Theorem risefallfac 16074

Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefallfac	⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

Proof of Theorem risefallfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ ℂ → -𝑋 ∈ ℂ)
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑋 ∈ ℂ)
3		elfznn 13577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4		nnm1nn0 12540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 12562	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
7		subcl 11451	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
8	2, 6, 7	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-𝑋 − (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
9	8	mulm1d 11661	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
10		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
11	6	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℂ)
12	10, 11	negdi2d 11578	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-𝑋 − (𝑘 − 1)))
13	12	negeqd 11446	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = -(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
14		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
15		addcl 11177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℂ) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
16	14, 6, 15	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
17	16	negnegd 11555	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → --(𝑋 + (𝑘 − 1)) = (𝑋 + (𝑘 − 1)))
18	9, 13, 17	3eqtr2rd 2805	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑋 + (𝑘 − 1)) = (-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
19	18	prodeq2dv 15972	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
20		risefacval2 16060	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑋 + (𝑘 − 1)))
21		fzfi 14004	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
22		neg1cn 12198	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
23		fprodconst 16028	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ -1 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁))))
24	21, 22, 23	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 = (-1↑(♯‘(1...𝑁)))
25		hashfz1 14378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
26	25	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑(♯‘(1...𝑁))) = (-1↑𝑁))
27	24, 26	eqtr2id 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
28	27	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1)
29		fallfacval2 16061	. . . . 5 ⊢ ((-𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
30	1, 29	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑋 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1)))
31	28, 30	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
32		fzfid 14005	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...𝑁) ∈ Fin)
33	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → -1 ∈ ℂ)
34	32, 33, 8	fprodmul 16010	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)-1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-𝑋 − (𝑘 − 1))))
35	31, 34	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(-1 · (-𝑋 − (𝑘 − 1))))
36	19, 20, 35	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 RiseFac 𝑁) = ((-1↑𝑁) · (-𝑋 FallFac 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  -cneg 11437  ℕcn 12228  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ↑cexp 14093  ♯chash 14362  ∏cprod 15953   FallFac cfallfac 16054   RiseFac crisefac 16055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-prod 15954  df-risefac 16056  df-fallfac 16057

This theorem is referenced by:  fallrisefac  16075  0risefac  16087  binomrisefac  16091