Theorem fusgrhashclwwlkn 28344

Description: The size of the set of closed walks (defined as words) with a fixed length which is a prime number is the product of the number of equivalence classes for ∼ over the set of closed walks and the fixed length. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
fusgrhashclwwlkn	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡   𝑛,𝑊   𝑛,𝐺,𝑢

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑡)

Proof of Theorem fusgrhashclwwlkn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	fusgrvtxfi 27589	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4		erclwwlkn.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
5		erclwwlkn.r	. . . 4 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
6	4, 5	hashclwwlkn0 28339	. . 3 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥))
8		fusgrusgr 27592	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
9		usgrumgr 27452	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
11	4, 5	umgrhashecclwwlk 28343	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ ) → (♯‘𝑥) = 𝑁))
12	10, 11	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ ) → (♯‘𝑥) = 𝑁))
13	12	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )) → (♯‘𝑥) = 𝑁)
14	13	sumeq2dv 15343	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )(♯‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁)
15	4, 5	qerclwwlknfi 28338	. . . 4 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑊 / ∼ ) ∈ Fin)
16	3, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑊 / ∼ ) ∈ Fin)
17		prmnn 16307	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nncnd 11919	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20		fsumconst 15430	. . 3 ⊢ (((𝑊 / ∼ ) ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁 = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))
21	16, 19, 20	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → Σ𝑥 ∈ (𝑊 / ∼ )𝑁 = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))
22	7, 14, 21	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘𝑊) = ((♯‘(𝑊 / ∼ )) · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {copab 5132  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   / cqs 8455  Fincfn 8691  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807  ...cfz 13168  ♯chash 13972   cyclShift ccsh 14429  Σcsu 15325  ℙcprime 16304  Vtxcvtx 27269  UMGraphcumgr 27354  USGraphcusgr 27422  FinUSGraphcfusgr 27586   ClWWalksN cclwwlkn 28289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-reps 14410  df-csh 14430  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-phi 16395  df-edg 27321  df-umgr 27356  df-usgr 27424  df-fusgr 27587  df-clwwlk 28247  df-clwwlkn 28290

This theorem is referenced by:  clwwlkndivn  28345