Theorem termcterm2 50292

Description: A terminal object of the category of small categories is a terminal category. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm2.	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
termcterm2.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
termcterm2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Proof of Theorem termcterm2

Dummy variables 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcterm2.	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
2		n0 4307	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅ ↔ ∃𝑑 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
4		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
5	4	elin2d 4158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ TermCat)
6	5	termcthind 50256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ ThinCat)
7		termcterm.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9		termcterm2.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))
11	8	termoo2 50011	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
13	7, 8	elbasfv 17270	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘𝐸) → 𝑈 ∈ V)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑈 ∈ V)
15	4	elin1d 4157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ 𝑈)
16	5	termccd 50257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ Cat)
17	15, 16	elind 4153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
18	7, 8, 14	catcbas 18153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
19	17, 18	eleqtrrd 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐸))
20		termorcl 18043	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) → 𝐸 ∈ Cat)
21	10, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐸 ∈ Cat)
22	7, 14, 15, 5	termcterm 50291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (TermO‘𝐸))
23	21, 10, 22	termoeu1w 18071	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑑)
24	7, 8, 14, 12, 19, 23	thincciso4 50235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝐶 ∈ ThinCat ↔ 𝑑 ∈ ThinCat))
25	6, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
26	21, 10, 22	termoeu1 18070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
27		euex 2605	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
28	26, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
29		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
30		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑑) = (Base‘𝑑)
31		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Iso‘𝐸) = (Iso‘𝐸)
32	7, 8, 29, 30, 14, 12, 19, 31	catciso 18163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑) ↔ (𝑓 ∈ ((𝐶 Full 𝑑) ∩ (𝐶 Faith 𝑑)) ∧ (1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑))))
33	32	simplbda 504	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑)) → (1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑))
34		fvex 6894	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) ∈ V
35	34	f1oen 8965	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
36	33, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑)) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
37	28, 36	exlimddv 1965	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
38	30	istermc3 50254	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ TermCat ↔ (𝑑 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o))
39	5, 38	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝑑 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o))
40	39	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝑑) ≈ 1o)
41		entr 8999	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑) ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o) → (Base‘𝐶) ≈ 1o)
42	37, 40, 41	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐶) ≈ 1o)
43	29	istermc3 50254	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ (𝐶 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝐶) ≈ 1o))
44	25, 42, 43	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ TermCat)
45	3, 44	exlimddv 1965	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∩ cin 3904  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936  Basecbs 17264  Catccat 17715  Isociso 17798   Full cful 17956   Faith cfth 17957  TermOctermo 18034  CatCatccatc 18150  ThinCatcthinc 50195  TermCatctermc 50250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-hom 17329  df-cco 17330  df-cat 17719  df-cid 17720  df-sect 17799  df-inv 17800  df-iso 17801  df-cic 17848  df-func 17910  df-idfu 17911  df-cofu 17912  df-full 17958  df-fth 17959  df-termo 18037  df-catc 18151  df-thinc 50196  df-termc 50251

This theorem is referenced by:  termcterm3  50293  termcciso  50294  termc2  50296