MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefallfac 15912
Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefallfac ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)))

Proof of Theorem risefallfac
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negcl 11406 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
3 elfznn 13476 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4 nnm1nn0 12459 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
65nn0cnd 12480 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7 subcl 11405 . . . . . 6 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
82, 6, 7syl2an 597 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
98mulm1d 11612 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = -(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
10 simpll 766 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
116adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1210, 11negdi2d 11531 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
1312negeqd 11400 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ --(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = -(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
14 simpl 484 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
15 addcl 11138 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1614, 6, 15syl2an 597 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1716negnegd 11508 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ --(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)))
189, 13, 173eqtr2rd 2780 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
1918prodeq2dv 15811 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
20 risefacval2 15898 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)))
21 fzfi 13883 . . . . . . 7 (1...๐‘) โˆˆ Fin
22 neg1cn 12272 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
23 fprodconst 15866 . . . . . . 7 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
2421, 22, 23mp2an 691 . . . . . 6 โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘)))
25 hashfz1 14252 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
2625oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘))) = (-1โ†‘๐‘))
2724, 26eqtr2id 2786 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1)
2827adantl 483 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1)
29 fallfacval2 15899 . . . . 5 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
301, 29sylan 581 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
3128, 30oveq12d 7376 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
32 fzfid 13884 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
3322a1i 11 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
3432, 33, 8fprodmul 15848 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
3531, 34eqtr4d 2776 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
3619, 20, 353eqtr4d 2783 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  โ™ฏchash 14236  โˆcprod 15793   FallFac cfallfac 15892   RiseFac crisefac 15893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794  df-risefac 15894  df-fallfac 15895
This theorem is referenced by:  fallrisefac  15913  0risefac  15926  binomrisefac  15930
  Copyright terms: Public domain W3C validator