MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet3i 24828
Description: Properties that determine a complete metric space. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmet3i.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
iscmet3i.3 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)
iscmet3i.4 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Assertion
Ref Expression
iscmet3i 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝑋

Proof of Theorem iscmet3i
StepHypRef Expression
1 nnuz 12864 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 iscmet3i.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
3 1zzd 12592 . . . 4 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
4 iscmet3i.3 . . . . 5 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹)
54a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
61, 2, 3, 5iscmet3 24809 . . 3 (⊀ β†’ (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))))
76mptru 1548 . 2 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Cauβ€˜π·)(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
8 iscmet3i.4 . . 3 ((𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
98ex 413 . 2 (𝑓 ∈ (Cauβ€˜π·) β†’ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ β†’ 𝑓 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½)))
107, 9mprgbir 3068 1 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βŠ€wtru 1542   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  1c1 11110  β„•cn 12211  Metcmet 20929  MetOpencmopn 20933  β‡π‘‘clm 22729  Cauccau 24769  CMetccmet 24770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-ntr 22523  df-nei 22601  df-lm 22732  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773
This theorem is referenced by:  hhcms  30451  hhsscms  30526
  Copyright terms: Public domain W3C validator