Theorem prjspnvs 40459

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. This converts the equivalence relation used in prjspvs 40449 (see prjspnerlem 40456). (Contributed by SN, 8-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnvs.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnvs.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnvs.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnvs.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnvs.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnvs.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnvs.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnvs.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspnvs.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
prjspnvs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
prjspnvs	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝐶,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnvs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
2		ovexd 7310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3		prjspnvs.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
4	3	frlmlvec 20968	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		prjspnvs.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		prjspnvs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
8		prjspnvs.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
9		nelsn 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
11	7, 10	eldifd 3898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑆 ∖ { 0 }))
12		prjspnvs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
13	3	frlmsca 20960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
14	1, 2, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
15	14	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	12, 15	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		prjspnvs.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
18	14	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	17, 18	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	19	sneqd 4573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘(Scalar‘𝑊))})
21	16, 20	difeq12d 4058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ { 0 }) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
22	11, 21	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
24		prjspnvs.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26		prjspnvs.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
29	23, 24, 25, 26, 27, 28	prjspvs 40449	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
30	5, 6, 22, 29	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
31		prjspnvs.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32	31, 3, 24, 12, 26	prjspnerlem 40456	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
34	33	breqd 5085	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋))
35	30, 34	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  {copab 5136  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ...cfz 13239  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  DivRingcdr 19991  LVecclvec 20364   freeLMod cfrlm 20953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954

This theorem is referenced by:  prjspner01  40462