MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsbascl 16755
Description: An element of the base has projections closed in the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt2.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt2.r (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
prdsbasmpt2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsbascl.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsbascl (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsbascl
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt2.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt2.r . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
6 eqid 2821 . . . . . . 7 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
76fnmpt 6487 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
9 prdsbascl.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
101, 2, 3, 4, 8, 9prdsbasfn 16743 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
11 dffn5 6723 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐼𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
1210, 11sylib 220 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
1312, 9eqeltrrd 2914 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐵)
14 prdsbasmpt2.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
151, 2, 3, 4, 5, 14prdsbasmpt2 16754 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
1613, 15mpbid 234 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  cmpt 5145   Fn wfn 6349  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  Xscprds 16718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-hom 16588  df-cco 16589  df-prds 16720
This theorem is referenced by:  prdsdsval3  16757  prdsdsf  22976  prdsxmetlem  22977  prdsmet  22979  prdsbl  23100  prdsxmslem2  23138  prdsbnd  35070  prdsbnd2  35072  rrnequiv  35112
  Copyright terms: Public domain W3C validator