Theorem prdsbascl 16458

Description: An element of the base has projections closed in the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsbasmpt2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsbascl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsbascl	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsbascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 6231	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9		prdsbascl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 8, 9	prdsbasfn 16446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
11		dffn5 6466	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐼 ↔ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	10, 11	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
13	12, 9	eqeltrrd 2879	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐵)
14		prdsbasmpt2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	prdsbasmpt2 16457	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾))
16	13, 15	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089   ↦ cmpt 4922   Fn wfn 6096  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  X_scprds 16421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-prds 16423

This theorem is referenced by:  prdsdsval3  16460  prdsdsf  22500  prdsxmetlem  22501  prdsmet  22503  prdsbl  22624  prdsxmslem2  22662  prdsbnd  34079  prdsbnd2  34081  rrnequiv  34121