Theorem prjspnvs 41664

Description: A nonzero multiple of a vector is equivalent to the vector. This converts the equivalence relation used in prjspvs 41654 (see prjspnerlem 41661). (Contributed by SN, 8-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnvs.e	⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
prjspnvs.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnvs.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnvs.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
prjspnvs.x	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnvs.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnvs.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnvs.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prjspnvs.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
prjspnvs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
prjspnvs	⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑊,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑙   · ,𝑙,𝑥,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑋,𝑙,𝑥,𝑦   𝐶,𝑙,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑙)   𝐵(𝑙)   ∼ (𝑥,𝑦,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑙)   0 (𝑥,𝑦,𝑙)

Proof of Theorem prjspnvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnvs.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
2		ovexd 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
3		prjspnvs.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
4	3	frlmlvec 21535	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝑊 ∈ LVec)
5	1, 2, 4	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		prjspnvs.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		prjspnvs.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
8		prjspnvs.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
9		nelsn 4667	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ { 0 })
11	7, 10	eldifd 3958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑆 ∖ { 0 }))
12		prjspnvs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
13	3	frlmsca 21527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (0...𝑁) ∈ V) → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
14	1, 2, 13	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Scalar‘𝑊))
15	14	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	12, 15	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		prjspnvs.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
18	14	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
19	17, 18	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	19	sneqd 4639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → { 0 } = {(0g‘(Scalar‘𝑊))})
21	16, 20	difeq12d 4122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∖ { 0 }) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
22	11, 21	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
23		eqid 2730	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
24		prjspnvs.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
25		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
26		prjspnvs.x	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
28		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
29	23, 24, 25, 26, 27, 28	prjspvs 41654	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
30	5, 6, 22, 29	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋)
31		prjspnvs.e	. . . . 5 ⊢ ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ 𝑆 𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}
32	31, 3, 24, 12, 26	prjspnerlem 41661	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
33	1, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))})
34	33	breqd 5158	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋 ↔ (𝐶 · 𝑋){⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑙 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))𝑥 = (𝑙 · 𝑦))}𝑋))
35	30, 34	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∼ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  {copab 5209  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  ...cfz 13488  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·_𝑠 cvsca 17205  0_gc0g 17389  DivRingcdr 20500  LVecclvec 20857   freeLMod cfrlm 21520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521

This theorem is referenced by:  prjspner01  41669