Theorem risefallfac 16112

Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefallfac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

Proof of Theorem risefallfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ ℂ)
3		elfznn 13609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12592	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
7		subcl 11481	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9	8	mulm1d 11691	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
10		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	negdi2d 11608	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-𝑋 − (𝑘 − 1)))
13	12	negeqd 11476	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
14		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
15		addcl 11207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
16	14, 6, 15	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11585	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + (𝑘 − 1)))
18	9, 13, 17	3eqtr2rd 2802	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
19	18	prodeq2dv 16011	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
20		risefacval2 16098	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)))
21		fzfi 14037	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
22		neg1cn 12228	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		fprodconst 16066	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁))))
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁)))
25		hashfz1 14411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(♯‘(1...𝑁))) = (-1↑𝑁))
27	24, 26	eqtr2id 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
28	27	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
29		fallfacval2 16099	. . . . 5 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
30	1, 29	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
31	28, 30	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
32		fzfid 14038	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
33	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
34	32, 33, 8	fprodmul 16048	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
35	31, 34	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
36	19, 20, 35	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  ℂcc 11123  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   − cmin 11466  -cneg 11467  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13562  ↑cexp 14126  ♯chash 14395  ∏cprod 15993   FallFac cfallfac 16092   RiseFac crisefac 16093

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-exp 14127  df-hash 14396  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-clim 15576  df-prod 15994  df-risefac 16094  df-fallfac 16095

This theorem is used by:  fallrisefac  16113  0risefac  16125  binomrisefac  16129