Theorem psrgsum 33680

Description: Finite commutative sums of power series are taken componentwise. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrgsum.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrgsum.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
psrgsum.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
psrgsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrgsum	⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑦   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘,𝑦   𝑘,𝐹,𝑦   ℎ,𝐼   𝑦,𝐼   𝑅,𝑘,𝑦   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(ℎ)   𝐵(𝑦,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑦,ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑦,ℎ,𝑘)

Proof of Theorem psrgsum

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrgsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2	1	feqmptd 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
3	2	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
4		mpteq1 5163	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)))
5	4	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))))
6		mpteq1 5163	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
7	6	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
8	7	mpteq2dv 5168	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
9	5, 8	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
10		mpteq1 5163	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)))
11	10	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))))
12		mpteq1 5163	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
13	12	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
14	13	mpteq2dv 5168	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
15	11, 14	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
16		mpteq1 5163	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑘)))
17		fveq2 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑙))
18	17	cbvmptv 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))
19	16, 18	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙)))
20	19	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))))
21		mpteq1 5163	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
22	21	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
23	22	mpteq2dv 5168	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
24	20, 23	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑓}) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
25		mpteq1 5163	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
26	25	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))))
27		mpteq1 5163	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))
28	27	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
29	28	mpteq2dv 5168	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
30	26, 29	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ↔ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
31		mpt0 6629	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
33	32	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg ∅))
34		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
35	34	gsum0 18641	. . . . 5 ⊢ (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ∅) = (0g‘𝑆))
37		fconstmpt 5682	. . . . 5 ⊢ (𝐷 × {(0g‘𝑅)}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (0g‘𝑅))
38		psrgsum.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
39		psrgsum.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		psrgsum.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
41	40	ringgrpd 20212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
42		psrgsum.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
43	42	psrbasfsupp 33660	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
44		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
45	38, 39, 41, 43, 44, 34	psr0 21925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
46		mpt0 6629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)) = ∅
47	46	oveq2i 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (𝑅 Σg ∅)
48	44	gsum0 18641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
49	47, 48	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (0g‘𝑅)
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = (0g‘𝑅))
51	50	mpteq2dv 5168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (0g‘𝑅)))
52	37, 45, 51	3eqtr4a 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
53	33, 36, 52	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ∅ ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
54		ovex 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
55	42, 54	rabex2 5271	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
56		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
57		ovexd 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) ∈ V)
58		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))
59	56, 57, 58	fnmptd 6628	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) Fn 𝐷)
60		fvexd 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑓)‘𝑦) ∈ V)
61		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))
62	56, 60, 61	fnmptd 6628	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) Fn 𝐷)
63		ofmpteq 7643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) Fn 𝐷 ∧ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)) Fn 𝐷) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
64	55, 59, 62, 63	mp3an2i 1469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
65	64	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
66		psrgsum.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
67		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
68	38, 39, 40	psrring 21937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
69	68	ringcmnd 20254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
70	69	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑆 ∈ CMnd)
71		psrgsum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
72	71	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝐴 ∈ Fin)
73		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
74	72, 73	ssfid 9168	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑏 ∈ Fin)
75	1	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
76	73	sselda 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → 𝑙 ∈ 𝐴)
77	75, 76	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) ∧ 𝑙 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑙) ∈ 𝐵)
78		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
79	78	eldifbd 3898	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ¬ 𝑓 ∈ 𝑏)
80	1	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
81	78	eldifad 3897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → 𝑓 ∈ 𝐴)
82	80, 81	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝐵)
83		fveq2 6829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑓))
84	66, 67, 70, 74, 77, 78, 79, 82, 83	gsumunsn 19924	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑓)))
85		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
86	77	fmpttd 7056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)):𝑏⟶𝐵)
87		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)) = (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))
88		fvexd 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (0g‘𝑆) ∈ V)
89	87, 74, 77, 88	fsuppmptdm 9278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)) finSupp (0g‘𝑆))
90	66, 34, 70, 74, 86, 89	gsumcl 19879	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∈ 𝐵)
91	38, 66, 85, 67, 90, 82	psradd 21906	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑓)) = ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑓)))
92	17	cbvmptv 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))
93	92	oveq2i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙)))
94		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
95	93, 94	eqtr3id 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
96		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
97	38, 96, 43, 66, 82	psrelbas 21903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓):𝐷⟶(Base‘𝑅))
98	97	feqmptd 6897	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝐹‘𝑓) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦)))
99	95, 98	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → ((𝑆 Σg (𝑙 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑙))) ∘f (+g‘𝑅)(𝐹‘𝑓)) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
100	84, 91, 99	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) ∘f (+g‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
101	40	ringcmnd 20254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
102	101	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
103	71	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ Fin)
104		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑏 ⊆ 𝐴)
105	103, 104	ssfid 9168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ Fin)
106	1	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
107	104	sselda 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑘 ∈ 𝐴)
108	106, 107	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
109	38, 96, 43, 66, 108	psrelbas 21903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → (𝐹‘𝑘):𝐷⟶(Base‘𝑅))
110		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → 𝑦 ∈ 𝐷)
111	109, 110	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑘 ∈ 𝑏) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
112		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
113	112	eldifbd 3898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ¬ 𝑓 ∈ 𝑏)
114	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
115		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))
116	115	eldifad 3897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → 𝑓 ∈ 𝐴)
117	114, 116	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑓) ∈ 𝐵)
118	38, 96, 43, 66, 117	psrelbas 21903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝐹‘𝑓):𝐷⟶(Base‘𝑅))
119	118	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑓)‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
120		fveq2 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑓 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑓))
121	120	fveq1d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑘)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑓)‘𝑦))
122	96, 85, 102, 105, 111, 112, 113, 119, 121	gsumunsn 19924	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦)))
123	122	mpteq2dva 5167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
124	123	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))(+g‘𝑅)((𝐹‘𝑓)‘𝑦))))
125	65, 100, 124	3eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) ∧ (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
126	125	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏)) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
127	126	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ∖ 𝑏))) → ((𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑏 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))) → (𝑆 Σg (𝑙 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ (𝐹‘𝑙))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (𝑏 ∪ {𝑓}) ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦))))))
128	9, 15, 24, 30, 53, 127, 71	findcard2d 9090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))
129	3, 128	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑦)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3387  Vcvv 3427   ∖ cdif 3882   ∪ cun 3883   ⊆ wss 3885  ∅c0 4263  {csn 4557   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155   × cxp 5618   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   ↑_m cmap 8762  Fincfn 8882   finSupp cfsupp 9263  0cc0 11027  ℕ₀cn0 12426  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  0_gc0g 17391   Σ_g cgsu 17392  CMndccmn 19744  Ringcrg 20203   mPwSer cmps 21873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-psr 21878

This theorem is referenced by:  mplgsum  33685