Theorem hdmap10 41167

Description: Part 10 in [Baer] p. 48 line 33, (Ft)* = G(tS) in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap10.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap10.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap10.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap10.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap10.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap10.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmap10	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Proof of Theorem hdmap10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4630	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {𝑇} = {(0g‘𝑈)})
2	1	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
3	2	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})))
4		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘(0g‘𝑈)))
5	4	sneqd 4632	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {(𝑆‘𝑇)} = {(𝑆‘(0g‘𝑈))})
6	5	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
7	3, 6	eqeq12d 2740	. 2 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))})))
8		hdmap10.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		hdmap10.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap10.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		hdmap10.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12		hdmap10.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap10.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14		hdmap10.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap10.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap10.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18		eqid 2724	. . 3 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
19		eqid 2724	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
20		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
21		eqid 2724	. . 3 ⊢ ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22		eqid 2724	. . 3 ⊢ ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23		hdmap10.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
24	23	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
25		eldifsn 4782	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
26	24, 25	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
27	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26	hdmap10lem 41166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))
28	8, 9, 16	dvhlmod 40437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
29	19, 11	lspsn0 20840	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
31	30	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝑀‘{(0g‘𝑈)}))
32		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
33	8, 14, 9, 19, 12, 32, 16	mapd0 40992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
34	8, 9, 19, 12, 32, 15, 16	hdmapval0 41160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (0g‘𝐶))
35	34	sneqd 4632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑆‘(0g‘𝑈))} = {(0g‘𝐶)})
36	35	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}) = (𝐿‘{(0g‘𝐶)}))
37	8, 12, 16	lcdlmod 40919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
38	32, 13	lspsn0 20840	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (𝐿‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
39	37, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
40	36, 39	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
41	31, 33, 40	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
42	7, 27, 41	pm2.61ne 3019	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3937  {csn 4620  ⟨cop 4626   I cid 5563   ↾ cres 5668  ‘cfv 6533  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LModclmod 20691  LSpanclspn 20803  HLchlt 38676  LHypclh 39311  LTrncltrn 39428  DVecHcdvh 40405  LCDualclcd 40913  mapdcmpd 40951  HVMapchvm 41083  HDMap1chdma1 41118  HDMapchdma 41119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-oppg 19247  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-dvr 20288  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lvec 20936  df-lsatoms 38302  df-lshyp 38303  df-lcv 38345  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tgrp 40070  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-dveca 40330  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675  df-djh 40722  df-lcdual 40914  df-mapd 40952  df-hvmap 41084  df-hdmap1 41120  df-hdmap 41121

This theorem is referenced by:  hdmapeq0  41171  hdmaprnlem1N  41176  hdmaprnlem3uN  41178  hdmaprnlem6N  41181  hdmaprnlem8N  41183  hdmaprnlem3eN  41185  hdmap14lem1a  41193  hdmap14lem9  41203  hgmaprnlem2N  41224  hdmaplkr  41240