MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlema 25762
Description: Lemma for dchrvmasum 25787 and dchrvmasumif 25765. Apply dchrisum 25754 for the function log(𝑦) / 𝑦, which is decreasing above e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumlema.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
7 dchrisum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
9 fveq2 6545 . . . 4 (𝑛 = 𝑥 → (log‘𝑛) = (log‘𝑥))
10 id 22 . . . 4 (𝑛 = 𝑥𝑛 = 𝑥)
119, 10oveq12d 7041 . . 3 (𝑛 = 𝑥 → ((log‘𝑛) / 𝑛) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
12 3nn 11570 . . . 4 3 ∈ ℕ
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
14 relogcl 24844 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
15 rerpdivcl 12273 . . . . 5 (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1614, 15mpancom 684 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
18 simp3r 1195 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛𝑥)
19 simp2l 1192 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2019rpred 12285 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21 ere 15279 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ∈ ℝ)
23 3re 11571 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 3 ∈ ℝ)
25 egt2lt3 15396 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
2625simpri 486 . . . . . . . 8 e < 3
2721, 23, 26ltleii 10616 . . . . . . 7 e ≤ 3
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 3)
29 simp3l 1194 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 3 ≤ 𝑛)
3022, 24, 20, 28, 29letrd 10650 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 𝑛)
31 simp2r 1193 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
3231rpred 12285 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3322, 20, 32, 30, 18letrd 10650 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → e ≤ 𝑥)
34 logdivle 24890 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 835 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
3618, 35mpbid 233 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
37 rpcn 12253 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℂ)
3837cxp1d 24974 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛𝑐1) = 𝑛)
3938oveq2d 7039 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1)) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
4039mpteq2ia 5058 . . . 4 (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛))
41 1rp 12247 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
42 cxploglim 25241 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) ⇝𝑟 0)
4341, 42mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛𝑐1))) ⇝𝑟 0)
4440, 43eqbrtrrid 5004 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
45 dchrvmasumlema.f . . . 4 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
46 2fveq3 6550 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
47 fveq2 6545 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛 → (log‘𝑎) = (log‘𝑛))
48 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑛𝑎 = 𝑛)
4947, 48oveq12d 7041 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑛 → ((log‘𝑎) / 𝑎) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
5046, 49oveq12d 7041 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
5150cbvmptv 5068 . . . 4 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
5245, 51eqtri 2821 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
531, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 52dchrisum 25754 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))))
54 2fveq3 6550 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)))
5554fvoveq1d 7045 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)))
56 fveq2 6545 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
57 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
5856, 57oveq12d 7041 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘𝑦) / 𝑦))
5958oveq2d 7039 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
6055, 59breq12d 4981 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6160cbvralv 3405 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
6261anbi2i 622 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6362rexbii 3213 . . 3 (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6463exbii 1833 . 2 (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
6553, 64sylib 219 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108   class class class wbr 4968  cmpt 5047  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  +∞cpnf 10525   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  3c3 11547  +crp 12243  [,)cico 12594  cfl 13014  seqcseq 13223  abscabs 14431  cli 14679  𝑟 crli 14680  eceu 15253  Basecbs 16316  0gc0g 16546  ℤRHomczrh 20333  ℤ/nczn 20336  logclog 24823  𝑐ccxp 24824  DChrcdchr 25494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-tpos 7750  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-ec 8148  df-qs 8152  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-e 15259  df-sin 15260  df-cos 15261  df-pi 15263  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-phi 15936  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-qus 16615  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-nsg 18035  df-eqg 18036  df-ghm 18101  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-cring 18994  df-oppr 19067  df-dvdsr 19085  df-unit 19086  df-invr 19116  df-rnghom 19161  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-lsp 19438  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-lidl 19640  df-rsp 19641  df-2idl 19698  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-zring 20304  df-zrh 20337  df-zn 20340  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825  df-cxp 24826  df-dchr 25495
This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  25765
  Copyright terms: Public domain W3C validator