MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvsdiv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvsdiv 24881
Description: Division of the scalar ring of a subcomplex vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cvsdiv.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
cvsdiv.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
cvsdiv ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(/rβ€˜πΉ)𝐡))
Proof of Theorem cvsdiv
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ π‘Š ∈ β„‚Vec)
21cvsclm 24875 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ π‘Š ∈ β„‚Mod)
3 cvsdiv.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 cvsdiv.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
53, 4clmsubrg 24815 . . . 4 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
62, 5syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7 simpr1 1192 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8 simpr2 1193 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 simpr3 1194 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 β‰  0)
10 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝐡 ∈ (𝐾 βˆ– {0}) ↔ (𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0))
118, 9, 10sylanbrc 581 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 ∈ (𝐾 βˆ– {0}))
123, 4cvsunit 24880 . . . . . 6 (π‘Š ∈ β„‚Vec β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜πΉ))
131, 12syl 17 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜πΉ))
143, 4clmsca 24814 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ β„‚Mod β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
152, 14syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
1615fveq2d 6896 . . . . 5 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (Unitβ€˜πΉ) = (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
1713, 16eqtrd 2770 . . . 4 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐾 βˆ– {0}) = (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
1811, 17eleqtrd 2833 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ 𝐡 ∈ (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
19 eqid 2730 . . . 4 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
20 cnflddiv 21177 . . . 4 / = (/rβ€˜β„‚fld)
21 eqid 2730 . . . 4 (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
22 eqid 2730 . . . 4 (/rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (/rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
2319, 20, 21, 22subrgdv 20481 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ (Unitβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(/rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))𝐡))
246, 7, 18, 23syl3anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(/rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))𝐡))
2515fveq2d 6896 . . 3 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (/rβ€˜πΉ) = (/rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
2625oveqd 7430 . 2 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐴(/rβ€˜πΉ)𝐡) = (𝐴(/rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))𝐡))
2724, 26eqtr4d 2773 1 ((π‘Š ∈ β„‚Vec ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 β‰  0)) β†’ (𝐴 / 𝐡) = (𝐴(/rβ€˜πΉ)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3946  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  0cc0 11114   / cdiv 11877  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179  Scalarcsca 17206  Unitcui 20248  /rcdvr 20293  SubRingcsubrg 20459  β„‚fldccnfld 21146  β„‚Modcclm 24811  β„‚Vecccvs 24872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-subg 19041  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-subrg 20461  df-drng 20504  df-lvec 20860  df-cnfld 21147  df-clm 24812  df-cvs 24873
This theorem is referenced by:  cvsdivcl  24882
  Copyright terms: Public domain W3C validator