Theorem cvsdiv 25048

Description: Division of the scalar ring of a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsdiv.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cvsdiv.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cvsdiv	⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem cvsdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂVec)
2	1	cvsclm 25042	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
3		cvsdiv.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		cvsdiv.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5	3, 4	clmsubrg 24982	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
10		eldifsn 4740	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0))
11	8, 9, 10	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (𝐾 ∖ {0}))
12	3, 4	cvsunit 25047	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
13	1, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘𝐹))
14	3, 4	clmsca 24981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
15	2, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
16	15	fveq2d 6830	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (Unit‘𝐹) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
17	13, 16	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐾 ∖ {0}) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
18	11, 17	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
19		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
20		cnflddiv 21325	. . . 4 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (/r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (/r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
23	19, 20, 21, 22	subrgdv 20492	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s 𝐾))) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂfld ↾s 𝐾))𝐵))
24	6, 7, 18, 23	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂfld ↾s 𝐾))𝐵))
25	15	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (/r‘𝐹) = (/r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
26	25	oveqd 7370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴(/r‘𝐹)𝐵) = (𝐴(/r‘(ℂfld ↾s 𝐾))𝐵))
27	24, 26	eqtr4d 2767	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂVec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘𝐹)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028   / cdiv 11795  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  Scalarcsca 17182  Unitcui 20258  /_rcdvr 20303  SubRingcsubrg 20472  ℂ_fldccnfld 21279  ℂModcclm 24978  ℂVecccvs 25039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-subg 19020  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-lvec 21025  df-cnfld 21280  df-clm 24979  df-cvs 25040

This theorem is referenced by:  cvsdivcl  25049