Theorem iscmet3i 25232

Description: Properties that determine a complete metric space. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3i.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3i.3	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
iscmet3i.4	⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3i	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝑋

Proof of Theorem iscmet3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12767	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		iscmet3i.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3		1zzd 12495	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4		iscmet3i.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6	1, 2, 3, 5	iscmet3 25213	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))))
7	6	mptru 1548	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
8		iscmet3i.4	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
10	7, 9	mprgbir 3052	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  dom cdm 5614  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  1c1 10999  ℕcn 12117  Metcmet 21270  MetOpencmopn 21274  ⇝_𝑡clm 23134  Cauccau 25173  CMetccmet 25174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10318  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9824  df-acn 9827  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ico 13243  df-fz 13400  df-fl 13688  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-rest 17318  df-topgen 17339  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-top 22802  df-topon 22819  df-bases 22854  df-ntr 22928  df-nei 23006  df-lm 23137  df-fil 23754  df-fm 23846  df-flim 23847  df-flf 23848  df-cfil 25175  df-cau 25176  df-cmet 25177

This theorem is referenced by:  hhcms  31173  hhsscms  31248