Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsi 22742
 Description: The property of being a sum of the sequence 𝐹 in the topological commutative monoid 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eltsms.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eltsms.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
eltsms.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
eltsms.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
eltsms.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
eltsms.a (𝜑𝐴𝑉)
eltsms.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsi.3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmsi.4 (𝜑𝑈𝐽)
tsmsi.5 (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
tsmsi (𝜑 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑧,𝐹   𝑦,𝐺,𝑧   𝑧,𝐽   𝑧,𝐴   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑦,𝑧)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem tsmsi
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsi.5 . 2 (𝜑𝐶𝑈)
2 eleq2 2881 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (𝐶𝑢𝐶𝑈))
3 eleq2 2881 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))
43imbi2d 344 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈)))
54rexralbidv 3263 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈)))
62, 5imbi12d 348 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝐶𝑈 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))))
7 tsmsi.3 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
8 eltsms.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 eltsms.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
10 eltsms.s . . . . . 6 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
11 eltsms.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
12 eltsms.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
13 eltsms.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
14 eltsms.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14eltsms 22741 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))))
167, 15mpbid 235 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐵 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢))))
1716simprd 499 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝐽 (𝐶𝑢 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑢)))
18 tsmsi.4 . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
196, 17, 18rspcdva 3576 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑈 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈)))
201, 19mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑆𝑦𝑆 (𝑧𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  Basecbs 16478  TopOpenctopn 16690   Σg cgsu 16709  CMndccmn 18901  TopSpctps 21540   tsums ctsu 22734 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-tsms 22735 This theorem is referenced by:  tsmsxplem1  22761
 Copyright terms: Public domain W3C validator