Theorem iscmet3i 25212

Description: Properties that determine a complete metric space. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmet3i.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
iscmet3i.3	⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
iscmet3i.4	⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iscmet3i	⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑓   𝑓,𝐽   𝑓,𝑋

Proof of Theorem iscmet3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12836	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		iscmet3i.2	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3		1zzd 12564	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4		iscmet3i.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6	1, 2, 3, 5	iscmet3 25193	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))))
7	6	mptru 1547	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
8		iscmet3i.4	. . 3 ⊢ ((𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
9	8	ex 412	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
10	7, 9	mprgbir 3051	1 ⊢ 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  1c1 11069  ℕcn 12186  Metcmet 21250  MetOpencmopn 21254  ⇝_𝑡clm 23113  Cauccau 25153  CMetccmet 25154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-ntr 22907  df-nei 22985  df-lm 23116  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-cfil 25155  df-cau 25156  df-cmet 25157

This theorem is referenced by:  hhcms  31132  hhsscms  31207