Theorem psrgsum 33697

Description: Finite commutative sums of power series are taken componentwise. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgsum.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgsum.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrgsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
psrgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrgsum	⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑦   ℎ,𝐼   𝑦,𝐼   𝑅,𝑘,𝑦   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑦,ℎ,𝑘)

Proof of Theorem psrgsum

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	feqmptd 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		mpteq1 5175	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
7	6	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
8	7	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
9	5, 8	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
10		mpteq1 5175	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
11	10	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
12		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
13	12	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
14	13	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
15	11, 14	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
16		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
17		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
18	17	cbvmptv 5190	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))
19	16, 18	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙)))
20	19	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))))
21		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
22	21	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
23	22	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
24	20, 23	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
25		mpteq1 5175	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
26	25	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
27		mpteq1 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
28	27	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
29	28	mpteq2dv 5180	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
30	26, 29	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
31		mpt0 6632	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
33	32	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg ∅))
34		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
35	34	gsum0 18610	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆))
37		fconstmpt 5684	. . . . 5 ⊢ (𝐷 × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (0g‘𝑅))
38		psrgsum.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
39		psrgsum.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		psrgsum.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	ringgrpd 20181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
42		psrgsum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
43	42	psrbasfsupp 33677	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
44		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
45	38, 39, 41, 43, 44, 34	psr0 21914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
46		mpt0 6632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = ∅
47	46	oveq2i 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg ∅)
48	44	gsum0 18610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
49	47, 48	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (0g‘𝑅)
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (0g‘𝑅))
51	50	mpteq2dv 5180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (0g‘𝑅)))
52	37, 45, 51	3eqtr4a 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
53	33, 36, 52	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
54		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
55	42, 54	rabex2 5276	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
56		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
57		ovexd 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ V)
58		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
59	56, 57, 58	fnmptd 6631	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) Fn 𝐷)
60		fvexd 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑓)‘𝑦) ∈ V)
61		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))
62	56, 60, 61	fnmptd 6631	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) Fn 𝐷)
63		ofmpteq 7645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) Fn 𝐷 ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) Fn 𝐷) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
64	55, 59, 62, 63	mp3an2i 1469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
65	64	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
66		psrgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
67		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
68	38, 39, 40	psrring 21926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
69	68	ringcmnd 20223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
70	69	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑆 ∈ CMnd)
71		psrgsum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
72	71	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝐴 ∈ Fin)
73		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
74	72, 73	ssfid 9170	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑏 ∈ Fin)
75	1	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
76	73	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝑙 ∈ 𝐴)
77	75, 76	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
78		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
79	78	eldifbd 3903	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ¬ 𝑓 ∈ 𝑏)
80	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
81	78	eldifad 3902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑓 ∈ 𝐴)
82	80, 81	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝐵)
83		fveq2 6832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑓))
84	66, 67, 70, 74, 77, 78, 79, 82, 83	gsumunsn 19893	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑓)))
85		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
86	77	fmpttd 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)):𝑏⟶𝐵)
87		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)) = (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))
88		fvexd 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (0g‘𝑆) ∈ V)
89	87, 74, 77, 88	fsuppmptdm 9280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)) finSupp (0g‘𝑆))
90	66, 34, 70, 74, 86, 89	gsumcl 19848	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∈ 𝐵)
91	38, 66, 85, 67, 90, 82	psradd 21894	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑓)) = ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑓)))
92	17	cbvmptv 5190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))
93	92	oveq2i 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))
94		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
95	93, 94	eqtr3id 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
96		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
97	38, 96, 43, 66, 82	psrelbas 21891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓):𝐷⟶(Base‘𝑅))
98	97	feqmptd 6900	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)))
99	95, 98	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑓)) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
100	84, 91, 99	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
101	40	ringcmnd 20223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
102	101	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
103	71	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ Fin)
104		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
105	103, 104	ssfid 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ Fin)
106	1	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
107	104	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
108	106, 107	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
109	38, 96, 43, 66, 108	psrelbas 21891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘):𝐷⟶(Base‘𝑅))
110		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝐷)
111	109, 110	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
112		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
113	112	eldifbd 3903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑓 ∈ 𝑏)
114	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
115		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
116	115	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
117	114, 116	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝐵)
118	38, 96, 43, 66, 117	psrelbas 21891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑓):𝐷⟶(Base‘𝑅))
119	118	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑓)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
120		fveq2 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑓 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑓))
121	120	fveq1d 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))
122	96, 85, 102, 105, 111, 112, 113, 119, 121	gsumunsn 19893	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦)))
123	122	mpteq2dva 5179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
124	123	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
125	65, 100, 124	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
126	125	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
127	126	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
128	9, 15, 24, 30, 53, 127, 71	findcard2d 9092	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
129	3, 128	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9265  0cc0 11027  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  0_gc0g 17360   Σ_g cgsu 17361  CMndccmn 19713  Ringcrg 20172   mPwSer cmps 21861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-psr 21866

This theorem is referenced by:  mplgsum  33702