Theorem caurcvgr 15684

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caurcvgr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		caurcvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		caurcvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4		caurcvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5		1rp 12994	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
7	1, 2, 3, 4, 6	caucvgrlem 15683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))))
8		simpl 486	. . . . 5 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
9	8	rexlimivw 3158	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11207	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
12	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	2	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	3	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
15	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
16		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17		3rp 12996	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
18		rpdivcl 13017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
19	16, 17, 18	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
20	12, 13, 14, 15, 19	caucvgrlem 15683	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
21		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
22	21	reximi 3099	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
23	20, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
24		ssrexv 4006	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
25	12, 23, 24	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
26		rpcn 13001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
27	26	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
28		3cn 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℂ)
30		3ne0 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ≠ 0)
32	27, 29, 31	divcan2d 11966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
33	32	breq2d 5111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
34	33	imbi2d 342	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
35	34	rexralbidv 3227	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
36	25, 35	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
37	36	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
38		ax-resscn 11127	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		fss 6704	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40	2, 38, 39	sylancl 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
41		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
42	40, 1, 41	rlim 15505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))))
43	11, 37, 42	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  supcsup 9383  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   · cmul 11075  +∞cpnf 11210  ℝ^*cxr 11212   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411   / cdiv 11841  3c3 12270  ℝ⁺crp 12990  abscabs 15244  lim supclsp 15480   ⇝_𝑟 crli 15495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-ico 13352  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-rlim 15499

This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15685  caurcvg  15687