Theorem phibnd 16679

Description: A slightly tighter bound on the value of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibnd	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (ϕ‘𝑁) ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem phibnd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13876	. . . 4 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
2		phibndlem 16678	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
3		ssdomg 8922	. . . 4 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
4	1, 2, 3	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1)))
5		fzfi 13876	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
6		ssrab2 4030	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)
7		ssfi 9082	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin
9		hashdom 14283	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∈ Fin ∧ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1))))
10	8, 1, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))) ↔ {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ≼ (1...(𝑁 − 1)))
11	4, 10	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) ≤ (♯‘(1...(𝑁 − 1))))
12		eluz2nn 12783	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		phival 16675	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
15		nnm1nn0 12419	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
16		hashfz1 14250	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
17	12, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (♯‘(1...(𝑁 − 1))) = (𝑁 − 1))
18	17	eqcomd 2737	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) = (♯‘(1...(𝑁 − 1))))
19	11, 14, 18	3brtr4d 5123	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (ϕ‘𝑁) ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≼ cdom 8867  Fincfn 8869  1c1 11004   ≤ cle 11144   − cmin 11341  ℕcn 12122  2c2 12177  ℕ₀cn0 12378  ℤ_≥cuz 12729  ...cfz 13404  ♯chash 14234   gcd cgcd 16402  ϕcphi 16672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-dvds 16161  df-gcd 16403  df-phi 16674

This theorem is referenced by: (None)