Theorem prdsdsval2 17392

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
prdsdsval2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval2	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 6628	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		prdsdsval2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11	prdsdsval 17386	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
13		nfcv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
14		nfcv 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dist
15		nffvmpt1 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
16	14, 15	nffv 6840	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
17		nfcv 2895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑦)
18	13, 16, 17	nfov 7384	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))
19		nfcv 2895	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))
20		2fveq3 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
21		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
22		fveq2 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
23	20, 21, 22	oveq123d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
24	18, 19, 23	cbvmpt 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
25		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
26	6	fvmpt2 6948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
27	26	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (dist‘𝑅))
28		prdsdsval2.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
29	27, 28	eqtr4di 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐸)
30	29	oveqd 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
31	30	ralimiaa 3069	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
32	5, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
33		mpteq12 5183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
34	25, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
35	24, 34	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
36	35	rneqd 5884	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
37	36	uneq1d 4116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
38	37	supeq1d 9339	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
39	12, 38	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∪ cun 3896  {csn 4577   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622   Fn wfn 6483  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  supcsup 9333  0cc0 11015  ℝ^*cxr 11154   < clt 11155  Basecbs 17124  distcds 17174  X_scprds 17353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-hom 17189  df-cco 17190  df-prds 17355

This theorem is referenced by:  prdsdsval3  17393  ressprdsds  24289