Theorem tsmscl 22158

Description: A sum in a topological group is an element of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
tsmscl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmscl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tsmscl	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem tsmscl

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmscl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
3		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
4		tsmscl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		tsmscl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
6		tsmscl.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7		tsmscl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	eltsms 22156	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑤)))))
9		simpl 468	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥 ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑧 ⊆ 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝑦)) ∈ 𝑤))) → 𝑥 ∈ 𝐵)
10	8, 9	syl6bi 243	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐵))
11	10	ssrdv 3758	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4297   ↾ cres 5251  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  Basecbs 16064  TopOpenctopn 16290   Σ_g cgsu 16309  CMndccmn 18400  TopSpctps 20957   tsums ctsu 22149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-ntr 21045  df-nei 21123  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tsms 22150

This theorem is referenced by:  tsmsmhm  22169  tsmsadd  22170  tsmssub  22172  tgptsmscls  22173  tgptsmscld  22174  taylfvallem  24332  esumcl  30432