MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefallfac 15986
Description: A relationship between rising and falling factorials. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefallfac ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)))

Proof of Theorem risefallfac
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negcl 11476 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
21adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
3 elfznn 13548 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
4 nnm1nn0 12529 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
65nn0cnd 12550 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7 subcl 11475 . . . . . 6 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
82, 6, 7syl2an 595 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
98mulm1d 11682 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = -(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
10 simpll 766 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
116adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
1210, 11negdi2d 11601 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
1312negeqd 11470 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ --(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = -(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
14 simpl 482 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
15 addcl 11206 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1614, 6, 15syl2an 595 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1716negnegd 11578 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ --(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)))
189, 13, 173eqtr2rd 2774 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = (-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
1918prodeq2dv 15885 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
20 risefacval2 15972 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐‘‹ + (๐‘˜ โˆ’ 1)))
21 fzfi 13955 . . . . . . 7 (1...๐‘) โˆˆ Fin
22 neg1cn 12342 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
23 fprodconst 15940 . . . . . . 7 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘))))
2421, 22, 23mp2an 691 . . . . . 6 โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 = (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘)))
25 hashfz1 14323 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
2625oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘(โ™ฏโ€˜(1...๐‘))) = (-1โ†‘๐‘))
2724, 26eqtr2id 2780 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (-1โ†‘๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1)
2827adantl 481 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1)
29 fallfacval2 15973 . . . . 5 ((-๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
301, 29sylan 579 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘‹ FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1)))
3128, 30oveq12d 7432 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
32 fzfid 13956 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
3322a1i 11 . . . 4 (((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
3432, 33, 8fprodmul 15922 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)-1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
3531, 34eqtr4d 2770 . 2 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(-1 ยท (-๐‘‹ โˆ’ (๐‘˜ โˆ’ 1))))
3619, 20, 353eqtr4d 2777 1 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹ RiseFac ๐‘) = ((-1โ†‘๐‘) ยท (-๐‘‹ FallFac ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  โ„‚cc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461  โ„•cn 12228  โ„•0cn0 12488  ...cfz 13502  โ†‘cexp 14044  โ™ฏchash 14307  โˆcprod 15867   FallFac cfallfac 15966   RiseFac crisefac 15967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-prod 15868  df-risefac 15968  df-fallfac 15969
This theorem is referenced by:  fallrisefac  15987  0risefac  16000  binomrisefac  16004
  Copyright terms: Public domain W3C validator