Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0snmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0snmpt 45671
Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0snmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0snmpt.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0snmpt.b (𝑘 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sge0snmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0snmpt
StepHypRef Expression
1 sge0snmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 elsni 4640 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
3 sge0snmpt.b . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐶)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐶)
6 sge0snmpt.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (0[,]+∞))
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85, 7eqeltrd 2827 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9 eqid 2726 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)
108, 9fmptd 7109 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵):{𝐴}⟶(0[,]+∞))
111, 10sge0sn 45667 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴))
12 eqidd 2727 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
133adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
14 snidg 4657 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
151, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴})
1612, 13, 15, 6fvmptd 6999 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴) = 𝐶)
1711, 16eqtrd 2766 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4623  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  [,]cicc 13333  Σ^csumge0 45650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-sumge0 45651
This theorem is referenced by:  sge0prle  45689  sge0p1  45702  ovnhoilem1  45889
  Copyright terms: Public domain W3C validator