Theorem prdsdsval2 16961

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
prdsdsval2.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval2	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 6507	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
10		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		prdsdsval2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12	1, 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11	prdsdsval 16955	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
13		nfcv 2900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
14		nfcv 2900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dist
15		nffvmpt1 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
16	14, 15	nffv 6716	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
17		nfcv 2900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐺‘𝑦)
18	13, 16, 17	nfov 7232	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))
19		nfcv 2900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))
20		2fveq3 6711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
21		fveq2 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
22		fveq2 6706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑥))
23	20, 21, 22	oveq123d 7223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
24	18, 19, 23	cbvmpt 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
25		eqidd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
26	6	fvmpt2 6818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
27	26	fveq2d 6710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (dist‘𝑅))
28		prdsdsval2.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝑅)
29	27, 28	eqtr4di 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐸)
30	29	oveqd 7219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
31	30	ralimiaa 3075	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
32	5, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)))
33		mpteq12 5131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
34	25, 32, 33	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
35	24, 34	syl5eq 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
36	35	rneqd 5796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))))
37	36	uneq1d 4066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
38	37	supeq1d 9051	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑦)(dist‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))(𝐺‘𝑦))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
39	12, 38	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054   ∪ cun 3855  {csn 4531   ↦ cmpt 5124  ran crn 5541   Fn wfn 6364  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  supcsup 9045  0cc0 10712  ℝ^*cxr 10849   < clt 10850  Basecbs 16684  distcds 16776  X_scprds 16922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-sup 9047  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-fz 13079  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-hom 16791  df-cco 16792  df-prds 16924

This theorem is referenced by:  prdsdsval3  16962  ressprdsds  23241