Theorem clwwlkndivn 30728

Description: The size of the set of closed walks (defined as words) of length 𝑁 is divisible by 𝑁 if 𝑁 is a prime number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlkndivn	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem clwwlkndivn

Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	fusgrvtxfi 29957	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))} = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
6	4, 5	qerclwwlknfi 30721	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}) ∈ Fin)
7		hashcl 14541	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}) ∈ Fin → (♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℕ0)
8	3, 6, 7	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12758	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℤ)
10		prmz 16894	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		dvdsmul2 16492	. . 3 ⊢ (((♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
13	9, 11, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ ((♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
14	4, 5	fusgrhashclwwlkn 30727	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) = ((♯‘((𝑁 ClWWalksN 𝐺) / {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ 𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))})) · 𝑁))
15	13, 14	breqtrrd 5139	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∥ (♯‘(𝑁 ClWWalksN 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  {copab 5173  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   / cqs 8754  Fincfn 9011  0cc0 11239   · cmul 11244  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ...cfz 13679  ♯chash 14515   cyclShift ccsh 14981   ∥ cdvds 16466  ℙcprime 16890  Vtxcvtx 29631  FinUSGraphcfusgr 29954   ClWWalksN cclwwlkn 30672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-word 14700  df-lsw 14749  df-concat 14757  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-reps 14962  df-csh 14982  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-phi 16987  df-edg 29683  df-umgr 29718  df-usgr 29789  df-fusgr 29955  df-clwwlk 30630  df-clwwlkn 30673

This theorem is used by:  clwlksndivn  30734  numclwwlk8  31050