Theorem s3rex 15127

Description: Membership in a family of words of length 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
s3rex.1	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
s3rex	⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem s3rex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑥 = (𝐴‘0))
2		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑦 = 𝑦)
3		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑧 = 𝑧)
4	1, 2, 3	s3eqd 15040	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩)
5	4	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → (𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩))
6		s3eq2 15046	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘1) → ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩)
7	6	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘1) → (𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩))
8		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴‘0) = (𝐴‘0))
9		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴‘1) = (𝐴‘1))
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → 𝑧 = (𝐴‘2))
11	8, 9, 10	s3eqd 15040	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
12	11	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩))
13		elmapi 8894	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴:(0..^3)⟶𝑆)
14		c0ex 11324	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
15	14	tpid1 4729	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
16		fzo0to3tp 13911	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
17	15, 16	eleqtrri 2863	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 0 ∈ (0..^3))
19	13, 18	ffvelcdmd 7106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘0) ∈ 𝑆)
20		1eltp012 12437	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
21	20, 16	eleqtrri 2863	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 1 ∈ (0..^3))
23	13, 22	ffvelcdmd 7106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘1) ∈ 𝑆)
24		2ex 12444	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ V
25	24	tpid3 4734	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
26	25, 16	eleqtrri 2863	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 2 ∈ (0..^3))
28	13, 27	ffvelcdmd 7106	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘2) ∈ 𝑆)
29		iswrdi 14686	. . . . 5 ⊢ (𝐴:(0..^3)⟶𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
30	13, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
31		elmapfn 8912	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 Fn (0..^3))
32		hashfn 14543	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn (0..^3) → (♯‘𝐴) = (♯‘(0..^3)))
33	31, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (♯‘𝐴) = (♯‘(0..^3)))
34		3nn0 12648	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		hashfzo0 14599	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
37	33, 36	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (♯‘𝐴) = 3)
38		wrdlen3s3 15126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) = 3) → 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
39	30, 37, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
40	5, 7, 12, 19, 23, 28, 39	3rspcedvdw 3597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
41		s3rex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑆 ∈ V)
43		ovexd 7475	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → (0..^3) ∈ V)
44		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
45	44	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → (♯‘𝐴) = (♯‘⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩))
46		s3len 15071	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) = 3
47	45, 46	eqtr2di 2815	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 3 = (♯‘𝐴))
48		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑆)
50		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑆)
51	48, 49, 50	s3cld 15048	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∈ Word 𝑆)
52	44, 51	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
53	47, 52	wrdfd 14688	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴:(0..^3)⟶𝑆)
54	42, 43, 53	elmapdd 8886	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)))
55	54	rexlimdva2 3169	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3))))
56	55	rexlimivv 3208	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)))
57	40, 56	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  {ctp 4592   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  0cc0 11224  1c1 11225  2c2 12421  3c3 12422  ℕ₀cn0 12630  ..^cfzo 13812  ♯chash 14498  Word cword 14682  ⟨“cs3 15018

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025

This theorem is used by:  cgrabasimass  29405