MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvgr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem caurcvgr 15616
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
caurcvgr.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
caurcvgr.3 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
Assertion
Ref Expression
caurcvgr (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐴   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Proof of Theorem caurcvgr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2 caurcvgr.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
3 caurcvgr.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4 caurcvgr.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
5 1rp 12974 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
71, 2, 3, 4, 6caucvgrlem 15615 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))))
8 simpl 483 . . . . 5 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
98rexlimivw 3151 . . . 4 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· 1))) β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ)
1110recnd 11238 . 2 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
121adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
132adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
143adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
154adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (πΉβ€˜π‘—))) < π‘₯))
16 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
17 3rp 12976 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
18 rpdivcl 12995 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
2012, 13, 14, 15, 19caucvgrlem 15615 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))))
21 simpr 485 . . . . . . 7 (((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
2221reximi 3084 . . . . . 6 (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 ((lim supβ€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
2320, 22syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
24 ssrexv 4050 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝐴 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)))))
2512, 23, 24sylc 65 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))))
26 rpcn 12980 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2726adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
28 3cn 12289 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„‚
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 3 ∈ β„‚)
30 3ne0 12314 . . . . . . . . 9 3 β‰  0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 3 β‰  0)
3227, 29, 31divcan2d 11988 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (3 Β· (𝑦 / 3)) = 𝑦)
3332breq2d 5159 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3)) ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
3433imbi2d 340 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦)))
3534rexralbidv 3220 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < (3 Β· (𝑦 / 3))) ↔ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦)))
3625, 35mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
3736ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))
38 ax-resscn 11163 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
39 fss 6731 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
402, 38, 39sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
41 eqidd 2733 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
4240, 1, 41rlim 15435 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ) ↔ ((lim supβ€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 (𝑗 ≀ π‘˜ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜) βˆ’ (lim supβ€˜πΉ))) < 𝑦))))
4311, 37, 42mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ (lim supβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  supcsup 9431  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  3c3 12264  β„+crp 12970  abscabs 15177  lim supclsp 15410   β‡π‘Ÿ crli 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-rlim 15429
This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15617  caurcvg  15619
  Copyright terms: Public domain W3C validator