Theorem tsmsi 24181

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsi.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsi.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
tsmsi.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tsmsi	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐺,𝑧   𝑧,𝐽   𝑧,𝐴   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem tsmsi

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsi.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq2 2850	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝐶 ∈ 𝑢 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
3		eleq2 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))
4	3	imbi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
5	4	rexralbidv 3227	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
6	2, 5	imbi12d 346	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))))
7		tsmsi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
8		eltsms.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		eltsms.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10		eltsms.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11		eltsms.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
12		eltsms.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
13		eltsms.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14		eltsms.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	eltsms 24180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
16	7, 15	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
17	16	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
18		tsmsi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
19	6, 17, 18	rspcdva 3581	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
20	1, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4552   ↾ cres 5645  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Fincfn 8920  Basecbs 17235  TopOpenctopn 17440   Σ_g cgsu 17459  CMndccmn 19810  TopSpctps 22979   tsums ctsu 24173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-ntr 23067  df-nei 23145  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-tsms 24174

This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  24200