MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsdiv 24423
Description: Division of the scalar ring of a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiv.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiv.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cvsdiv ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r𝐹)𝐵))

Proof of Theorem cvsdiv
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂVec)
21cvsclm 24417 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3 cvsdiv.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 cvsdiv.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
53, 4clmsubrg 24357 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
62, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7 simpr1 1195 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐴𝐾)
8 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵𝐾)
9 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
10 eldifsn 4746 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}) ↔ (𝐵𝐾𝐵 ≠ 0))
118, 9, 10sylanbrc 584 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}))
123, 4cvsunit 24422 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
131, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
143, 4clmsca 24356 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
152, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
1615fveq2d 6842 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
1713, 16eqtrd 2778 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
1811, 17eleqtrd 2841 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
19 eqid 2738 . . . 4 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
20 cnflddiv 20756 . . . 4 / = (/r‘ℂfld)
21 eqid 2738 . . . 4 (Unit‘(ℂflds 𝐾)) = (Unit‘(ℂflds 𝐾))
22 eqid 2738 . . . 4 (/r‘(ℂflds 𝐾)) = (/r‘(ℂflds 𝐾))
2319, 20, 21, 22subrgdv 20168 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾𝐵 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾))) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂflds 𝐾))𝐵))
246, 7, 18, 23syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂflds 𝐾))𝐵))
2515fveq2d 6842 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (/r𝐹) = (/r‘(ℂflds 𝐾)))
2625oveqd 7367 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴(/r𝐹)𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂflds 𝐾))𝐵))
2724, 26eqtr4d 2781 1 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r𝐹)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  cdif 3906  {csn 4585  cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985   / cdiv 11746  Basecbs 17019  s cress 17048  Scalarcsca 17072  Unitcui 19997  /rcdvr 20040  SubRingcsubrg 20147  fldccnfld 20725  ℂModcclm 24353  ℂVecccvs 24414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-tpos 8125  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-fz 13355  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-0g 17259  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-grp 18687  df-minusg 18688  df-subg 18860  df-cmn 19499  df-mgp 19832  df-ur 19849  df-ring 19896  df-cring 19897  df-oppr 19978  df-dvdsr 19999  df-unit 20000  df-invr 20030  df-dvr 20041  df-drng 20116  df-subrg 20149  df-lvec 20493  df-cnfld 20726  df-clm 24354  df-cvs 24415
This theorem is referenced by:  cvsdivcl  24424
  Copyright terms: Public domain W3C validator