Theorem s3rex 15021

Description: Membership in a family of words of length 3. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
s3rex.1	⊢ 𝑆 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
s3rex	⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Proof of Theorem s3rex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑥 = (𝐴‘0))
2		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑦 = 𝑦)
3		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → 𝑧 = 𝑧)
4	1, 2, 3	s3eqd 14935	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩)
5	4	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴‘0) → (𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩))
6		s3eq2 14941	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘1) → ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩)
7	6	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐴‘1) → (𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)𝑦𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩))
8		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴‘0) = (𝐴‘0))
9		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴‘1) = (𝐴‘1))
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → 𝑧 = (𝐴‘2))
11	8, 9, 10	s3eqd 14935	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩ = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
12	11	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴‘2) → (𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)𝑧”⟩ ↔ 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩))
13		elmapi 8848	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴:(0..^3)⟶𝑆)
14		c0ex 11224	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
15	14	tpid1 4729	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
16		fzo0to3tp 13808	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
17	15, 16	eleqtrri 2859	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 0 ∈ (0..^3))
19	13, 18	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘0) ∈ 𝑆)
20		1eltp012 12335	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
21	20, 16	eleqtrri 2859	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 1 ∈ (0..^3))
23	13, 22	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘1) ∈ 𝑆)
24		2ex 12342	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ V
25	24	tpid3 4734	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
26	25, 16	eleqtrri 2859	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 2 ∈ (0..^3))
28	13, 27	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (𝐴‘2) ∈ 𝑆)
29		iswrdi 14582	. . . . 5 ⊢ (𝐴:(0..^3)⟶𝑆 → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
30	13, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
31		elmapfn 8866	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 Fn (0..^3))
32		hashfn 14439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn (0..^3) → (♯‘𝐴) = (♯‘(0..^3)))
33	31, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (♯‘𝐴) = (♯‘(0..^3)))
34		3nn0 12546	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
35		hashfzo0 14495	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^3)) = 3)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(0..^3)) = 3
37	33, 36	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → (♯‘𝐴) = 3)
38		wrdlen3s3 15020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) = 3) → 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
39	30, 37, 38	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → 𝐴 = ⟨“(𝐴‘0)(𝐴‘1)(𝐴‘2)”⟩)
40	5, 7, 12, 19, 23, 28, 39	3rspcedvdw 3594	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
41		s3rex.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑆 ∈ V)
43		ovexd 7448	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → (0..^3) ∈ V)
44		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
45	44	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → (♯‘𝐴) = (♯‘⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩))
46		s3len 14965	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) = 3
47	45, 46	eqtr2di 2812	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 3 = (♯‘𝐴))
48		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑆)
49		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑆)
50		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑆)
51	48, 49, 50	s3cld 14943	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ ∈ Word 𝑆)
52	44, 51	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
53	47, 52	wrdfd 14584	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴:(0..^3)⟶𝑆)
54	42, 43, 53	elmapdd 8840	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)))
55	54	rexlimdva2 3165	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3))))
56	55	rexlimivv 3204	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩ → 𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)))
57	40, 56	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑆 ↑m (0..^3)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑆 ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑆 𝐴 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  {ctp 4588   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  0cc0 11124  1c1 11125  2c2 12319  3c3 12320  ℕ₀cn0 12528  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578  ⟨“cs3 14913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920

This theorem is used by:  cgrabasimass  29257