MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmscl 24052
Description: A sum in a topological group is an element of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tsmscl.1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
Assertion
Ref Expression
tsmscl (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)

Proof of Theorem tsmscl
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmscl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2728 . . . 4 (TopOpenβ€˜πΊ) = (TopOpenβ€˜πΊ)
3 eqid 2728 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4 tsmscl.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
5 tsmscl.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TopSp)
6 tsmscl.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
7 tsmscl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7eltsms 24050 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑀)))))
9 simpl 482 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ βˆ€π‘€ ∈ (TopOpenβ€˜πΊ)(π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 βŠ† 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝑦)) ∈ 𝑀))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
108, 9biimtrdi 252 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐺 tsums 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡))
1110ssrdv 3986 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 tsums 𝐹) βŠ† 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603   β†Ύ cres 5680  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  Basecbs 17180  TopOpenctopn 17403   Ξ£g cgsu 17422  CMndccmn 19735  TopSpctps 22847   tsums ctsu 24043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-ntr 22937  df-nei 23015  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tsms 24044
This theorem is referenced by:  tsmsmhm  24063  tsmsadd  24064  tsmssub  24066  tgptsmscls  24067  tgptsmscld  24068  taylfvallem  26305  esumcl  33649
  Copyright terms: Public domain W3C validator