Theorem hdmap10 42428

Description: Part 10 in [Baer] p. 48 line 33, (Ft)* = G(tS) in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap10.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap10.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap10.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap10.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap10.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap10.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmap10	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Proof of Theorem hdmap10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4591	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {𝑇} = {(0g‘𝑈)})
2	1	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
3	2	fveq2d 6867	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})))
4		fveq2 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘(0g‘𝑈)))
5	4	sneqd 4593	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {(𝑆‘𝑇)} = {(𝑆‘(0g‘𝑈))})
6	5	fveq2d 6867	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
7	3, 6	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))})))
8		hdmap10.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		hdmap10.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap10.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		hdmap10.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12		hdmap10.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap10.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14		hdmap10.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap10.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap10.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18		eqid 2761	. . 3 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
19		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
20		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23		hdmap10.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
24	23	anim1i 624	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
25		eldifsn 4745	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
26	24, 25	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
27	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26	hdmap10lem 42427	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))
28	8, 9, 16	dvhlmod 41698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
29	19, 11	lspsn0 21055	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
31	30	fveq2d 6867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝑀‘{(0g‘𝑈)}))
32		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
33	8, 14, 9, 19, 12, 32, 16	mapd0 42253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
34	8, 9, 19, 12, 32, 15, 16	hdmapval0 42421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (0g‘𝐶))
35	34	sneqd 4593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑆‘(0g‘𝑈))} = {(0g‘𝐶)})
36	35	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}) = (𝐿‘{(0g‘𝐶)}))
37	8, 12, 16	lcdlmod 42180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
38	32, 13	lspsn0 21055	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (𝐿‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
40	36, 39	eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
41	31, 33, 40	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
42	7, 27, 41	pm2.61ne 3041	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901  {csn 4581  ⟨cop 4587   I cid 5539   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  LModclmod 20907  LSpanclspn 21018  HLchlt 39938  LHypclh 40572  LTrncltrn 40689  DVecHcdvh 41666  LCDualclcd 42174  mapdcmpd 42212  HVMapchvm 42344  HDMap1chdma1 42379  HDMapchdma 42380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-riotaBAD 39541

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-undef 8248  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-proset 18309  df-poset 18328  df-plt 18343  df-lub 18359  df-glb 18360  df-join 18361  df-meet 18362  df-p0 18438  df-p1 18439  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-lsm 19659  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-nzr 20542  df-rlreg 20723  df-domn 20724  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lvec 21150  df-lsatoms 39564  df-lshyp 39565  df-lcv 39607  df-lfl 39646  df-lkr 39674  df-ldual 39712  df-oposet 39764  df-ol 39766  df-oml 39767  df-covers 39854  df-ats 39855  df-atl 39886  df-cvlat 39910  df-hlat 39939  df-llines 40086  df-lplanes 40087  df-lvols 40088  df-lines 40089  df-psubsp 40091  df-pmap 40092  df-padd 40384  df-lhyp 40576  df-laut 40577  df-ldil 40692  df-ltrn 40693  df-trl 40747  df-tgrp 41331  df-tendo 41343  df-edring 41345  df-dveca 41591  df-disoa 41617  df-dvech 41667  df-dib 41727  df-dic 41761  df-dih 41817  df-doch 41936  df-djh 41983  df-lcdual 42175  df-mapd 42213  df-hvmap 42345  df-hdmap1 42381  df-hdmap 42382

This theorem is referenced by:  hdmapeq0  42432  hdmaprnlem1N  42437  hdmaprnlem3uN  42439  hdmaprnlem6N  42442  hdmaprnlem8N  42444  hdmaprnlem3eN  42446  hdmap14lem1a  42454  hdmap14lem9  42464  hgmaprnlem2N  42485  hdmaplkr  42501