Theorem caurcvgr 15024

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caurcvgr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		caurcvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		caurcvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4		caurcvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5		1rp 12387	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
7	1, 2, 3, 4, 6	caucvgrlem 15023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))))
8		simpl 485	. . . . 5 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
9	8	rexlimivw 3282	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10663	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
12	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	2	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	3	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
15	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
16		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17		3rp 12389	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
18		rpdivcl 12408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
19	16, 17, 18	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
20	12, 13, 14, 15, 19	caucvgrlem 15023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
21		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
22	21	reximi 3243	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
23	20, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
24		ssrexv 4033	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
25	12, 23, 24	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
26		rpcn 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
27	26	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
28		3cn 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℂ)
30		3ne0 11737	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ≠ 0)
32	27, 29, 31	divcan2d 11412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
33	32	breq2d 5070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
34	33	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
35	34	rexralbidv 3301	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
36	25, 35	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
37	36	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
38		ax-resscn 10588	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		fss 6521	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40	2, 38, 39	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
41		eqidd 2822	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
42	40, 1, 41	rlim 14846	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))))
43	11, 37, 42	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  supcsup 8898  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  3c3 11687  ℝ⁺crp 12383  abscabs 14587  lim supclsp 14821   ⇝_𝑟 crli 14836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-rlim 14840

This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15025  caurcvg  15027