Theorem tsmsi 24508

Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltsms.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s	⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
eltsms.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmsi.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsi.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
tsmsi.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
tsmsi	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐺,𝑧   𝑧,𝐽   𝑧,𝐴   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦, 𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem tsmsi

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsi.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
2		eleq2 2853	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝐶 ∈ 𝑢 ↔ 𝐶 ∈ 𝑈))
3		eleq2 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))
4	3	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
5	4	rexralbidv 3232	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
6	2, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐶 ∈ 𝑈 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))))
7		tsmsi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
8		eltsms.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9		eltsms.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10		eltsms.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11		eltsms.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
12		eltsms.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
13		eltsms.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14		eltsms.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	eltsms 24507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))))
16	7, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢))))
17	16	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝐶 ∈ 𝑢 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑢)))
18		tsmsi.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
19	6, 17, 18	rspcdva 3581	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑈 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈)))
20	1, 19	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560   ↾ cres 5660  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  Basecbs 17431  TopOpenctopn 17642   Σ_g cgsu 17661  CMndccmn 20045  TopSpctps 23305   tsums ctsu 24500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-ntr 23393  df-nei 23471  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-tsms 24501

This theorem is used by:  tsmsxplem1  24527