MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvgr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem caurcvgr 15625
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
caurcvgr.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
caurcvgr.3 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
caurcvgr (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐴   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Proof of Theorem caurcvgr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2 caurcvgr.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
3 caurcvgr.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4 caurcvgr.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
5 1rp 12983 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
71, 2, 3, 4, 6caucvgrlem 15624 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))))
8 simpl 482 . . . . 5 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
98rexlimivw 3150 . . . 4 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
1110recnd 11247 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
121adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
132adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
143adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
154adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
17 3rp 12985 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
18 rpdivcl 13004 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1916, 17, 18sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
2012, 13, 14, 15, 19caucvgrlem 15624 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))))
21 simpr 484 . . . . . . 7 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
2221reximi 3083 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
2320, 22syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
24 ssrexv 4051 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))))
2512, 23, 24sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
26 rpcn 12989 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2726adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
28 3cn 12298 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„‚
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 3 ∈ β„‚)
30 3ne0 12323 . . . . . . . . 9 3 β‰  0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 3 β‰  0)
3227, 29, 31divcan2d 11997 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (3 Β· (𝑦 / 3)) = 𝑦)
3332breq2d 5160 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)) ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
3433imbi2d 340 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦)))
3534rexralbidv 3219 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦)))
3625, 35mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
3736ralrimiva 3145 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
38 ax-resscn 11170 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
39 fss 6734 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
402, 38, 39sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
41 eqidd 2732 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4240, 1, 41rlim 15444 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ) ↔ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))))
4311, 37, 42mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9438  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   Β· cmul 11118  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  3c3 12273  β„+crp 12979  abscabs 15186  lim supclsp 15419   β‡π‘Ÿ crli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-rlim 15438
This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15626  caurcvg  15628
  Copyright terms: Public domain W3C validator