MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pilem1 26401
Description: Lemma for pire 26406, pigt2lt4 26404 and sinpi 26405. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pilem1 (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (β—‘sin β€œ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0))

Proof of Theorem pilem1
StepHypRef Expression
1 elin 3963 . 2 (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (β—‘sin β€œ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (β—‘sin β€œ {0})))
2 sinf 16101 . . . . 5 sin:β„‚βŸΆβ„‚
3 ffn 6722 . . . . 5 (sin:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ sin Fn β„‚)
4 fniniseg 7069 . . . . 5 (sin Fn β„‚ β†’ (𝐴 ∈ (β—‘sin β€œ {0}) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0)))
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4 (𝐴 ∈ (β—‘sin β€œ {0}) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0))
6 rpcn 13017 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
76biantrurd 532 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ ((sinβ€˜π΄) = 0 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0)))
85, 7bitr4id 290 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ (𝐴 ∈ (β—‘sin β€œ {0}) ↔ (sinβ€˜π΄) = 0))
98pm5.32i 574 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (β—‘sin β€œ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0))
101, 9bitri 275 1 (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (β—‘sin β€œ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sinβ€˜π΄) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946  {csn 4629  β—‘ccnv 5677   β€œ cima 5681   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  β„‚cc 11137  0cc0 11139  β„+crp 13007  sincsin 16040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13363  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046
This theorem is referenced by:  pilem2  26402  pilem3  26403
  Copyright terms: Public domain W3C validator