MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplit 15631
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit
StepHypRef Expression
1 ssun1 4133 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 fsumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
31, 2sseqtrrid 3998 . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
43sselda 3945 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
5 fsumsplit.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
64, 5syldan 592 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
76ralrimiva 3140 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
8 fsumsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
98olcd 873 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
10 sumss2 15616 . . . 4 (((𝐴𝑈 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
113, 7, 9, 10syl21anc 837 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
12 ssun2 4134 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
1312, 2sseqtrrid 3998 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
1413sselda 3945 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
1514, 5syldan 592 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1615ralrimiva 3140 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
17 sumss2 15616 . . . 4 (((𝐵𝑈 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
1813, 16, 9, 17syl21anc 837 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
1911, 18oveq12d 7376 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
20 0cn 11152 . . . 4 0 ∈ ℂ
21 ifcl 4532 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
225, 20, 21sylancl 587 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
23 ifcl 4532 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
245, 20, 23sylancl 587 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
258, 22, 24fsumadd 15630 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
262eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
27 elun 4109 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
2826, 27bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2928biimpa 478 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
30 iftrue 4493 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
3130adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
32 noel 4291 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑘 ∈ ∅
33 fsumsplit.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
3433eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
35 elin 3927 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3634, 35bitr3di 286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
3732, 36mtbii 326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
38 imnan 401 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3937, 38sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4039imp 408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4140iffalsed 4498 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
4231, 41oveq12d 7376 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
436addid1d 11360 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
4442, 43eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
4539con2d 134 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
4645imp 408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
4746iffalsed 4498 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
48 iftrue 4493 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
4948adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
5047, 49oveq12d 7376 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
5115addid2d 11361 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
5250, 51eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5344, 52jaodan 957 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5429, 53syldan 592 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5554sumeq2dv 15593 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘𝑈 𝐶)
5619, 25, 553eqtr2rd 2780 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cun 3909  cin 3910  wss 3911  c0 4283  ifcif 4487  cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059  cuz 12768  Σcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  fsumsplitf  15632  sumpr  15638  sumtp  15639  fsumm1  15641  fsum1p  15643  fsumsplitsnun  15645  fsum2dlem  15660  fsumless  15686  fsumabs  15691  fsumrlim  15701  fsumo1  15702  o1fsum  15703  cvgcmpce  15708  fsumiun  15711  incexclem  15726  incexc  15727  isumltss  15738  climcndslem1  15739  climcndslem2  15740  mertenslem1  15774  bitsinv1  16327  bitsinvp1  16334  sylow2a  19406  fsumcn  24249  ovolfiniun  24881  volfiniun  24927  uniioombllem3  24965  itgfsum  25207  dvmptfsum  25355  vieta1lem2  25687  mtest  25779  birthdaylem2  26318  fsumharmonic  26377  ftalem5  26442  chtprm  26518  chtdif  26523  perfectlem2  26594  lgsquadlem2  26745  dchrisumlem1  26853  dchrisumlem2  26854  rpvmasum2  26876  dchrisum0lem1b  26879  dchrisum0lem3  26883  pntrsumbnd2  26931  pntrlog2bndlem6  26947  pntpbnd2  26951  pntlemf  26969  axlowdimlem16  27948  axlowdimlem17  27949  vtxdgoddnumeven  28543  indsumin  32678  signsplypnf  33219  fsum2dsub  33277  hgt750lemd  33318  tgoldbachgtde  33330  sticksstones6  40605  sticksstones7  40606  jm2.22  41362  jm2.23  41363  sumpair  43328  sumnnodd  43957  stoweidlem11  44338  stoweidlem26  44353  stoweidlem44  44371  sge0resplit  44733  sge0split  44736  fsumsplitsndif  45651  perfectALTVlem2  46000
  Copyright terms: Public domain W3C validator