Theorem risefallfac 15997

Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefallfac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

Proof of Theorem risefallfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ ℂ)
3		elfznn 13521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12512	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
7		subcl 11427	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9	8	mulm1d 11637	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
10		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	negdi2d 11554	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-𝑋 − (𝑘 − 1)))
13	12	negeqd 11422	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
15		addcl 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
16	14, 6, 15	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11531	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + (𝑘 − 1)))
18	9, 13, 17	3eqtr2rd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
19	18	prodeq2dv 15895	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
20		risefacval2 15983	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)))
21		fzfi 13944	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
22		neg1cn 12178	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		fprodconst 15951	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁))))
24	21, 22, 23	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁)))
25		hashfz1 14318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(♯‘(1...𝑁))) = (-1↑𝑁))
27	24, 26	eqtr2id 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
29		fallfacval2 15984	. . . . 5 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
30	1, 29	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
31	28, 30	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
32		fzfid 13945	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
33	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
34	32, 33, 8	fprodmul 15933	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
35	31, 34	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
36	19, 20, 35	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  -cneg 11413  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  ♯chash 14302  ∏cprod 15876   FallFac cfallfac 15977   RiseFac crisefac 15978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-prod 15877  df-risefac 15979  df-fallfac 15980

This theorem is referenced by:  fallrisefac  15998  0risefac  16011  binomrisefac  16015