MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsbascl 17372
Description: An element of the base has projections closed in the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt2.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt2.r (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
prdsbasmpt2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsbascl.f (𝜑𝐹𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsbascl (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsbascl
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt2.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt2.r . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
76fnmpt 6646 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
9 prdsbascl.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
101, 2, 3, 4, 8, 9prdsbasfn 17360 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
11 dffn5 6906 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐼𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
1210, 11sylib 217 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
1312, 9eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐵)
14 prdsbasmpt2.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
151, 2, 3, 4, 5, 14prdsbasmpt2 17371 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾))
1613, 15mpbid 231 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  cmpt 5193   Fn wfn 6496  cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Xscprds 17334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-prds 17336
This theorem is referenced by:  prdsdsval3  17374  prdsdsf  23736  prdsxmetlem  23737  prdsmet  23739  prdsbl  23863  prdsxmslem2  23901  prdsbnd  36281  prdsbnd2  36283  rrnequiv  36323
  Copyright terms: Public domain W3C validator