Theorem psrmon 33790

Description: A monomial is a power series. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmon.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrmon.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psrmon.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrmon.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrmon	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝐷   ℎ,𝐼   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,ℎ   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   1 (ℎ)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,ℎ)   𝑋(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrmon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmon.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psrmon.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5		psrmon.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 20285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7	4, 6	ifcld 4517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	fmpttd 7081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
11		fvex 6865	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12		psrmon.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
13		ovex 7414	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
14	12, 13	rabex2 5287	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
15	11, 14	elmap 8838	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
16	10, 15	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
17		psrmon.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
18	12	psrbasfsupp 33752	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
19		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20		psrmon.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
21	17, 2, 18, 19, 20	psrbas 21955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
22	16, 21	eleqtrrd 2855	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
23		psrmon.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24	22, 23	eleqtrrdi 2863	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {crab 3404  ifcif 4470   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ↑_m cmap 8792   finSupp cfsupp 9293  0cc0 11059  ℕ₀cn0 12467  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  1_rcur 20199  Ringcrg 20251   mPwSer cmps 21925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-tset 17277  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-mgp 20159  df-ur 20200  df-ring 20253  df-psr 21930

This theorem is referenced by:  psrmonmul  33791