Theorem psrgsum 33847

Description: Finite commutative sums of power series are taken componentwise. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgsum.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgsum.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrgsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
psrgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrgsum	⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑦   ℎ,𝐼   𝑦,𝐼   𝑅,𝑘,𝑦   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑦,ℎ,𝑘)

Proof of Theorem psrgsum

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	feqmptd 6937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	oveq2d 7414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		mpteq1 5191	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		mpteq1 5191	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
7	6	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
8	7	mpteq2dv 5196	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
9	5, 8	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
10		mpteq1 5191	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
11	10	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
12		mpteq1 5191	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
13	12	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
14	13	mpteq2dv 5196	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
15	11, 14	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
16		mpteq1 5191	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
17		fveq2 6869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
18	17	cbvmptv 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))
19	16, 18	eqtrdi 2815	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙)))
20	19	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))))
21		mpteq1 5191	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
22	21	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
23	22	mpteq2dv 5196	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
24	20, 23	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
25		mpteq1 5191	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
26	25	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
27		mpteq1 5191	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
28	27	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
29	28	mpteq2dv 5196	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
30	26, 29	eqeq12d 2780	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
31		mpt0 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
33	32	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg ∅))
34		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
35	34	gsum0 18720	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆))
37		fconstmpt 5711	. . . . 5 ⊢ (𝐷 × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (0g‘𝑅))
38		psrgsum.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
39		psrgsum.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		psrgsum.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	ringgrpd 20294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
42		psrgsum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
43	42	psrbasfsupp 33810	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
44		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
45	38, 39, 41, 43, 44, 34	psr0 22011	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
46		mpt0 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = ∅
47	46	oveq2i 7409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg ∅)
48	44	gsum0 18720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
49	47, 48	eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (0g‘𝑅)
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (0g‘𝑅))
51	50	mpteq2dv 5196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (0g‘𝑅)))
52	37, 45, 51	3eqtr4a 2825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
53	33, 36, 52	3eqtrd 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
54		ovex 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
55	42, 54	rabex2 5299	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
56		nfv 1936	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
57		ovexd 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ V)
58		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
59	56, 57, 58	fnmptd 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) Fn 𝐷)
60		fvexd 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑓)‘𝑦) ∈ V)
61		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))
62	56, 60, 61	fnmptd 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) Fn 𝐷)
63		ofmpteq 7685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) Fn 𝐷 ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) Fn 𝐷) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
64	55, 59, 62, 63	mp3an2i 1489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
65	64	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
66		psrgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
67		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
68	38, 39, 40	psrring 22023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
69	68	ringcmnd 20336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
70	69	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑆 ∈ CMnd)
71		psrgsum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
72	71	ad3antrrr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝐴 ∈ Fin)
73		simpllr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
74	72, 73	ssfid 9215	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑏 ∈ Fin)
75	1	ad4antr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
76	73	sselda 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝑙 ∈ 𝐴)
77	75, 76	ffvelcdmd 7068	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
78		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
79	78	eldifbd 3919	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ¬ 𝑓 ∈ 𝑏)
80	1	ad3antrrr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
81	78	eldifad 3918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑓 ∈ 𝐴)
82	80, 81	ffvelcdmd 7068	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝐵)
83		fveq2 6869	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑓))
84	66, 67, 70, 74, 77, 78, 79, 82, 83	gsumunsn 20002	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑓)))
85		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
86	77	fmpttd 7098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)):𝑏⟶𝐵)
87		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)) = (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))
88		fvexd 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (0g‘𝑆) ∈ V)
89	87, 74, 77, 88	fsuppmptdm 9324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)) finSupp (0g‘𝑆))
90	66, 34, 70, 74, 86, 89	gsumcl 19957	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∈ 𝐵)
91	38, 66, 85, 67, 90, 82	psradd 21992	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑓)) = ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑓)))
92	17	cbvmptv 5206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))
93	92	oveq2i 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))
94		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
95	93, 94	eqtr3id 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
96		eqid 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
97	38, 96, 43, 66, 82	psrelbas 21989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓):𝐷⟶(Base‘𝑅))
98	97	feqmptd 6937	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)))
99	95, 98	oveq12d 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑓)) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
100	84, 91, 99	3eqtrd 2803	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
101	40	ringcmnd 20336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
102	101	ad3antrrr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
103	71	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ Fin)
104		simpllr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
105	103, 104	ssfid 9215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ Fin)
106	1	ad4antr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
107	104	sselda 3938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
108	106, 107	ffvelcdmd 7068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
109	38, 96, 43, 66, 108	psrelbas 21989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘):𝐷⟶(Base‘𝑅))
110		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝐷)
111	109, 110	ffvelcdmd 7068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
112		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
113	112	eldifbd 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑓 ∈ 𝑏)
114	1	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
115		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
116	115	eldifad 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
117	114, 116	ffvelcdmd 7068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝐵)
118	38, 96, 43, 66, 117	psrelbas 21989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑓):𝐷⟶(Base‘𝑅))
119	118	ffvelcdmda 7067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑓)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
120		fveq2 6869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑓 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑓))
121	120	fveq1d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))
122	96, 85, 102, 105, 111, 112, 113, 119, 121	gsumunsn 20002	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦)))
123	122	mpteq2dva 5195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
124	123	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
125	65, 100, 124	3eqtr4d 2809	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
126	125	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
127	126	anasss 470	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
128	9, 15, 24, 30, 53, 127, 71	findcard2d 9137	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
129	3, 128	eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {crab 3416  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   × cxp 5647   Fn wfn 6518  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∘_f cof 7660   ↑_m cmap 8810  Fincfn 8929   finSupp cfsupp 9309  0cc0 11075  ℕ₀cn0 12483  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  0_gc0g 17470   Σ_g cgsu 17471  CMndccmn 19822  Ringcrg 20285   mPwSer cmps 21958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-ofr 7663  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-mulg 19112  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-psr 21963

This theorem is referenced by:  mplgsum  33852