Theorem risefallfac 16235

Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefallfac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = (( -1↑𝑁) · ( -𝑋 FallFac 𝑁)))

Proof of Theorem risefallfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ ℂ)
3		elfznn 13727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12709	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
7		subcl 11595	. . . . . 6 ⊢ (( -𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → ( -𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( -𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9	8	mulm1d 11807	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ( -1 · ( -𝑋 − (𝑘 − 1))) = -( -𝑋 − (𝑘 − 1)))
10		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	negdi2d 11722	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -(𝑋 + (𝑘 − 1)) = ( -𝑋 − (𝑘 − 1)))
13	12	negeqd 11590	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → - -(𝑋 + (𝑘 − 1)) = -( -𝑋 − (𝑘 − 1)))
14		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
15		addcl 11321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
16	14, 6, 15	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11699	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → - -(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + (𝑘 − 1)))
18	9, 13, 17	3eqtr2rd 2805	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) = ( -1 · ( -𝑋 − (𝑘 − 1))))
19	18	prodeq2dv 16134	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)( -1 · ( -𝑋 − (𝑘 − 1))))
20		risefacval2 16221	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)))
21		fzfi 14155	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
22		neg1cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		fprodconst 16189	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁) -1 = ( -1↑(♯‘(1...𝑁))))
24	21, 22, 23	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁) -1 = ( -1↑(♯‘(1...𝑁)))
25		hashfz1 14531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -1↑(♯‘(1...𝑁))) = ( -1↑𝑁))
27	24, 26	eqtr2id 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ( -1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁) -1)
28	27	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁) -1)
29		fallfacval2 16222	. . . . 5 ⊢ (( -𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)( -𝑋 − (𝑘 − 1)))
30	1, 29	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( -𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)( -𝑋 − (𝑘 − 1)))
31	28, 30	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( -1↑𝑁) · ( -𝑋 FallFac 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁) -1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)( -𝑋 − (𝑘 − 1))))
32		fzfid 14156	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
33	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
34	32, 33, 8	fprodmul 16171	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)( -1 · ( -𝑋 − (𝑘 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁) -1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)( -𝑋 − (𝑘 − 1))))
35	31, 34	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( -1↑𝑁) · ( -𝑋 FallFac 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)( -1 · ( -𝑋 − (𝑘 − 1))))
36	19, 20, 35	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = (( -1↑𝑁) · ( -𝑋 FallFac 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  ℂcc 11237  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  ↑cexp 14244  ♯chash 14515  ∏cprod 16116   FallFac cfallfac 16215   RiseFac crisefac 16216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-prod 16117  df-risefac 16217  df-fallfac 16218

This theorem is used by:  fallrisefac  16236  0risefac  16248  binomrisefac  16252