Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspnvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspnvs 40020
Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. This converts the equivalence relation used in prjspvs 40010 (see prjspnerlem 40017). (Contributed by SN, 8-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspnvs.e = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnvs.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnvs.b 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
prjspnvs.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnvs.x · = ( ·𝑠𝑊)
prjspnvs.0 0 = (0g𝐾)
prjspnvs.k (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
prjspnvs.1 (𝜑𝑋𝐵)
prjspnvs.2 (𝜑𝐶𝑆)
prjspnvs.3 (𝜑𝐶0 )
Assertion
Ref Expression
prjspnvs (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝐶,𝑙,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspnvs
StepHypRef Expression
1 prjspnvs.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
2 ovexd 7199 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3 prjspnvs.w . . . . 5 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
43frlmlvec 20570 . . . 4 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
51, 2, 4syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 prjspnvs.1 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
7 prjspnvs.2 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑆)
8 prjspnvs.3 . . . . . 6 (𝜑𝐶0 )
9 nelsn 4553 . . . . . 6 (𝐶0 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
117, 10eldifd 3852 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑆 ∖ { 0 }))
12 prjspnvs.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝐾)
133frlmsca 20562 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
141, 2, 13syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 = (Scalar‘𝑊))
1514fveq2d 6672 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1612, 15syl5eq 2785 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17 prjspnvs.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐾)
1814fveq2d 6672 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1917, 18syl5eq 2785 . . . . . 6 (𝜑0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2019sneqd 4525 . . . . 5 (𝜑 → { 0 } = {(0g‘(Scalar‘𝑊))})
2116, 20difeq12d 4012 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∖ { 0 }) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
2211, 21eleqtrd 2835 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23 eqid 2738 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
24 prjspnvs.b . . . 4 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g𝑊)})
25 eqid 2738 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26 prjspnvs.x . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
27 eqid 2738 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28 eqid 2738 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
2923, 24, 25, 26, 27, 28prjspvs 40010 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋𝐵𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
305, 6, 22, 29syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
31 prjspnvs.e . . . . 5 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
3231, 3, 24, 12, 26prjspnerlem 40017 . . . 4 (𝐾 ∈ DivRing → = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
3433breqd 5038 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) 𝑋 ↔ (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋))
3530, 34mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wrex 3054  Vcvv 3397  cdif 3838  {csn 4513   class class class wbr 5027  {copab 5089  cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  ...cfz 12974  Basecbs 16579  Scalarcsca 16664   ·𝑠 cvsca 16665  0gc0g 16809  DivRingcdr 19614  LVecclvec 19986   freeLMod cfrlm 20555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-hom 16685  df-cco 16686  df-0g 16811  df-prds 16817  df-pws 16819  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-subg 18387  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-drng 19616  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lvec 19987  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-dsmm 20541  df-frlm 20556
This theorem is referenced by:  prjspner01  40023
  Copyright terms: Public domain W3C validator