Theorem prjspnvs 42615

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. This converts the equivalence relation used in prjspvs 42605 (see prjspnerlem 42612). (Contributed by SN, 8-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnvs.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnvs.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnvs.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnvs.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnvs.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnvs.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnvs.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnvs.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspnvs.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
prjspnvs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
prjspnvs	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝐶,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnvs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
2		ovexd 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3		prjspnvs.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
4	3	frlmlvec 21677	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		prjspnvs.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		prjspnvs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
8		prjspnvs.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
9		nelsn 4633	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
11	7, 10	eldifd 3928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑆 ∖ { 0 }))
12		prjspnvs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
13	3	frlmsca 21669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
14	1, 2, 13	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
15	14	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	12, 15	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		prjspnvs.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
18	14	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	17, 18	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	19	sneqd 4604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘(Scalar‘𝑊))})
21	16, 20	difeq12d 4093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ { 0 }) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
22	11, 21	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		eqid 2730	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
24		prjspnvs.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
25		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26		prjspnvs.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
29	23, 24, 25, 26, 27, 28	prjspvs 42605	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
30	5, 6, 22, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
31		prjspnvs.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32	31, 3, 24, 12, 26	prjspnerlem 42612	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
34	33	breqd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋))
35	30, 34	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914  {csn 4592   class class class wbr 5110  {copab 5172  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ...cfz 13475  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409  DivRingcdr 20645  LVecclvec 21016   freeLMod cfrlm 21662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lvec 21017  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663

This theorem is referenced by:  prjspner01  42620