Theorem clwwlkndivn 30680

Description: The size of the set of closed walks (defined as words) of length 𝑁 is divisible by 𝑁 if 𝑁 is a prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkndivn	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkndivn

Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	fusgrvtxfi 29909	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
6	4, 5	qerclwwlknfi 30673	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}) ∈ Fin)
7		hashcl 14507	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}) ∈ Fin → (♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℕ0)
8	3, 6, 7	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12725	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℤ)
10		prmz 16859	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		dvdsmul2 16457	. . 3 ⊢ (((♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
13	9, 11, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ ((♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
14	4, 5	fusgrhashclwwlkn 30679	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = ((♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
15	13, 14	breqtrrd 5132	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  {copab 5166  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   / cqs 8723  Fincfn 8980  0cc0 11207   · cmul 11212  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ...cfz 13646  ♯chash 14481   cyclShift ccsh 14947   ∥ cdvds 16431  ℙcprime 16855  Vtxcvtx 29583  FinUSGraphcfusgr 29906   ClWWalksN cclwwlkn 30624

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-ico 13489  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-word 14666  df-lsw 14715  df-concat 14723  df-substr 14797  df-pfx 14829  df-reps 14928  df-csh 14948  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-prm 16856  df-phi 16952  df-edg 29635  df-umgr 29670  df-usgr 29741  df-fusgr 29907  df-clwwlk 30582  df-clwwlkn 30625

This theorem is used by:  clwlksndivn  30686  numclwwlk8  31002