Theorem psrgsum 33904

Description: Finite commutative sums of power series are taken componentwise. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgsum.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgsum.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrgsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
psrgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrgsum	⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑦   ℎ,𝐼   𝑦,𝐼   𝑅,𝑘,𝑦   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑦,ℎ,𝑘)

Proof of Theorem psrgsum

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	feqmptd 6949	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	oveq2d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		mpteq1 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		mpteq1 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
7	6	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
8	7	mpteq2dv 5204	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
9	5, 8	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
10		mpteq1 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
11	10	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
12		mpteq1 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
13	12	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
14	13	mpteq2dv 5204	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
15	11, 14	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
16		mpteq1 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
17		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
18	17	cbvmptv 5214	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))
19	16, 18	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙)))
20	19	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))))
21		mpteq1 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
22	21	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
23	22	mpteq2dv 5204	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
24	20, 23	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
25		mpteq1 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
26	25	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
27		mpteq1 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
28	27	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
29	28	mpteq2dv 5204	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
30	26, 29	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
31		mpt0 6677	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
33	32	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg ∅))
34		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
35	34	gsum0 18741	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆))
37		fconstmpt 5723	. . . . 5 ⊢ (𝐷 × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (0g‘𝑅))
38		psrgsum.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
39		psrgsum.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		psrgsum.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	ringgrpd 20323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
42		psrgsum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
43	42	psrbasfsupp 33867	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
44		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
45	38, 39, 41, 43, 44, 34	psr0 22086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
46		mpt0 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = ∅
47	46	oveq2i 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg ∅)
48	44	gsum0 18741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
49	47, 48	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (0g‘𝑅)
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (0g‘𝑅))
51	50	mpteq2dv 5204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (0g‘𝑅)))
52	37, 45, 51	3eqtr4a 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
53	33, 36, 52	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
54		ovex 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
55	42, 54	rabex2 5311	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
56		nfv 1942	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
57		ovexd 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ V)
58		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
59	56, 57, 58	fnmptd 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) Fn 𝐷)
60		fvexd 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑓)‘𝑦) ∈ V)
61		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))
62	56, 60, 61	fnmptd 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) Fn 𝐷)
63		ofmpteq 7697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) Fn 𝐷 ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) Fn 𝐷) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
64	55, 59, 62, 63	mp3an2i 1493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
65	64	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
66		psrgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
67		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
68	38, 39, 40	psrring 22098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
69	68	ringcmnd 20366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
70	69	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑆 ∈ CMnd)
71		psrgsum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
72	71	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝐴 ∈ Fin)
73		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
74	72, 73	ssfid 9228	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑏 ∈ Fin)
75	1	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
76	73	sselda 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝑙 ∈ 𝐴)
77	75, 76	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
78		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
79	78	eldifbd 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ¬ 𝑓 ∈ 𝑏)
80	1	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
81	78	eldifad 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑓 ∈ 𝐴)
82	80, 81	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝐵)
83		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑓))
84	66, 67, 70, 74, 77, 78, 79, 82, 83	gsumunsn 20029	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑓)))
85		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
86	77	fmpttd 7110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)):𝑏⟶𝐵)
87		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)) = (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))
88		fvexd 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (0g‘𝑆) ∈ V)
89	87, 74, 77, 88	fsuppmptdm 9335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)) finSupp (0g‘𝑆))
90	66, 34, 70, 74, 86, 89	gsumcl 19984	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∈ 𝐵)
91	38, 66, 85, 67, 90, 82	psradd 22067	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑓)) = ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑓)))
92	17	cbvmptv 5214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))
93	92	oveq2i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))
94		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
95	93, 94	eqtr3id 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
96		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
97	38, 96, 43, 66, 82	psrelbas 22064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓):𝐷⟶(Base‘𝑅))
98	97	feqmptd 6949	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)))
99	95, 98	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑓)) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
100	84, 91, 99	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
101	40	ringcmnd 20366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
102	101	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
103	71	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ Fin)
104		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
105	103, 104	ssfid 9228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ Fin)
106	1	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
107	104	sselda 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
108	106, 107	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
109	38, 96, 43, 66, 108	psrelbas 22064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘):𝐷⟶(Base‘𝑅))
110		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝐷)
111	109, 110	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
112		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
113	112	eldifbd 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑓 ∈ 𝑏)
114	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
115		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
116	115	eldifad 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
117	114, 116	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝐵)
118	38, 96, 43, 66, 117	psrelbas 22064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑓):𝐷⟶(Base‘𝑅))
119	118	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑓)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
120		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑓 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑓))
121	120	fveq1d 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))
122	96, 85, 102, 105, 111, 112, 113, 119, 121	gsumunsn 20029	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦)))
123	122	mpteq2dva 5203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
124	123	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
125	65, 100, 124	3eqtr4d 2806	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
126	125	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
127	126	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
128	9, 15, 24, 30, 53, 127, 71	findcard2d 9150	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
129	3, 128	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9320  0cc0 11099  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  CMndccmn 19849  Ringcrg 20314   mPwSer cmps 22033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-psr 22038

This theorem is referenced by:  mplgsum  33909