Theorem tsmsi 23285

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsi.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsi.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
tsmsi.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tsmsi	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐺,𝑧   𝑧,𝐽   𝑧,𝐴   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem tsmsi

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsi.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq2 2827	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝐶 ∈ 𝑢 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
3		eleq2 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))
4	3	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
5	4	rexralbidv 3230	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
6	2, 5	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))))
7		tsmsi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
8		eltsms.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		eltsms.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10		eltsms.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11		eltsms.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
12		eltsms.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
13		eltsms.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14		eltsms.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	eltsms 23284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
16	7, 15	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
17	16	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
18		tsmsi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
19	6, 17, 18	rspcdva 3562	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
20	1, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  TopOpenctopn 17132   Σ_g cgsu 17151  CMndccmn 19386  TopSpctps 22081   tsums ctsu 23277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-ntr 22171  df-nei 22249  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-tsms 23278

This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  23304