Theorem cgrabasimass 29379

Description: The angle congruence relation is hereditary. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgraer.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
cgraer.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
cgraer.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
cgraer.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)

Assertion

Ref	Expression
cgrabasimass	⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑃,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑑)   ∼ (𝑑)   𝐺(𝑑)

Proof of Theorem cgrabasimass

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑔 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑝 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑑‘0) = (𝑒‘0))
2		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑑‘1) = (𝑒‘1))
3	1, 2	neeq12d 3016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ↔ (𝑒‘0) ≠ (𝑒‘1)))
4		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (𝑑‘2) = (𝑒‘2))
5	2, 4	neeq12d 3016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → ((𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2) ↔ (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2)))
6	3, 5	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑒 → (((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2)) ↔ ((𝑒‘0) ≠ (𝑒‘1) ∧ (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2))))
7		imassrn 6197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( ∼ “ 𝐴) ⊆ ran ∼
8		cgraer.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
9		df-cgra 29316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ cgrA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
10		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) ∈ V)
11		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
12		cgraer.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
13	11, 12	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
14		fvexd 6900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (hlG‘𝑔) ∈ V)
15		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (hlG‘𝑔) = (hlG‘𝐺))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) → (hlG‘𝑔) = (hlG‘𝐺))
17		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
18	17	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑝 ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
19	18	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
20	18	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
21	19, 20	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → ((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))))
22		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → 𝑝 = 𝑃)
23		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
25	24	breqd 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ 𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩))
26		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = (hlG‘𝐺) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = ((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1)))
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = ((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1)))
28	27	breqd 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0)))
29	27	breqd 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))
30	25, 28, 29	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
31	22, 30	rexeqbidv 3335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
32	22, 31	rexeqbidv 3335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
33	21, 32	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) ∧ 𝑘 = (hlG‘𝐺)) → (((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
34	14, 16, 33	sbcied2 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑔 = 𝐺 ∧ 𝑝 = 𝑃) → ([(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
35	10, 13, 34	sbcied2 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
36		an21 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
37	35, 36	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))))
38	37	opabbidv 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))})
39		cgraer.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
40	39	elexd 3473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
41		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V)
42		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))) → 𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
43		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))) → 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
44	41, 41, 42, 43	opabex2 8068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))} ∈ V)
45	9, 38, 40, 44	fvmptd3 7017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))})
46	8, 45	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∼ = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))})
47	46	rneqd 5919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ran ∼ = ran {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))})
48		rnopabss 5936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦((hlG‘𝐺)‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))} ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3))
49	47, 48	eqsstrdi 3952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ran ∼ ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3)))
50	7, 49	sstrid 3919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ (𝑃 ↑m (0..^3)))
51	50	sselda 3908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) → 𝑒 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
52	51	ad10antr 757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
53		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
54		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
55	39	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
56	55	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
57		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑢 ∈ 𝑃)
58		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑣 ∈ 𝑃)
59		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑤 ∈ 𝑃)
60		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑥 ∈ 𝑃)
61		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑦 ∈ 𝑃)
62		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑧 ∈ 𝑃)
63	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
64		simp-9r 806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑓 ∼ 𝑒)
65	63, 64	breqdi 5117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑓(cgrA‘𝐺)𝑒)
66		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
67		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
68	65, 66, 67	3brtr3d 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
69	12, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 68	cgrane3 29322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑦 ≠ 𝑥)
70	69	necomd 3010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑥 ≠ 𝑦)
71	67	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘0) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘0))
72		s3fv0 15043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘0) = 𝑥)
73	60, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘0) = 𝑥)
74	71, 73	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘0) = 𝑥)
75	67	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘1) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘1))
76		s3fv1 15044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘1) = 𝑦)
77	76	ad7antlr 752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘1) = 𝑦)
78	75, 77	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘1) = 𝑦)
79	70, 74, 78	3netr4d 3032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘0) ≠ (𝑒‘1))
80	12, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 68	cgrane4 29323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑦 ≠ 𝑧)
81	67	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘2) = (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘2))
82		s3fv2 15045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑃 → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘2) = 𝑧)
83	62, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩‘2) = 𝑧)
84	81, 83	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘2) = 𝑧)
85	80, 78, 84	3netr4d 3032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2))
86	79, 85	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → ((𝑒‘0) ≠ (𝑒‘1) ∧ (𝑒‘1) ≠ (𝑒‘2)))
87	6, 52, 86	elrabd 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 ∈ {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))})
88		cgraer.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
89	87, 88	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 ∈ 𝐴)
90	89	r19.29an 3166	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩) → 𝑒 ∈ 𝐴)
91	12	fvexi 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 ∈ V
92		simp-6r 800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑓 ∈ 𝐴)
93	91, 88, 92	elcgrabasi 29376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)))
94		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
95	94	reximi 3100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
96	95	reximi 3100	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
97	96	reximi 3100	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩ ∧ (𝑢 ≠ 𝑣 ∧ 𝑣 ≠ 𝑤)) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
98	93, 97	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 ∃𝑤 ∈ 𝑃 𝑓 = ⟨“𝑢𝑣𝑤”⟩)
99	90, 98	r19.29vva 3222	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑒 ∈ 𝐴)
100	99	r19.29an 3166	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩) → 𝑒 ∈ 𝐴)
101	51	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) → 𝑒 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
102	91	s3rex 15102	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
103	101, 102	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 𝑒 = ⟨“𝑥𝑦𝑧”⟩)
104	100, 103	r19.29vva 3222	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓 ∼ 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝐴)
105		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑒 ∈ V
106	105	elima 6060	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑓 ∼ 𝑒)
107	106	bilani 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) → ∃𝑓 ∈ 𝐴 𝑓 ∼ 𝑒)
108	104, 107	r19.29a 3170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴)) → 𝑒 ∈ 𝐴)
109	108	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑒 ∈ ( ∼ “ 𝐴) → 𝑒 ∈ 𝐴))
110	109	ssrdv 3914	1 ⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝐴) ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450  [wsbc 3738   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848  0cc0 11201  1c1 11202  2c2 12398  3c3 12399  ..^cfzo 13789  ⟨“cs3 14994  Basecbs 17388  TarskiGcstrkg 28890  Itvcitv 28896  cgrGccgrg 28974  hlGchlg 29064  cgrAccgra 29315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-hlg 29065  df-cgra 29316

This theorem is used by:  angmgmlem  29396