Theorem cgrabasimass 29258

Description: The angle congruence relation is hereditary. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgraer.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgraer.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
cgraer.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
cgraer.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)

Assertion

Ref	Expression
cgrabasimass	⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑃,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑑)   ∼ (𝑑)   𝐺(𝑑)

Proof of Theorem cgrabasimass

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑑‘0) = (𝑒‘0))
2		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑑‘1) = (𝑒‘1))
3	1, 2	neeq12d 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ↔ (𝑒‘0) ≠ (𝑒‘1)))
4		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑑‘2) = (𝑒‘2))
5	2, 4	neeq12d 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2) ↔ (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2)))
6	3, 5	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2)) ↔ ((𝑒‘0) ≠ (𝑒‘1) ∧ (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2))))
7		imassrn 6071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ∼ “ 𝐴) ⊆ ran ∼
8		cgraer.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
9		df-cgra 29195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ cgrA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
10		fvexd 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) ∈ V)
11		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
12		cgraer.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
13	11, 12	eqtr4di 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
14		fvexd 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (hlG‘𝑔) ∈ V)
15		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (hlG‘𝑔) = (hlG‘𝐺))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (hlG‘𝑔) = (hlG‘𝐺))
17		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
18	17	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑝 ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
19	18	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
20	18	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
21	19, 20	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → ((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))))
22		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → 𝑝 = 𝑃)
23		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
25	24	breqd 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ 𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩))
26		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = (hlG‘𝐺) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = ((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1)))
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = ((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1)))
28	27	breqd 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0)))
29	27	breqd 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))
30	25, 28, 29	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
31	22, 30	rexeqbidv 3337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
32	22, 31	rexeqbidv 3337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
33	21, 32	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
34	14, 16, 33	sbcied2 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ([(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
35	10, 13, 34	sbcied2 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
36		an21 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
37	35, 36	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))))
38	37	opabbidv 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))})
39		cgraer.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	39	elexd 3476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
41		ovexd 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V)
42		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))) → 𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
43		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))) → 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
44	41, 41, 42, 43	opabex2 8057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))} ∈ V)
45	9, 38, 40, 44	fvmptd3 7014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))})
46	8, 45	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))})
47	46	rneqd 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ran ∼ = ran {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))})
48		rnopabss 5943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))} ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3))
49	47, 48	eqsstrdi 3978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran ∼ ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3)))
50	7, 49	sstrid 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3)))
51	50	sselda 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) → 𝑒 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
52	51	ad10antr 757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
53		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
54		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
55	39	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
56	55	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑢 ∈ 𝑃)
58		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑣 ∈ 𝑃)
59		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑤 ∈ 𝑃)
60		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
61		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
62		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
63	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
64		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑓 ∼ 𝑒)
65	63, 64	breqdi 5122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑓(cgrA‘𝐺)𝑒)
66		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
67		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
68	65, 66, 67	3brtr3d 5140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
69	12, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 68	cgrane3 29201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑦 ≠ 𝑥)
70	69	necomd 3012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑥 ≠ 𝑦)
71	67	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘0) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘0))
72		s3fv0 14964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘0) = 𝑥)
73	60, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘0) = 𝑥)
74	71, 73	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘0) = 𝑥)
75	67	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘1) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘1))
76		s3fv1 14965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘1) = 𝑦)
77	76	ad7antlr 752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘1) = 𝑦)
78	75, 77	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘1) = 𝑦)
79	70, 74, 78	3netr4d 3034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘0) ≠ (𝑒‘1))
80	12, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 68	cgrane4 29202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑦 ≠ 𝑧)
81	67	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘2) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘2))
82		s3fv2 14966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘2) = 𝑧)
83	62, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘2) = 𝑧)
84	81, 83	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘2) = 𝑧)
85	80, 78, 84	3netr4d 3034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2))
86	79, 85	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → ((𝑒‘0) ≠ (𝑒‘1) ∧ (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2)))
87	6, 52, 86	elrabd 3650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
88		cgraer.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
89	87, 88	eleqtrrdi 2873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 ∈ 𝐴)
90	89	r19.29an 3168	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 ∈ 𝐴)
91	12	fvexi 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
92		simp-6r 800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑓 ∈ 𝐴)
93	91, 88, 92	elcgrabasi 29255	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
94		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
95	94	reximi 3102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
96	95	reximi 3102	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
97	96	reximi 3102	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
98	93, 97	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
99	90, 98	r19.29vva 3224	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑒 ∈ 𝐴)
100	99	r19.29an 3168	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑒 ∈ 𝐴)
101	51	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
102	91	s3rex 15023	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
103	101, 102	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
104	100, 103	r19.29vva 3224	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐴)
105		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑒 ∈ V
106	105	elima 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑓 ∼ 𝑒)
107	106	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑓 ∼ 𝑒)
108	104, 107	r19.29a 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) → 𝑒 ∈ 𝐴)
109	108	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴) → 𝑒 ∈ 𝐴))
110	109	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  {crab 3414  Vcvv 3453  [wsbc 3742   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107  {copab 5171  ran crn 5660   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  0cc0 11127  1c1 11128  2c2 12322  3c3 12323  ..^cfzo 13711  ⟨“cs3 14915  Basecbs 17305  TarskiGcstrkg 28769  Itvcitv 28775  cgrGccgrg 28853  hlGchlg 28943  cgrAccgra 29194

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-hlg 28944  df-cgra 29195

This theorem is used by:  angmgmlem  29275