Theorem s3rex 15101

Description: Membership in a family of words of length 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
s3rex.1	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
s3rex	⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem s3rex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑥 = (𝐴‘0))
2		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑦 = 𝑦)
3		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑧 = 𝑧)
4	1, 2, 3	s3eqd 15015	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩)
5	4	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → (𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩))
6		s3eq2 15021	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘1) → ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩)
7	6	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘1) → (𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩))
8		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴‘0) = (𝐴‘0))
9		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴‘1) = (𝐴‘1))
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → 𝑧 = (𝐴‘2))
11	8, 9, 10	s3eqd 15015	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
12	11	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩))
13		elmapi 8869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴:(0..^3)⟶𝑆)
14		c0ex 11300	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
15	14	tpid1 4728	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
16		fzo0to3tp 13887	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
17	15, 16	eleqtrri 2859	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 0 ∈ (0..^3))
19	13, 18	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘0) ∈ 𝑆)
20		1eltp012 12413	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
21	20, 16	eleqtrri 2859	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 1 ∈ (0..^3))
23	13, 22	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘1) ∈ 𝑆)
24		2ex 12420	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ V
25	24	tpid3 4733	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
26	25, 16	eleqtrri 2859	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 2 ∈ (0..^3))
28	13, 27	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘2) ∈ 𝑆)
29		iswrdi 14662	. . . . 5 ⊢ (𝐴:(0..^3)⟶𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
30	13, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
31		elmapfn 8887	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 Fn (0..^3))
32		hashfn 14519	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn (0..^3) → (♯‘𝐴) = (♯‘(0..^3)))
33	31, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (♯‘𝐴) = (♯‘(0..^3)))
34		3nn0 12624	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		hashfzo0 14575	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
37	33, 36	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (♯‘𝐴) = 3)
38		wrdlen3s3 15100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) = 3) → 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
39	30, 37, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
40	5, 7, 12, 19, 23, 28, 39	3rspcedvdw 3593	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
41		s3rex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑆 ∈ V)
43		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → (0..^3) ∈ V)
44		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
45	44	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → (♯‘𝐴) = (♯‘⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩))
46		s3len 15045	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) = 3
47	45, 46	eqtr2di 2812	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 3 = (♯‘𝐴))
48		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑆)
50		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑆)
51	48, 49, 50	s3cld 15023	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∈ Word 𝑆)
52	44, 51	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
53	47, 52	wrdfd 14664	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴:(0..^3)⟶𝑆)
54	42, 43, 53	elmapdd 8861	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)))
55	54	rexlimdva2 3165	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3))))
56	55	rexlimivv 3204	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)))
57	40, 56	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {ctp 4587   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  0cc0 11200  1c1 11201  2c2 12397  3c3 12398  ℕ₀cn0 12606  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658  ⟨“cs3 14993

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000

This theorem is used by:  cgrabasimass  29378