Theorem fusgrhashclwwlkn 30549

Description: The size of the set of closed walks (defined as words) with a fixed length which is a prime number is the product of the number of equivalence classes for ∼ over the set of closed walks and the fixed length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
fusgrhashclwwlkn	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡   𝑛,𝑊   𝑛,𝐺,𝑢

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem fusgrhashclwwlkn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	fusgrvtxfi 29779	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
5		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
6	4, 5	hashclwwlkn0 30544	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))
8		fusgrusgr 29782	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
9		usgrumgr 29641	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
11	4, 5	umgrhashecclwwlk 30548	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ ) → (♯‘𝑥) = 𝑁))
12	10, 11	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ ) → (♯‘𝑥) = 𝑁))
13	12	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )) → (♯‘𝑥) = 𝑁)
14	13	sumeq2dv 15789	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁)
15	4, 5	qerclwwlknfi 30543	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ∼ ) ∈ Fin)
16	3, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑊 / ∼ ) ∈ Fin)
17		prmnn 16764	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nncnd 12273	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20		fsumconst 15876	. . 3 ⊢ (((𝑊 / ∼ ) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁 = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))
21	16, 19, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁 = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))
22	7, 14, 21	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  {copab 5167  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   / cqs 8695  Fincfn 8952  ℂcc 11122  0cc0 11124   · cmul 11129  ...cfz 13561  ♯chash 14394   cyclShift ccsh 14859  Σcsu 15773  ℙcprime 16761  Vtxcvtx 29453  UMGraphcumgr 29538  USGraphcusgr 29609  FinUSGraphcfusgr 29776   ClWWalksN cclwwlkn 30494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-reps 14840  df-csh 14860  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762  df-phi 16857  df-edg 29505  df-umgr 29540  df-usgr 29611  df-fusgr 29777  df-clwwlk 30452  df-clwwlkn 30495

This theorem is used by:  clwwlkndivn  30550