MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefallfac 15964
Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefallfac ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)))

Proof of Theorem risefallfac
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negcl 11456 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
3 elfznn 13526 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4 nnm1nn0 12509 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
65nn0cnd 12530 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7 subcl 11455 . . . . . 6 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
82, 6, 7syl2an 596 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
98mulm1d 11662 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = -(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
10 simpll 765 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
116adantl 482 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1210, 11negdi2d 11581 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
1312negeqd 11450 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ --(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = -(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
14 simpl 483 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
15 addcl 11188 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1614, 6, 15syl2an 596 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1716negnegd 11558 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ --(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)))
189, 13, 173eqtr2rd 2779 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
1918prodeq2dv 15863 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
20 risefacval2 15950 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)))
21 fzfi 13933 . . . . . . 7 (1...๐‘) โˆˆ Fin
22 neg1cn 12322 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
23 fprodconst 15918 . . . . . . 7 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
2421, 22, 23mp2an 690 . . . . . 6 โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘)))
25 hashfz1 14302 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
2625oveq2d 7421 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘))) = (-1โ†‘๐‘))
2724, 26eqtr2id 2785 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1)
2827adantl 482 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1)
29 fallfacval2 15951 . . . . 5 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
301, 29sylan 580 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
3128, 30oveq12d 7423 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
32 fzfid 13934 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
3322a1i 11 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
3432, 33, 8fprodmul 15900 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
3531, 34eqtr4d 2775 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
3619, 20, 353eqtr4d 2782 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  โ„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  ...cfz 13480  โ†‘cexp 14023  โ™ฏchash 14286  โˆcprod 15845   FallFac cfallfac 15944   RiseFac crisefac 15945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-risefac 15946  df-fallfac 15947
This theorem is referenced by:  fallrisefac  15965  0risefac  15978  binomrisefac  15982
  Copyright terms: Public domain W3C validator