Theorem prjspnvs 43839

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. This is prjspvs 43829 with the equivalence relation converted by prjspnerlem 43836. (Contributed by SN, 8-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnvs.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnvs.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnvs.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnvs.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnvs.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnvs.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnvs.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnvs.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspnvs.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
prjspnvs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
prjspnvs	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝐶,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥, 𝑦, 𝑙)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥, 𝑦, 𝑙)   0 (𝑥, 𝑦, 𝑙)

Proof of Theorem prjspnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnvs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
2		ovexd 7475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3		prjspnvs.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
4	3	frlmlvec 22094	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		prjspnvs.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		prjspnvs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
8		prjspnvs.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
9		nelsn 4627	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
11	7, 10	eldifd 4053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑆 ∖ { 0 }))
12		prjspnvs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
13	3	frlmsca 22086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
14	1, 2, 13	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
15	14	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	12, 15	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		prjspnvs.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
18	14	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	17, 18	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	19	sneqd 4596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘(Scalar‘𝑊))})
21	16, 20	difeq12d 4067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ { 0 }) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
22	11, 21	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
24		prjspnvs.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26		prjspnvs.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
29	23, 24, 25, 26, 27, 28	prjspvs 43829	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
30	5, 6, 22, 29	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
31		prjspnvs.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32	31, 3, 24, 12, 26	prjspnerlem 43836	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
33	1, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
34	33	breqd 5117	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋))
35	30, 34	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  {copab 5170  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  ...cfz 13663  Basecbs 17413  Scalarcsca 17457   ·_𝑠 cvsca 17458  0_gc0g 17636  DivRingcdr 21007  LVecclvec 21404   freeLMod cfrlm 22079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lvec 21405  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-dsmm 22065  df-frlm 22080

This theorem is used by:  prjspnequivnorm  43851