Theorem prdsdsval2 17525

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
prdsdsval2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval2	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 6665	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		prdsdsval2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11	prdsdsval 17519	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
13		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
14		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dist
15		nffvmpt1 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
16	14, 15	nffv 6881	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
17		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑦)
18	13, 16, 17	nfov 7430	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))
19		nfcv 2927	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))
20		2fveq3 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
21		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
22		fveq2 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
23	20, 21, 22	oveq123d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
24	18, 19, 23	cbvmpt 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
25		eqidd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
26	6	fvmpt2 6991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
27	26	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (dist‘𝑅))
28		prdsdsval2.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
29	27, 28	eqtr4di 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐸)
30	29	oveqd 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
31	30	ralimiaa 3101	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
32	5, 31	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
33		mpteq12 5192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
34	25, 32, 33	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
35	24, 34	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
36	35	rneqd 5918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
37	36	uneq1d 4123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
38	37	supeq1d 9394	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
39	12, 38	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ∪ cun 3905  {csn 4585   ↦ cmpt 5185  ran crn 5652   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  supcsup 9388  0cc0 11088  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  Basecbs 17257  distcds 17307  X_scprds 17486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17488

This theorem is referenced by:  prdsdsval3  17526  ressprdsds  24485