Theorem termcterm2 50172

Description: A terminal object of the category of small categories is a terminal category. (Contributed by Zhi Wang, 18-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 23-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
termcterm.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
termcterm2.	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
termcterm2.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))

Assertion

Ref	Expression
termcterm2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Proof of Theorem termcterm2

Dummy variables 𝑑 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		termcterm2.	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅)
2		n0 4314	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∩ TermCat) ≠ ∅ ↔ ∃𝑑 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
3	1, 2	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
4		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat))
5	4	elin2d 4166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ TermCat)
6	5	termcthind 50136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ ThinCat)
7		termcterm.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
8		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9		termcterm2.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ (TermO‘𝐸))
11	8	termoo2 49891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
12	10, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
13	7, 8	elbasfv 17271	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘𝐸) → 𝑈 ∈ V)
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑈 ∈ V)
15	4	elin1d 4165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ 𝑈)
16	5	termccd 50137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ Cat)
17	15, 16	elind 4161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
18	7, 8, 14	catcbas 18154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
19	17, 18	eleqtrrd 2872	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝐸))
20		termorcl 18044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (TermO‘𝐸) → 𝐸 ∈ Cat)
21	10, 20	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐸 ∈ Cat)
22	7, 14, 15, 5	termcterm 50171	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝑑 ∈ (TermO‘𝐸))
23	21, 10, 22	termoeu1w 18072	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑑)
24	7, 8, 14, 12, 19, 23	thincciso4 50115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝐶 ∈ ThinCat ↔ 𝑑 ∈ ThinCat))
25	6, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
26	21, 10, 22	termoeu1 18071	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
27		euex 2611	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
28	26, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑))
29		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
30		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑑) = (Base‘𝑑)
31		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Iso‘𝐸) = (Iso‘𝐸)
32	7, 8, 29, 30, 14, 12, 19, 31	catciso 18164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑) ↔ (𝑓 ∈ ((𝐶 Full 𝑑) ∩ (𝐶 Faith 𝑑)) ∧ (1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑))))
33	32	simplbda 504	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑)) → (1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑))
34		fvex 6892	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) ∈ V
35	34	f1oen 8965	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘𝑓):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(Base‘𝑑) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
36	33, 35	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑑)) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
37	28, 36	exlimddv 1962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑))
38	30	istermc3 50134	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ TermCat ↔ (𝑑 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o))
39	5, 38	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (𝑑 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o))
40	39	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝑑) ≈ 1o)
41		entr 8999	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝐶) ≈ (Base‘𝑑) ∧ (Base‘𝑑) ≈ 1o) → (Base‘𝐶) ≈ 1o)
42	37, 40, 41	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → (Base‘𝐶) ≈ 1o)
43	29	istermc3 50134	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ TermCat ↔ (𝐶 ∈ ThinCat ∧ (Base‘𝐶) ≈ 1o))
44	25, 42, 43	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (𝑈 ∩ TermCat)) → 𝐶 ∈ TermCat)
45	3, 44	exlimddv 1962	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ TermCat)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  ∃!weu 2602   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∩ cin 3912  ∅c0 4294   class class class wbr 5110  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  1^st c1st 7980  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936  Basecbs 17265  Catccat 17716  Isociso 17799   Full cful 17957   Faith cfth 17958  TermOctermo 18035  CatCatccatc 18151  ThinCatcthinc 50075  TermCatctermc 50130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-sect 17800  df-inv 17801  df-iso 17802  df-cic 17849  df-func 17911  df-idfu 17912  df-cofu 17913  df-full 17959  df-fth 17960  df-termo 18038  df-catc 18152  df-thinc 50076  df-termc 50131

This theorem is referenced by:  termcterm3  50173  termcciso  50174  termc2  50176