MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsi 24037
Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsi.3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsi.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
tsmsi.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
tsmsi (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐺,𝑧   𝑧,𝐽   𝑧,𝐴   πœ‘,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,π‘ˆ,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑧)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)
Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
2 eleq2 2818 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ π‘ˆ))
3 eleq2 2818 . . . . . 6 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ))
43imbi2d 340 . . . . 5 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ)))
54rexralbidv 3217 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ)))
62, 5imbi12d 344 . . 3 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ))))
7 tsmsi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
8 eltsms.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
9 eltsms.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
10 eltsms.s . . . . . 6 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11 eltsms.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
12 eltsms.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
13 eltsms.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
14 eltsms.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14eltsms 24036 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
167, 15mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
1716simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
18 tsmsi.4 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
196, 17, 18rspcdva 3610 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ)))
201, 19mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603   β†Ύ cres 5680  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  Basecbs 17179  TopOpenctopn 17402   Ξ£g cgsu 17421  CMndccmn 19734  TopSpctps 22833   tsums ctsu 24029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-ntr 22923  df-nei 23001  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-tsms 24030
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  24056
  Copyright terms: Public domain W3C validator