Theorem psrmon 34224

Description: A monomial is a power series. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrmon.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrmon.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psrmon.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psrmon.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrmon.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
psrmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
psrmon	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝐷   ℎ,𝐼   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦,ℎ   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐵(𝑦, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦, ℎ)   1 (ℎ)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦, ℎ)   𝑋(ℎ)   0 (ℎ)

Proof of Theorem psrmon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrmon.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psrmon.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	ringidcl 20495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
5		psrmon.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	2, 5	ring0cl 20497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
7	4, 6	ifcld 4528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
8	1, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	fmpttd 7115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
11		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12		psrmon.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
13		ovex 7453	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
14	12, 13	rabex2 5301	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
15	11, 14	elmap 8900	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷) ↔ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟶(Base‘𝑅))
16	10, 15	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
17		psrmon.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
18	12	psrbasfsupp 34186	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
20		psrmon.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
21	17, 2, 18, 19, 20	psrbas 22243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐷))
22	16, 21	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
23		psrmon.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24	22, 23	eleqtrrdi 2871	1 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848   finSupp cfsupp 9354  0cc0 11201  ℕ₀cn0 12607  Basecbs 17388  0_gc0g 17611  1_rcur 20408  Ringcrg 20460   mPwSer cmps 22213

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-tset 17448  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-mgp 20362  df-ur 20409  df-ring 20462  df-psr 22218

This theorem is used by:  psrmonmul  34225