𝑈))}))
427, 27, 41pm2.61ne 3016 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆𝑇)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3943  {csn 4632  cop 4638   I cid 5578  cres 5683  cfv 6553  Basecbs 17208  0gc0g 17449  LModclmod 20783  LSpanclspn 20895  HLchlt 38996  LHypclh 39631  LTrncltrn 39748  DVecHcdvh 40725  LCDualclcd 41233  mapdcmpd 41271  HVMapchvm 41403  HDMap1chdma1 41438  HDMapchdma 41439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-riotaBAD 38599
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-0g 17451  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19112  df-cntz 19306  df-oppg 19335  df-lsm 19629  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-drng 20666  df-lmod 20785  df-lss 20856  df-lsp 20896  df-lvec 21028  df-lsatoms 38622  df-lshyp 38623  df-lcv 38665  df-lfl 38704  df-lkr 38732  df-ldual 38770  df-oposet 38822  df-ol 38824  df-oml 38825  df-covers 38912  df-ats 38913  df-atl 38944  df-cvlat 38968  df-hlat 38997  df-llines 39145  df-lplanes 39146  df-lvols 39147  df-lines 39148  df-psubsp 39150  df-pmap 39151  df-padd 39443  df-lhyp 39635  df-laut 39636  df-ldil 39751  df-ltrn 39752  df-trl 39806  df-tgrp 40390  df-tendo 40402  df-edring 40404  df-dveca 40650  df-disoa 40676  df-dvech 40726  df-dib 40786  df-dic 40820  df-dih 40876  df-doch 40995  df-djh 41042  df-lcdual 41234  df-mapd 41272  df-hvmap 41404  df-hdmap1 41440  df-hdmap 41441
This theorem is referenced by:  hdmapeq0  41491  hdmaprnlem1N  41496  hdmaprnlem3uN  41498  hdmaprnlem6N  41501  hdmaprnlem8N  41503  hdmaprnlem3eN  41505  hdmap14lem1a  41513  hdmap14lem9  41523  hgmaprnlem2N  41544  hdmaplkr  41560
  Copyright terms: Public domain W3C validator