Theorem pilem1 25150

Description: Lemma for pire 25155, pigt2lt4 25153 and sinpi 25154. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pilem1	⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))

Proof of Theorem pilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3876	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (◡sin “ {0})))
2		sinf 15530	. . . . 5 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
3		ffn 6502	. . . . 5 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
4		fniniseg 6825	. . . . 5 ⊢ (sin Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0)))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
6		rpcn 12445	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	biantrurd 536	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((sin‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) = 0)))
8	5, 7	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ (◡sin “ {0}) ↔ (sin‘𝐴) = 0))
9	8	pm5.32i 578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
10	1, 9	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859  {csn 4525  ^◡ccnv 5526   “ cima 5530   Fn wfn 6334  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  ℂcc 10578  0cc0 10580  ℝ⁺crp 12435  sincsin 15470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-rp 12436  df-ico 12790  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-hash 13746  df-shft 14479  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-limsup 14881  df-clim 14898  df-rlim 14899  df-sum 15096  df-ef 15474  df-sin 15476

This theorem is referenced by:  pilem2  25151  pilem3  25152