MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  caurcvgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caurcvgr 15710
Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caurcvgr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
caurcvgr (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caurcvgr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caurcvgr.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2 caurcvgr.2 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
3 caurcvgr.3 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4 caurcvgr.4 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5 1rp 13038 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
71, 2, 3, 4, 6caucvgrlem 15709 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))))
8 simpl 482 . . . . 5 (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
98rexlimivw 3151 . . . 4 (∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
1110recnd 11289 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
121adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
132adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
143adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
154adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17 3rp 13040 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ+
18 rpdivcl 13060 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
2012, 13, 14, 15, 19caucvgrlem 15709 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
21 simpr 484 . . . . . . 7 (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
2221reximi 3084 . . . . . 6 (∃𝑗𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
2320, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
24 ssrexv 4053 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗𝐴𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
2512, 23, 24sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
26 rpcn 13045 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
2726adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
28 3cn 12347 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℂ)
30 3ne0 12372 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ≠ 0)
3227, 29, 31divcan2d 12045 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
3332breq2d 5155 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)) ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
3433imbi2d 340 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
3534rexralbidv 3223 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
3625, 35mpbid 232 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
3736ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
38 ax-resscn 11212 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
39 fss 6752 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
402, 38, 39sylancl 586 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
41 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4240, 1, 41rlim 15531 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘 → (abs‘((𝐹𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))))
4311, 37, 42mpbir2and 713 1 (𝜑𝐹𝑟 (lim sup‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  3c3 12322  +crp 13034  abscabs 15273  lim supclsp 15506  𝑟 crli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-rlim 15525
This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  15711  caurcvg  15713
  Copyright terms: Public domain W3C validator