Theorem fusgrhashclwwlkn 30008

Description: The size of the set of closed walks (defined as words) with a fixed length which is a prime number is the product of the number of equivalence classes for ∼ over the set of closed walks and the fixed length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
fusgrhashclwwlkn	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡   𝑛,𝑊   𝑛,𝐺,𝑢

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem fusgrhashclwwlkn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	fusgrvtxfi 29246	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
5		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
6	4, 5	hashclwwlkn0 30003	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))
8		fusgrusgr 29249	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
9		usgrumgr 29108	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
11	4, 5	umgrhashecclwwlk 30007	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ ) → (♯‘𝑥) = 𝑁))
12	10, 11	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ ) → (♯‘𝑥) = 𝑁))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )) → (♯‘𝑥) = 𝑁)
14	13	sumeq2dv 15668	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁)
15	4, 5	qerclwwlknfi 30002	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ∼ ) ∈ Fin)
16	3, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑊 / ∼ ) ∈ Fin)
17		prmnn 16644	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nncnd 12202	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20		fsumconst 15756	. . 3 ⊢ (((𝑊 / ∼ ) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁 = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁 = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))
22	7, 14, 21	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {copab 5169  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   / cqs 8670  Fincfn 8918  ℂcc 11066  0cc0 11068   · cmul 11073  ...cfz 13468  ♯chash 14295   cyclShift ccsh 14753  Σcsu 15652  ℙcprime 16641  Vtxcvtx 28923  UMGraphcumgr 29008  USGraphcusgr 29076  FinUSGraphcfusgr 29243   ClWWalksN cclwwlkn 29953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-reps 14734  df-csh 14754  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-phi 16736  df-edg 28975  df-umgr 29010  df-usgr 29078  df-fusgr 29244  df-clwwlk 29911  df-clwwlkn 29954

This theorem is referenced by:  clwwlkndivn  30009