Theorem iscmet3i 25273

Description: Properties that determine a complete metric space. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3i.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3i.3	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
iscmet3i.4	⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3i	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝑋

Proof of Theorem iscmet3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12795	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		iscmet3i.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3		1zzd 12527	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4		iscmet3i.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6	1, 2, 3, 5	iscmet3 25254	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))))
7	6	mptru 1549	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
8		iscmet3i.4	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
10	7, 9	mprgbir 3059	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  1c1 11032  ℕcn 12150  Metcmet 21300  MetOpencmopn 21304  ⇝_𝑡clm 23175  Cauccau 25214  CMetccmet 25215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cc 10350  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-omul 8405  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9856  df-acn 9859  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xneg 13031  df-xadd 13032  df-xmul 13033  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fl 13717  df-seq 13930  df-exp 13990  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-rest 17347  df-topgen 17368  df-psmet 21306  df-xmet 21307  df-met 21308  df-bl 21309  df-mopn 21310  df-fbas 21311  df-fg 21312  df-top 22843  df-topon 22860  df-bases 22895  df-ntr 22969  df-nei 23047  df-lm 23178  df-fil 23795  df-fm 23887  df-flim 23888  df-flf 23889  df-cfil 25216  df-cau 25217  df-cmet 25218

This theorem is referenced by:  hhcms  31283  hhsscms  31358