Theorem hashrepr 34769

Description: Develop the number of representations of an integer 𝑀 as a sum of nonnegative integers in set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashrepr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
hashrepr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
hashrepr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
hashrepr	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑐   𝑀,𝑎,𝑐   𝑆,𝑎,𝑐   𝜑,𝑎,𝑐

Proof of Theorem hashrepr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashrepr.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		hashrepr.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12549	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		hashrepr.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ0)
5		fzfid 13935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
6		fz1ssnn 13509	. . . 4 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ⊆ ℕ)
8	1, 3, 4, 5, 7	hashreprin 34764	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
9	2, 4, 1	reprinfz1 34766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(repr‘𝑆)𝑀) = ((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀))
10	9	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = (♯‘((𝐴 ∩ (1...𝑀))(repr‘𝑆)𝑀)))
11	2, 4	reprfz1 34768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℕ(repr‘𝑆)𝑀) = ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀))
12	11	sumeq1d 15662	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑀)(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))
13	8, 10, 12	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐴(repr‘𝑆)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (ℕ(repr‘𝑆)𝑀)∏𝑎 ∈ (0..^𝑆)(((𝟭‘ℕ)‘𝐴)‘(𝑐‘𝑎)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039  𝟭cind 12159  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Σcsu 15648  ∏cprod 15868  reprcrepr 34752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-ind 12160  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-prod 15869  df-repr 34753

This theorem is referenced by:  circlemethnat  34785