Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplit 15097
 Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit
StepHypRef Expression
1 ssun1 4134 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 fsumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
31, 2sseqtrrid 4006 . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
43sselda 3953 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
5 fsumsplit.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
64, 5syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
76ralrimiva 3177 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
8 fsumsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
98olcd 871 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
10 sumss2 15083 . . . 4 (((𝐴𝑈 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
113, 7, 9, 10syl21anc 836 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
12 ssun2 4135 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
1312, 2sseqtrrid 4006 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
1413sselda 3953 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
1514, 5syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1615ralrimiva 3177 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
17 sumss2 15083 . . . 4 (((𝐵𝑈 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
1813, 16, 9, 17syl21anc 836 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
1911, 18oveq12d 7167 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
20 0cn 10631 . . . 4 0 ∈ ℂ
21 ifcl 4494 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
225, 20, 21sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
23 ifcl 4494 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
245, 20, 23sylancl 589 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
258, 22, 24fsumadd 15096 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
262eleq2d 2901 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
27 elun 4111 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
2826, 27syl6bb 290 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2928biimpa 480 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
30 iftrue 4456 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
3130adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
32 noel 4280 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑘 ∈ ∅
33 fsumsplit.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
3433eleq2d 2901 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
35 elin 3935 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3634, 35bitr3di 289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
3732, 36mtbii 329 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
38 imnan 403 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3937, 38sylibr 237 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4039imp 410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4140iffalsed 4461 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
4231, 41oveq12d 7167 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
436addid1d 10838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
4442, 43eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
4539con2d 136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
4645imp 410 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
4746iffalsed 4461 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
48 iftrue 4456 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
4948adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
5047, 49oveq12d 7167 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
5115addid2d 10839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
5250, 51eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5344, 52jaodan 955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5429, 53syldan 594 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5554sumeq2dv 15060 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘𝑈 𝐶)
5619, 25, 553eqtr2rd 2866 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133   ∪ cun 3917   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  ifcif 4450  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  ℂcc 10533  0cc0 10535   + caddc 10538  ℤ≥cuz 12240  Σcsu 15042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043 This theorem is referenced by:  fsumsplitf  15098  sumpr  15103  sumtp  15104  fsumm1  15106  fsum1p  15108  fsumsplitsnun  15110  fsum2dlem  15125  fsumless  15151  fsumabs  15156  fsumrlim  15166  fsumo1  15167  o1fsum  15168  cvgcmpce  15173  fsumiun  15176  incexclem  15191  incexc  15192  isumltss  15203  climcndslem1  15204  climcndslem2  15205  mertenslem1  15240  bitsinv1  15789  bitsinvp1  15796  sylow2a  18744  fsumcn  23478  ovolfiniun  24108  volfiniun  24154  uniioombllem3  24192  itgfsum  24433  dvmptfsum  24581  vieta1lem2  24910  mtest  25002  birthdaylem2  25541  fsumharmonic  25600  ftalem5  25665  chtprm  25741  chtdif  25746  perfectlem2  25817  lgsquadlem2  25968  dchrisumlem1  26076  dchrisumlem2  26077  rpvmasum2  26099  dchrisum0lem1b  26102  dchrisum0lem3  26106  pntrsumbnd2  26154  pntrlog2bndlem6  26170  pntpbnd2  26174  pntlemf  26192  axlowdimlem16  26754  axlowdimlem17  26755  vtxdgoddnumeven  27346  indsumin  31338  signsplypnf  31877  fsum2dsub  31935  hgt750lemd  31976  tgoldbachgtde  31988  jm2.22  39852  jm2.23  39853  sumpair  41584  sumnnodd  42198  stoweidlem11  42579  stoweidlem26  42594  stoweidlem44  42612  sge0resplit  42971  sge0split  42974  fsumsplitsndif  43816  perfectALTVlem2  44166
 Copyright terms: Public domain W3C validator