Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0snmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0snmpt 43880
Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0snmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0snmpt.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0snmpt.b (𝑘 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sge0snmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0snmpt
StepHypRef Expression
1 sge0snmpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 elsni 4579 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
3 sge0snmpt.b . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐶)
54adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐶)
6 sge0snmpt.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (0[,]+∞))
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
85, 7eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9 eqid 2738 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)
108, 9fmptd 6981 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵):{𝐴}⟶(0[,]+∞))
111, 10sge0sn 43876 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴))
12 eqidd 2739 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
133adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
14 snidg 4596 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
151, 14syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ {𝐴})
1612, 13, 15, 6fvmptd 6875 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴) = 𝐶)
1711, 16eqtrd 2778 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {csn 4562  cmpt 5157  cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  +∞cpnf 10994  [,]cicc 13070  Σ^csumge0 43859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-sup 9189  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-seq 13710  df-exp 13771  df-hash 14033  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-clim 15185  df-sum 15386  df-sumge0 43860
This theorem is referenced by:  sge0prle  43898  sge0p1  43911  ovnhoilem1  44098
  Copyright terms: Public domain W3C validator