Theorem logfacrlim2 26445

Description: Write out logfacrlim 26443 as a sum of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfacrlim2	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem logfacrlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12319	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		logexprlim 26444	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛))↑1) / 𝑥)) ⇝𝑟 (!‘1))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛))↑1) / 𝑥)) ⇝𝑟 (!‘1)
4		elfznn 13355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 12840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
6		rpdivcl 12825	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7	5, 6	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
8	7	relogcld 25849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
10	9	exp1d 13929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑛))↑1) = (log‘(𝑥 / 𝑛)))
11	10	sumeq2dv 15484	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛))↑1) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘(𝑥 / 𝑛)))
12	11	oveq1d 7328	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛))↑1) / 𝑥) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘(𝑥 / 𝑛)) / 𝑥))
13		fzfid 13763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
14		rpcn 12810	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
15		rpne0 12816	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ≠ 0)
16	13, 14, 9, 15	fsumdivc 15567	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘(𝑥 / 𝑛)) / 𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛)) / 𝑥))
17	12, 16	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛))↑1) / 𝑥) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛)) / 𝑥))
18	17	mpteq2ia 5188	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛))↑1) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛)) / 𝑥))
19		fac1 14061	. 2 ⊢ (!‘1) = 1
20	3, 18, 19	3brtr3i 5114	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑛)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5168  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  1c1 10942   / cdiv 11702  ℕ₀cn0 12303  ℝ⁺crp 12800  ...cfz 13309  ⌊cfl 13580  ↑cexp 13852  !cfa 14057   ⇝_𝑟 crli 15263  Σcsu 15466  logclog 25781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-inf2 9467  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-pre-sup 11019  ax-addf 11020  ax-mulf 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-of 7571  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-supp 8023  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-2o 8343  df-er 8544  df-map 8663  df-pm 8664  df-ixp 8732  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-fsupp 9197  df-fi 9238  df-sup 9269  df-inf 9270  df-oi 9337  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-q 12759  df-rp 12801  df-xneg 12918  df-xadd 12919  df-xmul 12920  df-ioo 13153  df-ioc 13154  df-ico 13155  df-icc 13156  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-fl 13582  df-mod 13660  df-seq 13792  df-exp 13853  df-fac 14058  df-bc 14087  df-hash 14115  df-shft 14847  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881  df-sqrt 15015  df-abs 15016  df-limsup 15249  df-clim 15266  df-rlim 15267  df-sum 15467  df-ef 15846  df-e 15847  df-sin 15848  df-cos 15849  df-pi 15851  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-sca 17045  df-vsca 17046  df-ip 17047  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-hom 17053  df-cco 17054  df-rest 17200  df-topn 17201  df-0g 17219  df-gsum 17220  df-topgen 17221  df-pt 17222  df-prds 17225  df-xrs 17280  df-qtop 17285  df-imas 17286  df-xps 17288  df-mre 17362  df-mrc 17363  df-acs 17365  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-submnd 18498  df-mulg 18768  df-cntz 18990  df-cmn 19455  df-psmet 20660  df-xmet 20661  df-met 20662  df-bl 20663  df-mopn 20664  df-fbas 20665  df-fg 20666  df-cnfld 20669  df-top 22114  df-topon 22131  df-topsp 22153  df-bases 22167  df-cld 22241  df-ntr 22242  df-cls 22243  df-nei 22320  df-lp 22358  df-perf 22359  df-cn 22449  df-cnp 22450  df-haus 22537  df-cmp 22609  df-tx 22784  df-hmeo 22977  df-fil 23068  df-fm 23160  df-flim 23161  df-flf 23162  df-xms 23544  df-ms 23545  df-tms 23546  df-cncf 24112  df-limc 25101  df-dv 25102  df-log 25783  df-cxp 25784

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  26717  mulog2sumlem2  26754