Theorem prdsdsval2 17544

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
prdsdsval2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval2	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 6720	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		prdsdsval2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11	prdsdsval 17538	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
13		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
14		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dist
15		nffvmpt1 6931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
16	14, 15	nffv 6930	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
17		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑦)
18	13, 16, 17	nfov 7478	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))
19		nfcv 2908	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))
20		2fveq3 6925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
21		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
22		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
23	20, 21, 22	oveq123d 7469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
24	18, 19, 23	cbvmpt 5277	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
25		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
26	6	fvmpt2 7040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
27	26	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (dist‘𝑅))
28		prdsdsval2.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
29	27, 28	eqtr4di 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐸)
30	29	oveqd 7465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
31	30	ralimiaa 3088	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
32	5, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
33		mpteq12 5258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
34	25, 32, 33	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
35	24, 34	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
36	35	rneqd 5963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
37	36	uneq1d 4190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
38	37	supeq1d 9515	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
39	12, 38	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ∪ cun 3974  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  supcsup 9509  0cc0 11184  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  Basecbs 17258  distcds 17320  X_scprds 17505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-prds 17507

This theorem is referenced by:  prdsdsval3  17545  ressprdsds  24402