Theorem termcterm2 50591

Description: A terminal object of the category of small categories is a terminal category. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm2.	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
termcterm2.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
termcterm2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Proof of Theorem termcterm2

Dummy variables 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcterm2.	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
2		n0 4300	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅ ↔ ∃𝑑 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
4		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
5	4	elin2d 4151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ TermCat)
6	5	termcthind 50555	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ ThinCat)
7		termcterm.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9		termcterm2.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))
11	8	termoo2 50310	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
13	7, 8	elbasfv 17386	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘𝐸) → 𝑈 ∈ V)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑈 ∈ V)
15	4	elin1d 4150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ 𝑈)
16	5	termccatd 50556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ Cat)
17	15, 16	elind 4146	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
18	7, 8, 14	catcbas 18269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
19	17, 18	eleqtrrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐸))
20		termorcl 18159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) → 𝐸 ∈ Cat)
21	10, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐸 ∈ Cat)
22	7, 14, 15, 5	termcterm 50590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (TermO‘𝐸))
23	21, 10, 22	termoeu1w 18187	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑑)
24	7, 8, 14, 12, 19, 23	thincciso4 50534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝐶 ∈ ThinCat ↔ 𝑑 ∈ ThinCat))
25	6, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
26	21, 10, 22	termoeu1 18186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
27		euex 2603	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
28	26, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
29		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
30		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑑) = (Base‘𝑑)
31		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Iso‘𝐸) = (Iso‘𝐸)
32	7, 8, 29, 30, 14, 12, 19, 31	catciso 18279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑) ↔ (𝑓 ∈ ((𝐶 Full 𝑑) ∩ (𝐶 Faith 𝑑)) ∧ (1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑))))
33	32	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑)) → (1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑))
34		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) ∈ V
35	34	f1oen 8992	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
36	33, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑)) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
37	28, 36	exlimddv 1968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
38	30	istermc3 50553	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ TermCat ↔ (𝑑 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o))
39	5, 38	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝑑 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o))
40	39	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝑑) ≈ 1o)
41		entr 9026	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑) ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o) → (Base‘𝐶) ≈ 1o)
42	37, 40, 41	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐶) ≈ 1o)
43	29	istermc3 50553	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ (𝐶 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝐶) ≈ 1o))
44	25, 42, 43	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ TermCat)
45	3, 44	exlimddv 1968	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2594   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1^st c1st 7997  1_oc1o 8462   ≈ cen 8963  Basecbs 17380  Catccat 17831  Isociso 17914   Full cful 18072   Faith cfth 18073  TermOctermo 18150  CatCatccatc 18266  ThinCatcthinc 50494  TermCatctermc 50549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-sect 17915  df-inv 17916  df-iso 17917  df-cic 17964  df-func 18026  df-idfu 18027  df-cofu 18028  df-full 18074  df-fth 18075  df-termo 18153  df-catc 18267  df-thinc 50495  df-termc 50550

This theorem is used by:  termcterm3  50592  termcciso  50593  termc2  50595