MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlema 25494
Description: Lemma for dchrvmasum 25519 and dchrvmasumif 25497. Apply dchrisum 25486 for the function log(𝑦) / 𝑦, which is decreasing above e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumlema.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
7 dchrisum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
9 fveq2 6379 . . . 4 (𝑛 = 𝑥 → (log‘𝑛) = (log‘𝑥))
10 id 22 . . . 4 (𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑥)
119, 10oveq12d 6864 . . 3 (𝑛 = 𝑥 → ((log‘𝑛) / 𝑛) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
12 3nn 11355 . . . 4 3 ∈ ℕ
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
14 relogcl 24627 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
15 rerpdivcl 12064 . . . . 5 (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1614, 15mpancom 679 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1716adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
18 simp3r 1259 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛𝑥)
19 simp2l 1256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2019rpred 12075 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 ere 15115 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ∈ ℝ)
23 3re 11356 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 3 ∈ ℝ)
25 egt2lt3 15230 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
2625simpri 479 . . . . . . . 8 e < 3
2721, 23, 26ltleii 10418 . . . . . . 7 e ≤ 3
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 3)
29 simp3l 1258 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 3 ≤ 𝑛)
3022, 24, 20, 28, 29letrd 10452 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 𝑛)
31 simp2r 1257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3231rpred 12075 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3322, 20, 32, 30, 18letrd 10452 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 𝑥)
34 logdivle 24673 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 867 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
3618, 35mpbid 223 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
37 rpcn 12045 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
3837cxp1d 24757 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛𝑐1) = 𝑛)
3938oveq2d 6862 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1)) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
4039mpteq2ia 4901 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛))
41 1rp 12037 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
42 cxploglim 25009 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) ⇝𝑟 0)
4341, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) ⇝𝑟 0)
4440, 43syl5eqbrr 4847 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
45 dchrvmasumlema.f . . . 4 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
46 2fveq3 6384 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
47 fveq2 6379 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛 → (log‘𝑎) = (log‘𝑛))
48 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛𝑎 = 𝑛)
4947, 48oveq12d 6864 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → ((log‘𝑎) / 𝑎) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
5046, 49oveq12d 6864 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
5150cbvmptv 4911 . . . 4 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
5245, 51eqtri 2787 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
531, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 52dchrisum 25486 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))))
54 2fveq3 6384 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)))
5554fvoveq1d 6868 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)))
56 fveq2 6379 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
57 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
5856, 57oveq12d 6864 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘𝑦) / 𝑦))
5958oveq2d 6862 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
6055, 59breq12d 4824 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6160cbvralv 3319 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
6261anbi2i 616 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6362rexbii 3188 . . 3 (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6463exbii 1943 . 2 (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6553, 64sylib 209 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6846  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  +∞cpnf 10329   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  3c3 11332  +crp 12033  [,)cico 12384  cfl 12804  seqcseq 13013  abscabs 14273  cli 14514  𝑟 crli 14515  eceu 15089  Basecbs 16144  0gc0g 16380  ℤRHomczrh 20135  ℤ/nczn 20138  logclog 24606  𝑐ccxp 24607  DChrcdchr 25262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-tpos 7559  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-ec 7953  df-qs 7957  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-xnn0 11615  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-fac 13270  df-bc 13299  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-ef 15094  df-e 15095  df-sin 15096  df-cos 15097  df-pi 15099  df-dvds 15280  df-gcd 15512  df-phi 15764  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-qus 16449  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-mhm 17615  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-nsg 17870  df-eqg 17871  df-ghm 17936  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-abl 18476  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-cring 18831  df-oppr 18904  df-dvdsr 18922  df-unit 18923  df-invr 18953  df-rnghom 18998  df-subrg 19061  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-lsp 19258  df-sra 19460  df-rgmod 19461  df-lidl 19462  df-rsp 19463  df-2idl 19520  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-zring 20106  df-zrh 20139  df-zn 20142  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936  df-log 24608  df-cxp 24609  df-dchr 25263
This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  25497
  Copyright terms: Public domain W3C validator