MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlema 26846
Description: Lemma for dchrvmasum 26871 and dchrvmasumif 26849. Apply dchrisum 26838 for the function log(𝑦) / 𝑦, which is decreasing above e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumlema.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
7 dchrisum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
9 fveq2 6842 . . . 4 (𝑛 = 𝑥 → (log‘𝑛) = (log‘𝑥))
10 id 22 . . . 4 (𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑥)
119, 10oveq12d 7374 . . 3 (𝑛 = 𝑥 → ((log‘𝑛) / 𝑛) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
12 3nn 12231 . . . 4 3 ∈ ℕ
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
14 relogcl 25929 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
15 rerpdivcl 12944 . . . . 5 (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1614, 15mpancom 686 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
18 simp3r 1202 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛𝑥)
19 simp2l 1199 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2019rpred 12956 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 ere 15970 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ∈ ℝ)
23 3re 12232 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 3 ∈ ℝ)
25 egt2lt3 16087 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
2625simpri 486 . . . . . . . 8 e < 3
2721, 23, 26ltleii 11277 . . . . . . 7 e ≤ 3
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 3)
29 simp3l 1201 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 3 ≤ 𝑛)
3022, 24, 20, 28, 29letrd 11311 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 𝑛)
31 simp2r 1200 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3231rpred 12956 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3322, 20, 32, 30, 18letrd 11311 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 𝑥)
34 logdivle 25975 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 837 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
3618, 35mpbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
37 rpcn 12924 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
3837cxp1d 26059 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛𝑐1) = 𝑛)
3938oveq2d 7372 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1)) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
4039mpteq2ia 5208 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛))
41 1rp 12918 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
42 cxploglim 26325 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) ⇝𝑟 0)
4341, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) ⇝𝑟 0)
4440, 43eqbrtrrid 5141 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
45 dchrvmasumlema.f . . . 4 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
46 2fveq3 6847 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
47 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛 → (log‘𝑎) = (log‘𝑛))
48 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛𝑎 = 𝑛)
4947, 48oveq12d 7374 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → ((log‘𝑎) / 𝑎) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
5046, 49oveq12d 7374 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
5150cbvmptv 5218 . . . 4 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
5245, 51eqtri 2764 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
531, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 52dchrisum 26838 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))))
54 2fveq3 6847 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)))
5554fvoveq1d 7378 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)))
56 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
57 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
5856, 57oveq12d 7374 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘𝑦) / 𝑦))
5958oveq2d 7372 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
6055, 59breq12d 5118 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6160cbvralvw 3225 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
6261anbi2i 623 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6362rexbii 3097 . . 3 (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6463exbii 1850 . 2 (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6553, 64sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7356  cr 11049  0cc0 11050  1c1 11051   + caddc 11053   · cmul 11055  +∞cpnf 11185   < clt 11188  cle 11189  cmin 11384   / cdiv 11811  cn 12152  2c2 12207  3c3 12208  +crp 12914  [,)cico 13265  cfl 13694  seqcseq 13905  abscabs 15118  cli 15365  𝑟 crli 15366  eceu 15944  Basecbs 17082  0gc0g 17320  ℤRHomczrh 20898  ℤ/nczn 20901  logclog 25908  𝑐ccxp 25909  DChrcdchr 26578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-inf2 9576  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128  ax-addf 11129  ax-mulf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-supp 8092  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8647  df-ec 8649  df-qs 8653  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9305  df-fi 9346  df-sup 9377  df-inf 9378  df-oi 9445  df-card 9874  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-xnn0 12485  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13424  df-fzo 13567  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13906  df-exp 13967  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14951  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-limsup 15352  df-clim 15369  df-rlim 15370  df-sum 15570  df-ef 15949  df-e 15950  df-sin 15951  df-cos 15952  df-pi 15954  df-dvds 16136  df-gcd 16374  df-phi 16637  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-rest 17303  df-topn 17304  df-0g 17322  df-gsum 17323  df-topgen 17324  df-pt 17325  df-prds 17328  df-xrs 17383  df-qtop 17388  df-imas 17389  df-qus 17390  df-xps 17391  df-mre 17465  df-mrc 17466  df-acs 17468  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-mhm 18600  df-submnd 18601  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-mulg 18871  df-subg 18923  df-nsg 18924  df-eqg 18925  df-ghm 19004  df-cntz 19095  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-cring 19965  df-oppr 20047  df-dvdsr 20068  df-unit 20069  df-invr 20099  df-rnghom 20144  df-subrg 20218  df-lmod 20322  df-lss 20391  df-lsp 20431  df-sra 20631  df-rgmod 20632  df-lidl 20633  df-rsp 20634  df-2idl 20700  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-fbas 20791  df-fg 20792  df-cnfld 20795  df-zring 20868  df-zrh 20902  df-zn 20905  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-cld 22368  df-ntr 22369  df-cls 22370  df-nei 22447  df-lp 22485  df-perf 22486  df-cn 22576  df-cnp 22577  df-haus 22664  df-tx 22911  df-hmeo 23104  df-fil 23195  df-fm 23287  df-flim 23288  df-flf 23289  df-xms 23671  df-ms 23672  df-tms 23673  df-cncf 24239  df-limc 25228  df-dv 25229  df-log 25910  df-cxp 25911  df-dchr 26579
This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  26849
  Copyright terms: Public domain W3C validator