Theorem termcterm3 50757

Description: In the category of small categories, a terminal object is equivalent to a terminal category. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
termcterm3.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
termcterm3.1	⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
termcterm3	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ TermCat ↔ 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸)))

Proof of Theorem termcterm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcterm.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
2		termcterm3.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ TermCat) → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		termcterm3.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ TermCat) → 𝐶 ∈ 𝑈)
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ TermCat) → 𝐶 ∈ TermCat)
7	1, 3, 5, 6	termcterm 50755	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ TermCat) → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))
8		termcterm3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ 𝑈)
9		setc1oterm 50733	. . . . . . 7 ⊢ (SetCat‘1o) ∈ TermCat
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ TermCat)
11	8, 10	elind 4096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (SetCat‘1o) ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
12	11	ne0d 4287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸)) → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸)) → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))
15	1, 13, 14	termcterm2 50756	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸)) → 𝐶 ∈ TermCat)
16	7, 15	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ TermCat ↔ 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  ‘cfv 6541  1_oc1o 8474  TermOctermo 18164  SetCatcsetc 18257  CatCatccatc 18280  TermCatctermc 50714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-sect 17929  df-inv 17930  df-iso 17931  df-cic 17978  df-func 18040  df-idfu 18041  df-cofu 18042  df-full 18088  df-fth 18089  df-termo 18167  df-setc 18258  df-catc 18281  df-thinc 50660  df-termc 50715

This theorem is used by: (None)