Theorem tsmsi 24037

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsi.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsi.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
tsmsi.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tsmsi	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐺,𝑧   𝑧,𝐽   𝑧,𝐴   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem tsmsi

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsi.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq2 2817	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝐶 ∈ 𝑢 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
3		eleq2 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))
4	3	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
5	4	rexralbidv 3195	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
6	2, 5	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))))
7		tsmsi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
8		eltsms.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		eltsms.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10		eltsms.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11		eltsms.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
12		eltsms.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
13		eltsms.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14		eltsms.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	eltsms 24036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
16	7, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
17	16	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
18		tsmsi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
19	6, 17, 18	rspcdva 3580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
20	1, 19	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17138  TopOpenctopn 17343   Σ_g cgsu 17362  CMndccmn 19677  TopSpctps 22835   tsums ctsu 24029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-ntr 22923  df-nei 23001  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-tsms 24030

This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  24056