MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvgr 15707
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caurcvgr (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caurcvgr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 caurcvgr.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
3 caurcvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4 caurcvgr.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5 1rp 13036 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
71, 2, 3, 4, 6caucvgrlem 15706 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))))
8 simpl 482 . . . . 5 (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
98rexlimivw 3149 . . . 4 (∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
1110recnd 11287 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
121adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
132adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
143adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
154adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17 3rp 13038 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
18 rpdivcl 13058 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
2012, 13, 14, 15, 19caucvgrlem 15706 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
21 simpr 484 . . . . . . 7 (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
2221reximi 3082 . . . . . 6 (∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
2320, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
24 ssrexv 4065 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
2512, 23, 24sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
26 rpcn 13043 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
2726adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
28 3cn 12345 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℂ)
30 3ne0 12370 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ≠ 0)
3227, 29, 31divcan2d 12043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
3332breq2d 5160 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)) ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
3433imbi2d 340 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
3534rexralbidv 3221 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
3625, 35mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
3736ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
38 ax-resscn 11210 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
39 fss 6753 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
402, 38, 39sylancl 586 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
41 eqidd 2736 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4240, 1, 41rlim 15528 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))))
4311, 37, 42mpbir2and 713 1 (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  3c3 12320  +crp 13032  abscabs 15270  lim supclsp 15503  𝑟 crli 15518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-rlim 15522
This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15708  caurcvg  15710
  Copyright terms: Public domain W3C validator