Theorem hashrepr 34789

Description: Develop the number of representations of an integer 𝑀 as a sum of nonnegative integers in set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashrepr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
hashrepr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
hashrepr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
hashrepr	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑐   𝑀,𝑎,𝑐   𝑆,𝑎,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐

Proof of Theorem hashrepr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashrepr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		hashrepr.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12544	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		hashrepr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5		fzfid 13930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
6		fz1ssnn 13504	. . . 4 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ ℕ)
8	1, 3, 4, 5, 7	hashreprin 34784	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
9	2, 4, 1	reprinfz1 34786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀))
10	9	fveq2d 6840	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = (♯‘((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀)))
11	2, 4	reprfz1 34788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℕ(repr‘𝑆)𝑀) = ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀))
12	11	sumeq1d 15657	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
13	8, 10, 12	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  1c1 11034  𝟭cind 12154  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287  Σcsu 15643  ∏cprod 15863  reprcrepr 34772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-ind 12155  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-prod 15864  df-repr 34773

This theorem is referenced by:  circlemethnat  34805