MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tsmsi 23982
Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
tsmsi.3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsi.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
tsmsi.5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
tsmsi (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐺,𝑧   𝑧,𝐽   𝑧,𝐴   πœ‘,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,π‘ˆ,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑧)   𝐢(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)
Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ π‘ˆ)
2 eleq2 2814 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (𝐢 ∈ 𝑒 ↔ 𝐢 ∈ π‘ˆ))
3 eleq2 2814 . . . . . 6 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒 ↔ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ))
43imbi2d 340 . . . . 5 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ)))
54rexralbidv 3212 . . . 4 (𝑒 = π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ)))
62, 5imbi12d 344 . . 3 (𝑒 = π‘ˆ β†’ ((𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)) ↔ (𝐢 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ))))
7 tsmsi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
8 eltsms.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
9 eltsms.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
10 eltsms.s . . . . . 6 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11 eltsms.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
12 eltsms.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
13 eltsms.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
14 eltsms.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14eltsms 23981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))))
167, 15mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒))))
1716simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐽 (𝐢 ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑒)))
18 tsmsi.4 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
196, 17, 18rspcdva 3605 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ π‘ˆ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ)))
201, 19mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4595   β†Ύ cres 5669  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  Basecbs 17149  TopOpenctopn 17372   Ξ£g cgsu 17391  CMndccmn 19696  TopSpctps 22778   tsums ctsu 23974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-ntr 22868  df-nei 22946  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-tsms 23975
This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  24001
  Copyright terms: Public domain W3C validator