Theorem dchrvmasumlema 27451

Description: Lemma for dchrvmasum 27476 and dchrvmasumif 27454. Apply dchrisum 27443 for the function log(𝑦) / 𝑦, which is decreasing above e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasumlema.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlema	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrvmasumlema

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		dchrisum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		dchrisum.n1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
9		fveq2 6832	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (log‘𝑛) = (log‘𝑥))
10		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝑛 = 𝑥)
11	9, 10	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((log‘𝑛) / 𝑛) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
12		3nn 12225	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
14		relogcl 26524	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
15		rerpdivcl 12938	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
16	14, 15	mpancom 689	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
18		simp3r 1204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ≤ 𝑥)
19		simp2l 1201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21		ere 16013	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → e ∈ ℝ)
23		3re 12226	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 3 ∈ ℝ)
25		egt2lt3 16132	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
26	25	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ e < 3
27	21, 23, 26	ltleii 11257	. . . . . . 7 ⊢ e ≤ 3
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → e ≤ 3)
29		simp3l 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 3 ≤ 𝑛)
30	22, 24, 20, 28, 29	letrd 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → e ≤ 𝑛)
31		simp2r 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
32	31	rpred 12950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33	22, 20, 32, 30, 18	letrd 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → e ≤ 𝑥)
34		logdivle 26571	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
35	20, 30, 32, 33, 34	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
36	18, 35	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
37		rpcn 12917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℂ)
38	37	cxp1d 26655	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛↑𝑐1) = 𝑛)
39	38	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐1)) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
40	39	mpteq2ia 5181	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛))
41		1rp 12910	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
42		cxploglim 26928	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
43	41, 42	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
44	40, 43	eqbrtrrid 5122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
45		dchrvmasumlema.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
46		2fveq3 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
47		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (log‘𝑎) = (log‘𝑛))
48		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → 𝑎 = 𝑛)
49	47, 48	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((log‘𝑎) / 𝑎) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
50	46, 49	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
51	50	cbvmptv 5190	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
52	45, 51	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
53	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 52	dchrisum 27443	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))))
54		2fveq3 6837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)))
55	54	fvoveq1d 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)))
56		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
57		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
58	56, 57	oveq12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘𝑦) / 𝑦))
59	58	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
60	55, 59	breq12d 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
61	60	cbvralvw 3216	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
62	61	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
63	62	rexbii 3085	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
64	63	exbii 1850	. 2 ⊢ (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
65	53, 64	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  +∞cpnf 11164   < clt 11167   ≤ cle 11168   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  ℝ⁺crp 12906  [,)cico 13264  ⌊cfl 13711  seqcseq 13925  abscabs 15158   ⇝ cli 15408   ⇝_𝑟 crli 15409  eceu 15986  Basecbs 17137  0_gc0g 17360  ℤRHomczrh 21456  ℤ/nℤczn 21459  logclog 26503  ↑_𝑐ccxp 26504  DChrcdchr 27183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-ec 8636  df-qs 8640  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-q 12863  df-rp 12907  df-xneg 13027  df-xadd 13028  df-xmul 13029  df-ioo 13266  df-ioc 13267  df-ico 13268  df-icc 13269  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-fl 13713  df-mod 13791  df-seq 13926  df-exp 13986  df-fac 14198  df-bc 14227  df-hash 14255  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15395  df-clim 15412  df-rlim 15413  df-sum 15611  df-ef 15991  df-e 15992  df-sin 15993  df-cos 15994  df-pi 15996  df-dvds 16181  df-gcd 16423  df-phi 16694  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-rest 17343  df-topn 17344  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-topgen 17364  df-pt 17365  df-prds 17368  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-qus 17431  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-rsp 21166  df-2idl 21207  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-zn 21463  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24263  df-ms 24264  df-tms 24265  df-cncf 24823  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26505  df-cxp 26506  df-dchr 27184

This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  27454