Theorem caurcvgr 15710

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caurcvgr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		caurcvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		caurcvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4		caurcvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5		1rp 13038	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
7	1, 2, 3, 4, 6	caucvgrlem 15709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))))
8		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
9	8	rexlimivw 3151	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11289	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
12	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
15	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17		3rp 13040	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
18		rpdivcl 13060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
20	12, 13, 14, 15, 19	caucvgrlem 15709	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
22	21	reximi 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
23	20, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
24		ssrexv 4053	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
25	12, 23, 24	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
26		rpcn 13045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
28		3cn 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℂ)
30		3ne0 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ≠ 0)
32	27, 29, 31	divcan2d 12045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
33	32	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
34	33	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
35	34	rexralbidv 3223	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
36	25, 35	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
37	36	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
38		ax-resscn 11212	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
39		fss 6752	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
40	2, 38, 39	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
41		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
42	40, 1, 41	rlim 15531	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))))
43	11, 37, 42	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  3c3 12322  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273  lim supclsp 15506   ⇝_𝑟 crli 15521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-rlim 15525

This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15711  caurcvg  15713