Theorem prjspnvs 43279

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. This converts the equivalence relation used in prjspvs 43269 (see prjspnerlem 43276). (Contributed by SN, 8-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnvs.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnvs.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnvs.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnvs.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnvs.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnvs.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnvs.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnvs.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspnvs.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
prjspnvs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
prjspnvs	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝐶,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnvs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
2		ovexd 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3		prjspnvs.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
4	3	frlmlvec 21880	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
5	1, 2, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		prjspnvs.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		prjspnvs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
8		prjspnvs.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
9		nelsn 4635	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
11	7, 10	eldifd 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑆 ∖ { 0 }))
12		prjspnvs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
13	3	frlmsca 21872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
14	1, 2, 13	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
15	14	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	12, 15	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		prjspnvs.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
18	14	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	17, 18	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	19	sneqd 4604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘(Scalar‘𝑊))})
21	16, 20	difeq12d 4088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ { 0 }) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
22	11, 21	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		eqid 2769	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
24		prjspnvs.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
25		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26		prjspnvs.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
29	23, 24, 25, 26, 27, 28	prjspvs 43269	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
30	5, 6, 22, 29	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
31		prjspnvs.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32	31, 3, 24, 12, 26	prjspnerlem 43276	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
33	1, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
34	33	breqd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋))
35	30, 34	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  Vcvv 3461   ∖ cdif 3908  {csn 4592   class class class wbr 5111  {copab 5175  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  ...cfz 13535  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492  DivRingcdr 20813  LVecclvec 21201   freeLMod cfrlm 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-subrg 20655  df-drng 20815  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lvec 21202  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-dsmm 21851  df-frlm 21866

This theorem is referenced by:  prjspner01  43284