MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qrngdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qrngdiv 25537
Description: The division operation in the field of rationals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
Assertion
Ref Expression
qrngdiv ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋(/r𝑄)𝑌) = (𝑋 / 𝑌))

Proof of Theorem qrngdiv
StepHypRef Expression
1 qsubdrg 20013 . . . . 5 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
21simpli 472 . . . 4 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
32a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld))
4 simp1 1159 . . 3 ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℚ)
5 3simpc 1175 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0))
6 eldifsn 4519 . . . 4 (𝑌 ∈ (ℚ ∖ {0}) ↔ (𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0))
75, 6sylibr 225 . . 3 ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ (ℚ ∖ {0}))
8 qrng.q . . . 4 𝑄 = (ℂflds ℚ)
9 cnflddiv 19991 . . . 4 / = (/r‘ℂfld)
108qrngbas 25532 . . . . 5 ℚ = (Base‘𝑄)
118qrng0 25534 . . . . 5 0 = (0g𝑄)
128qdrng 25533 . . . . 5 𝑄 ∈ DivRing
1310, 11, 12drngui 18964 . . . 4 (ℚ ∖ {0}) = (Unit‘𝑄)
14 eqid 2817 . . . 4 (/r𝑄) = (/r𝑄)
158, 9, 13, 14subrgdv 19008 . . 3 ((ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ (ℚ ∖ {0})) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r𝑄)𝑌))
163, 4, 7, 15syl3anc 1483 . 2 ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r𝑄)𝑌))
1716eqcomd 2823 1 ((𝑋 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ∈ ℚ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋(/r𝑄)𝑌) = (𝑋 / 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  cdif 3777  {csn 4381  cfv 6108  (class class class)co 6881  0cc0 10228   / cdiv 10976  cq 12014  s cress 16076  /rcdvr 18891  DivRingcdr 18958  SubRingcsubrg 18987  fldccnfld 19961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-addf 10307  ax-mulf 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-tpos 7594  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-q 12015  df-fz 12557  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-starv 16175  df-tset 16179  df-ple 16180  df-ds 16182  df-unif 16183  df-0g 16314  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-grp 17637  df-minusg 17638  df-subg 17800  df-cmn 18403  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-cring 18759  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-dvr 18892  df-drng 18960  df-subrg 18989  df-cnfld 19962
This theorem is referenced by:  ostthlem1  25540
  Copyright terms: Public domain W3C validator