Theorem sge0snmpt 43880

Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0snmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0snmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0snmpt.b	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sge0snmpt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem sge0snmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0snmpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		elsni 4579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝑘 = 𝐴)
3		sge0snmpt.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐶)
5	4	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 = 𝐶)
6		sge0snmpt.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
8	5, 7	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴}) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)
10	8, 9	fmptd 6981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵):{𝐴}⟶(0[,]+∞))
11	1, 10	sge0sn 43876	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴))
12		eqidd 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵))
13	3	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
14		snidg 4596	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
16	12, 13, 15, 6	fvmptd 6875	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)‘𝐴) = 𝐶)
17	11, 16	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴} ↦ 𝐵)) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4562   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  0cc0 10859  +∞cpnf 10994  [,]cicc 13070  Σ^{^}csumge0 43859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-sup 9189  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-rp 12719  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-seq 13710  df-exp 13771  df-hash 14033  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-clim 15185  df-sum 15386  df-sumge0 43860

This theorem is referenced by:  sge0prle  43898  sge0p1  43911  ovnhoilem1  44098