Theorem ndvdsi 16495

Description: A quick test for non-divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ndvdsi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
ndvdsi.2	⊢ 𝑄 ∈ ℕ0
ndvdsi.3	⊢ 𝑅 ∈ ℕ
ndvdsi.4	⊢ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) = 𝐵
ndvdsi.5	⊢ 𝑅 < 𝐴

Assertion

Ref	Expression
ndvdsi	⊢ ¬ 𝐴 ∥ 𝐵

Proof of Theorem ndvdsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ndvdsi.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nnzi 12636	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
3		ndvdsi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑄 ∈ ℕ0
4	3	nn0zi 12637	. . . 4 ⊢ 𝑄 ∈ ℤ
5		dvdsmul1 16360	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄))
6	2, 4, 5	mp2an 705	. . 3 ⊢ 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄)
7		zmulcl 12661	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ)
8	2, 4, 7	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ
9		ndvdsi.3	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ ℕ
10		ndvdsi.5	. . . . 5 ⊢ 𝑅 < 𝐴
11	9, 10	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑅 < 𝐴)
12		ndvdsadd 16493	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑅 < 𝐴)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄) → ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅)))
13	8, 1, 11, 12	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄) → ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅))
14	6, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅)
15		ndvdsi.4	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) = 𝐵
16	15	breq2i 5122	. 2 ⊢ (𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) ↔ 𝐴 ∥ 𝐵)
17	14, 16	mtbi 325	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∥ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609   ∥ cdvds 16335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336

This theorem is used by:  5ndvds3  16496  5ndvds6  16497  dec5dvds  17149  5prm  17193  7prm  17195  11prm  17200  13prm  17201  17prm  17202  19prm  17203  23prm  17204  37prm  17206  43prm  17207  83prm  17208  139prm  17209  163prm  17210  317prm  17211  631prm  17212  1259lem5  17220  2503lem3  17224  4001lem4  17229  257prm  48354  fmtno4nprmfac193  48367  3ndvds4  48388  139prmALT  48389  127prm  48392