Theorem hdmap10 42865

Description: Part 10 in [Baer] p. 48 line 33, (Ft)* = G(tS) in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap10.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap10.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap10.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap10.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap10.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap10.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmap10	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Proof of Theorem hdmap10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 4594	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {𝑇} = {(0g‘𝑈)})
2	1	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑇}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
3	2	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})))
4		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝑆‘𝑇) = (𝑆‘(0g‘𝑈)))
5	4	sneqd 4596	. . . 4 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → {(𝑆‘𝑇)} = {(𝑆‘(0g‘𝑈))})
6	5	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
7	3, 6	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝑇 = (0g‘𝑈) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))})))
8		hdmap10.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		hdmap10.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmap10.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		hdmap10.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12		hdmap10.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		hdmap10.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14		hdmap10.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap10.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap10.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18		eqid 2761	. . 3 ⊢ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
19		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
20		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((HVMap‘𝐾)‘𝑊) = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
22		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊) = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
23		hdmap10.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
24	23	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
25		eldifsn 4748	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)))
26	24, 25	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
27	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 26	hdmap10lem 42864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑇 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))
28	8, 9, 16	dvhlmod 42135	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
29	19, 11	lspsn0 21263	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
30	28, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
31	30	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝑀‘{(0g‘𝑈)}))
32		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
33	8, 14, 9, 19, 12, 32, 16	mapd0 42690	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
34	8, 9, 19, 12, 32, 15, 16	hdmapval0 42858	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(0g‘𝑈)) = (0g‘𝐶))
35	34	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝑆‘(0g‘𝑈))} = {(0g‘𝐶)})
36	35	fveq2d 6881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}) = (𝐿‘{(0g‘𝐶)}))
37	8, 12, 16	lcdlmod 42617	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
38	32, 13	lspsn0 21263	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (𝐿‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
39	37, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(0g‘𝐶)}) = {(0g‘𝐶)})
40	36, 39	eqtr2d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
41	31, 33, 40	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(0g‘𝑈)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(0g‘𝑈))}))
42	7, 27, 41	pm2.61ne 3041	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ⟨cop 4590   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  LModclmod 21115  LSpanclspn 21226  HLchlt 40375  LHypclh 41009  LTrncltrn 41126  DVecHcdvh 42103  LCDualclcd 42611  mapdcmpd 42649  HVMapchvm 42781  HDMap1chdma1 42816  HDMapchdma 42817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-riotaBAD 39978

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-0g 17592  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-oppg 19540  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-nzr 20743  df-rlreg 20926  df-domn 20927  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358  df-lsatoms 40001  df-lshyp 40002  df-lcv 40044  df-lfl 40083  df-lkr 40111  df-ldual 40149  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525  df-lines 40526  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-padd 40821  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184  df-tgrp 41768  df-tendo 41780  df-edring 41782  df-dveca 42028  df-disoa 42054  df-dvech 42104  df-dib 42164  df-dic 42198  df-dih 42254  df-doch 42373  df-djh 42420  df-lcdual 42612  df-mapd 42650  df-hvmap 42782  df-hdmap1 42818  df-hdmap 42819

This theorem is used by:  hdmapeq0  42869  hdmaprnlem1N  42874  hdmaprnlem3uN  42876  hdmaprnlem6N  42879  hdmaprnlem8N  42881  hdmaprnlem3eN  42883  hdmap14lem1a  42891  hdmap14lem9  42901  hgmaprnlem2N  42922  hdmaplkr  42938