Theorem iscmet3i 25267

Description: Properties that determine a complete metric space. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3i.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3i.3	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
iscmet3i.4	⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3i	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝑋

Proof of Theorem iscmet3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12816	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		iscmet3i.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3		1zzd 12547	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4		iscmet3i.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6	1, 2, 3, 5	iscmet3 25248	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))))
7	6	mptru 1549	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
8		iscmet3i.4	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
10	7, 9	mprgbir 3056	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  dom cdm 5620  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  1c1 11028  ℕcn 12163  Metcmet 21327  MetOpencmopn 21331  ⇝_𝑡clm 23179  Cauccau 25208  CMetccmet 25209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ico 13293  df-fz 13451  df-fl 13740  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899  df-ntr 22973  df-nei 23051  df-lm 23182  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-cfil 25210  df-cau 25211  df-cmet 25212

This theorem is referenced by:  hhcms  31262  hhsscms  31337