MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ndvdsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ndvdsi 15337
Description: A quick test for non-divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ndvdsi.1 𝐴 ∈ ℕ
ndvdsi.2 𝑄 ∈ ℕ0
ndvdsi.3 𝑅 ∈ ℕ
ndvdsi.4 ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) = 𝐵
ndvdsi.5 𝑅 < 𝐴
Assertion
Ref Expression
ndvdsi ¬ 𝐴𝐵

Proof of Theorem ndvdsi
StepHypRef Expression
1 ndvdsi.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
21nnzi 11601 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
3 ndvdsi.2 . . . . 5 𝑄 ∈ ℕ0
43nn0zi 11602 . . . 4 𝑄 ∈ ℤ
5 dvdsmul1 15205 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄))
62, 4, 5mp2an 672 . . 3 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄)
7 zmulcl 11626 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ)
82, 4, 7mp2an 672 . . . 4 (𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ
9 ndvdsi.3 . . . . 5 𝑅 ∈ ℕ
10 ndvdsi.5 . . . . 5 𝑅 < 𝐴
119, 10pm3.2i 456 . . . 4 (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑅 < 𝐴)
12 ndvdsadd 15335 . . . 4 (((𝐴 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑅 < 𝐴)) → (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄) → ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅)))
138, 1, 11, 12mp3an 1572 . . 3 (𝐴 ∥ (𝐴 · 𝑄) → ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅))
146, 13ax-mp 5 . 2 ¬ 𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅)
15 ndvdsi.4 . . 3 ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) = 𝐵
1615breq2i 4794 . 2 (𝐴 ∥ ((𝐴 · 𝑄) + 𝑅) ↔ 𝐴𝐵)
1714, 16mtbi 311 1 ¬ 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6791   + caddc 10139   · cmul 10141   < clt 10274  cn 11220  0cn0 11492  cz 11577  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12527  df-seq 13002  df-exp 13061  df-cj 14040  df-re 14041  df-im 14042  df-sqrt 14176  df-abs 14177  df-dvds 15183
This theorem is referenced by:  dec5dvds  15968  5prm  16015  7prm  16017  11prm  16022  13prm  16023  17prm  16024  19prm  16025  23prm  16026  37prm  16028  43prm  16029  83prm  16030  139prm  16031  163prm  16032  317prm  16033  631prm  16034  1259lem5  16042  2503lem3  16046  4001lem4  16051  dcubic1lem  24784  dcubic2  24785  mcubic  24788  257prm  41994  fmtno4nprmfac193  42007  3ndvds4  42031  139prmALT  42032  127prm  42036
  Copyright terms: Public domain W3C validator