Theorem hashrepr 32584

Description: Develop the number of representations of an integer 𝑀 as a sum of nonnegative integers in set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashrepr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
hashrepr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
hashrepr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
hashrepr	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑐   𝑀,𝑎,𝑐   𝑆,𝑎,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐

Proof of Theorem hashrepr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashrepr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		hashrepr.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12406	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		hashrepr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5		fzfid 13674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
6		fz1ssnn 13269	. . . 4 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ ℕ)
8	1, 3, 4, 5, 7	hashreprin 32579	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
9	2, 4, 1	reprinfz1 32581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀))
10	9	fveq2d 6772	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = (♯‘((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀)))
11	2, 4	reprfz1 32583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℕ(repr‘𝑆)𝑀) = ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀))
12	11	sumeq1d 15394	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
13	8, 10, 12	3eqtr4d 2789	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  0cc0 10855  1c1 10856  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216  ...cfz 13221  ..^cfzo 13364  ♯chash 14025  Σcsu 15378  ∏cprod 15596  𝟭cind 31957  reprcrepr 32567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-ico 13067  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379  df-prod 15597  df-ind 31958  df-repr 32568

This theorem is referenced by:  circlemethnat  32600