Theorem risefallfac 15989

Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefallfac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

Proof of Theorem risefallfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ ℂ)
3		elfznn 13507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12500	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
7		subcl 11392	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9	8	mulm1d 11602	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
10		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	negdi2d 11519	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-𝑋 − (𝑘 − 1)))
13	12	negeqd 11387	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
15		addcl 11120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
16	14, 6, 15	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11496	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + (𝑘 − 1)))
18	9, 13, 17	3eqtr2rd 2778	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
19	18	prodeq2dv 15887	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
20		risefacval2 15975	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)))
21		fzfi 13934	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
22		neg1cn 12144	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		fprodconst 15943	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁))))
24	21, 22, 23	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁)))
25		hashfz1 14308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(♯‘(1...𝑁))) = (-1↑𝑁))
27	24, 26	eqtr2id 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
29		fallfacval2 15976	. . . . 5 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
30	1, 29	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
31	28, 30	oveq12d 7385	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
32		fzfid 13935	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
33	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
34	32, 33, 8	fprodmul 15925	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
35	31, 34	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
36	19, 20, 35	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ↑cexp 14023  ♯chash 14292  ∏cprod 15868   FallFac cfallfac 15969   RiseFac crisefac 15970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869  df-risefac 15971  df-fallfac 15972

This theorem is referenced by:  fallrisefac  15990  0risefac  16003  binomrisefac  16007