Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashrepr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashrepr 33468
Description: Develop the number of representations of an integer 𝑀 as a sum of nonnegative integers in set 𝐴. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hashrepr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
hashrepr.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
hashrepr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
hashrepr (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑐   𝑀,π‘Ž,𝑐   𝑆,π‘Ž,𝑐   πœ‘,π‘Ž,𝑐

Proof of Theorem hashrepr
StepHypRef Expression
1 hashrepr.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
2 hashrepr.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
32nn0zd 12566 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 hashrepr.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
5 fzfid 13920 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
6 fz1ssnn 13514 . . . 4 (1...𝑀) βŠ† β„•
76a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) βŠ† β„•)
81, 3, 4, 5, 7hashreprin 33463 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜((𝐴 ∩ (1...𝑀))(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑀)(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
92, 4, 1reprinfz1 33465 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀) = ((𝐴 ∩ (1...𝑀))(reprβ€˜π‘†)𝑀))
109fveq2d 6882 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = (β™―β€˜((𝐴 ∩ (1...𝑀))(reprβ€˜π‘†)𝑀)))
112, 4reprfz1 33467 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑀) = ((1...𝑀)(reprβ€˜π‘†)𝑀))
1211sumeq1d 15629 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)) = Σ𝑐 ∈ ((1...𝑀)(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
138, 10, 123eqtr4d 2781 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(𝐴(reprβ€˜π‘†)𝑀)) = Σ𝑐 ∈ (β„•(reprβ€˜π‘†)𝑀)βˆπ‘Ž ∈ (0..^𝑆)(((πŸ­β€˜β„•)β€˜π΄)β€˜(π‘β€˜π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093  β„•cn 12194  β„•0cn0 12454  ...cfz 13466  ..^cfzo 13609  β™―chash 14272  Ξ£csu 15614  βˆcprod 15831  πŸ­cind 32839  reprcrepr 33451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-prod 15832  df-ind 32840  df-repr 33452
This theorem is referenced by:  circlemethnat  33484
  Copyright terms: Public domain W3C validator