MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvgr 15564
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
caurcvgr.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
caurcvgr.3 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
caurcvgr (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐴   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem caurcvgr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2 caurcvgr.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
3 caurcvgr.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4 caurcvgr.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
5 1rp 12924 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
71, 2, 3, 4, 6caucvgrlem 15563 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))))
8 simpl 484 . . . . 5 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
98rexlimivw 3145 . . . 4 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
1110recnd 11188 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
121adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
132adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
143adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
154adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
16 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
17 3rp 12926 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
18 rpdivcl 12945 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1916, 17, 18sylancl 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
2012, 13, 14, 15, 19caucvgrlem 15563 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))))
21 simpr 486 . . . . . . 7 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
2221reximi 3084 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
2320, 22syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
24 ssrexv 4012 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))))
2512, 23, 24sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
26 rpcn 12930 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2726adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
28 3cn 12239 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„‚
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 3 ∈ β„‚)
30 3ne0 12264 . . . . . . . . 9 3 β‰  0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 3 β‰  0)
3227, 29, 31divcan2d 11938 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (3 Β· (𝑦 / 3)) = 𝑦)
3332breq2d 5118 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)) ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
3433imbi2d 341 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦)))
3534rexralbidv 3211 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦)))
3625, 35mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
3736ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
38 ax-resscn 11113 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
39 fss 6686 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
402, 38, 39sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
41 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4240, 1, 41rlim 15383 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ) ↔ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))))
4311, 37, 42mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9381  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   Β· cmul 11061  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  3c3 12214  β„+crp 12920  abscabs 15125  lim supclsp 15358   β‡π‘Ÿ crli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15565  caurcvg  15567
  Copyright terms: Public domain W3C validator