Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgrhashclwwlkn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgrhashclwwlkn 27843
 Description: The size of the set of closed walks (defined as words) with a fixed length which is a prime number is the product of the number of equivalence classes for ∼ over the set of closed walks and the fixed length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
Assertion
Ref Expression
fusgrhashclwwlkn ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 / )) · 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡   𝑛,𝑊   𝑛,𝐺,𝑢
Allowed substitution hints:   (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem fusgrhashclwwlkn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21fusgrvtxfi 27088 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
32adantr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4 erclwwlkn.w . . . 4 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
5 erclwwlkn.r . . . 4 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
64, 5hashclwwlkn0 27838 . . 3 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / )(♯‘𝑥))
73, 6syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / )(♯‘𝑥))
8 fusgrusgr 27091 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
9 usgrumgr 26951 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
114, 5umgrhashecclwwlk 27842 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ (𝑊 / ) → (♯‘𝑥) = 𝑁))
1210, 11sylan 583 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ (𝑊 / ) → (♯‘𝑥) = 𝑁))
1312imp 410 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 / )) → (♯‘𝑥) = 𝑁)
1413sumeq2dv 15039 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / )(♯‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / )𝑁)
154, 5qerclwwlknfi 27837 . . . 4 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ) ∈ Fin)
163, 15syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑊 / ) ∈ Fin)
17 prmnn 15995 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
1817nncnd 11631 . . . 4 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℂ)
1918adantl 485 . . 3 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20 fsumconst 15124 . . 3 (((𝑊 / ) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / )𝑁 = ((♯‘(𝑊 / )) · 𝑁))
2116, 19, 20syl2anc 587 . 2 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / )𝑁 = ((♯‘(𝑊 / )) · 𝑁))
227, 14, 213eqtrd 2860 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 / )) · 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127  {copab 5101  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   / cqs 8263  Fincfn 8484  ℂcc 10512  0cc0 10514   · cmul 10519  ...cfz 12875  ♯chash 13674   cyclShift ccsh 14129  Σcsu 15021  ℙcprime 15992  Vtxcvtx 26768  UMGraphcumgr 26853  USGraphcusgr 26921  FinUSGraphcfusgr 27085   ClWWalksN cclwwlkn 27788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-disj 5005  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-ec 8266  df-qs 8270  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-xnn0 11946  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-ico 12722  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-word 13846  df-lsw 13894  df-concat 13902  df-substr 13982  df-pfx 14012  df-reps 14110  df-csh 14130  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-dvds 15587  df-gcd 15821  df-prm 15993  df-phi 16080  df-edg 26820  df-umgr 26855  df-usgr 26923  df-fusgr 27086  df-clwwlk 27746  df-clwwlkn 27789 This theorem is referenced by:  clwwlkndivn  27844
 Copyright terms: Public domain W3C validator