Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvsdiv 23740
 Description: Division of the scalar ring of a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiv.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiv.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
cvsdiv ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r𝐹)𝐵))

Proof of Theorem cvsdiv
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂVec)
21cvsclm 23734 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3 cvsdiv.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 cvsdiv.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
53, 4clmsubrg 23674 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
62, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7 simpr1 1191 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐴𝐾)
8 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵𝐾)
9 simpr3 1193 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
10 eldifsn 4683 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}) ↔ (𝐵𝐾𝐵 ≠ 0))
118, 9, 10sylanbrc 586 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}))
123, 4cvsunit 23739 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
131, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
143, 4clmsca 23673 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
152, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐹 = (ℂflds 𝐾))
1615fveq2d 6653 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
1713, 16eqtrd 2836 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
1811, 17eleqtrd 2895 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾)))
19 eqid 2801 . . . 4 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
20 cnflddiv 20124 . . . 4 / = (/r‘ℂfld)
21 eqid 2801 . . . 4 (Unit‘(ℂflds 𝐾)) = (Unit‘(ℂflds 𝐾))
22 eqid 2801 . . . 4 (/r‘(ℂflds 𝐾)) = (/r‘(ℂflds 𝐾))
2319, 20, 21, 22subrgdv 19548 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴𝐾𝐵 ∈ (Unit‘(ℂflds 𝐾))) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂflds 𝐾))𝐵))
246, 7, 18, 23syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂflds 𝐾))𝐵))
2515fveq2d 6653 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (/r𝐹) = (/r‘(ℂflds 𝐾)))
2625oveqd 7156 . 2 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴(/r𝐹)𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂflds 𝐾))𝐵))
2724, 26eqtr4d 2839 1 ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴𝐾𝐵𝐾𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r𝐹)𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   ∖ cdif 3881  {csn 4528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530   / cdiv 11290  Basecbs 16478   ↾s cress 16479  Scalarcsca 16563  Unitcui 19388  /rcdvr 19431  SubRingcsubrg 19527  ℂfldccnfld 20094  ℂModcclm 23670  ℂVecccvs 23731 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18271  df-cmn 18903  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-subrg 19529  df-lvec 19871  df-cnfld 20095  df-clm 23671  df-cvs 23732 This theorem is referenced by:  cvsdivcl  23741
 Copyright terms: Public domain W3C validator