Theorem dchrvmasumlema 27530

Description: Lemma for dchrvmasum 27555 and dchrvmasumif 27533. Apply dchrisum 27522 for the function log(𝑦) / 𝑦, which is decreasing above e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrvmasumlema.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlema	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrvmasumlema

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		dchrisum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		dchrisum.n1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
9		fveq2 6852	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (log‘𝑛) = (log‘𝑥))
10		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → 𝑛 = 𝑥)
11	9, 10	oveq12d 7399	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → ((log‘𝑛) / 𝑛) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
12		3nn 12283	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
14		relogcl 26606	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
15		rerpdivcl 13011	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
16	14, 15	mpancom 696	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
17	16	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
18		simp3r 1212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ≤ 𝑥)
19		simp2l 1209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ)
21		ere 16091	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → e ∈ ℝ)
23		3re 12284	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 3 ∈ ℝ)
25		egt2lt3 16210	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
26	25	simpri 488	. . . . . . . 8 ⊢ e < 3
27	21, 23, 26	ltleii 11292	. . . . . . 7 ⊢ e ≤ 3
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → e ≤ 3)
29		simp3l 1211	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 3 ≤ 𝑛)
30	22, 24, 20, 28, 29	letrd 11326	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → e ≤ 𝑛)
31		simp2r 1210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
32	31	rpred 13023	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
33	22, 20, 32, 30, 18	letrd 11326	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → e ≤ 𝑥)
34		logdivle 26653	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
35	20, 30, 32, 33, 34	syl22anc 847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛)))
36	18, 35	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (3 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
37		rpcn 12990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℂ)
38	37	cxp1d 26737	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛↑𝑐1) = 𝑛)
39	38	oveq2d 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐1)) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
40	39	mpteq2ia 5185	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐1))) = (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛))
41		1rp 12983	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
42		cxploglim 27008	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
43	41, 42	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
44	40, 43	eqbrtrrid 5126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
45		dchrvmasumlema.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)))
46		2fveq3 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
47		fveq2 6852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (log‘𝑎) = (log‘𝑛))
48		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → 𝑎 = 𝑛)
49	47, 48	oveq12d 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((log‘𝑎) / 𝑎) = ((log‘𝑛) / 𝑛))
50	46, 49	oveq12d 7399	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
51	50	cbvmptv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · ((log‘𝑎) / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
52	45, 51	eqtri 2775	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((log‘𝑛) / 𝑛)))
53	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 52	dchrisum 27522	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))))
54		2fveq3 6857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)))
55	54	fvoveq1d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)))
56		fveq2 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
57		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
58	56, 57	oveq12d 7399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘𝑦) / 𝑦))
59	58	oveq2d 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) = (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
60	55, 59	breq12d 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
61	60	cbvralvw 3230	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦)))
62	61	anbi2i 631	. . . 4 ⊢ ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
63	62	rexbii 3099	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
64	63	exbii 1858	. 2 ⊢ (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑥) / 𝑥))) ↔ ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))
65	53, 64	sylib 220	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (3[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · ((log‘𝑦) / 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550  ∃wex 1789   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∀wral 3066  ∃wrex 3076   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℝcr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064  +∞cpnf 11199   < clt 11202   ≤ cle 11203   − cmin 11400   / cdiv 11830  ℕcn 12196  2c2 12258  3c3 12259  ℝ⁺crp 12979  [,)cico 13337  ⌊cfl 13786  seqcseq 14000  abscabs 15233   ⇝ cli 15483   ⇝_𝑟 crli 15484  eceu 16064  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  ℤRHomczrh 21520  ℤ/nℤczn 21523  logclog 26585  ↑_𝑐ccxp 26586  DChrcdchr 27262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-oadd 8425  df-er 8662  df-ec 8664  df-qs 8668  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-ioo 13339  df-ioc 13340  df-ico 13341  df-icc 13342  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15066  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-limsup 15470  df-clim 15487  df-rlim 15488  df-sum 15686  df-ef 16069  df-e 16070  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-dvds 16259  df-gcd 16501  df-phi 16773  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17504  df-qtop 17509  df-imas 17510  df-qus 17511  df-xps 17512  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-ghm 19226  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-lidl 21247  df-rsp 21248  df-2idl 21289  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-fbas 21390  df-fg 21391  df-cnfld 21394  df-zring 21468  df-zrh 21524  df-zn 21527  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22975  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24349  df-ms 24350  df-tms 24351  df-cncf 24909  df-limc 25897  df-dv 25898  df-log 26587  df-cxp 26588  df-dchr 27263

This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  27533