Theorem itgsubsticc 46498

Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 26084 is that here we consider the range of 𝐴(𝑥) to be in the closed interval (𝐾[,]𝐿). If 𝐴(𝑥) is a continuous, differentiable function from [𝑋, 𝑌] to (𝑍, 𝑊), whose derivative is continuous and integrable, and 𝐶(𝑢) is a continuous function on (𝑍, 𝑊), then the integral of 𝐶(𝑢) from 𝐾 = 𝐴(𝑋) to 𝐿 = 𝐴(𝑌) is equal to the integral of 𝐶(𝐴(𝑥)) D 𝐴(𝑥) from 𝑋 to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsubsticc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
itgsubsticc.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
itgsubsticc.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
itgsubsticc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
itgsubsticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
itgsubsticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
itgsubsticc.7	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgsubsticc.8	⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
itgsubsticc.9	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
itgsubsticc.10	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
itgsubsticc.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
itgsubsticc.12	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgsubsticc	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑥,𝐶   𝑢,𝐸   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝐿,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥   𝑢,𝑌,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐶(𝑢)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem itgsubsticc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)
2		eqid 2756	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿))))
3		itgsubsticc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		itgsubsticc.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itgsubsticc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6		itgsubsticc.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
7		itgsubsticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
8		itgsubsticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
9		itgsubsticc.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		itgsubsticc.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
11		eqidd 2757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴))
12		itgsubsticc.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
13	12	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐴 = 𝐿)
14	3	rexrd 11222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
15	4	rexrd 11222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
16		ubicc2 13459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17	14, 15, 5, 16	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
18	11, 13, 17, 10	fvmptd 6972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) = 𝐿)
19		cncff 24928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
20	6, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
21	20, 17	ffvelcdmd 7055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) ∈ (𝐾[,]𝐿))
22	18, 21	eqeltrrd 2857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿))
23		elicc2 13405	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
24	9, 10, 23	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
25	22, 24	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿))
26	25	simp2d 1152	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐿)
27		itgsubsticc.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
28		itgsubsticc.8	. 2 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
29		itgsubsticc.9	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12	itgsubsticclem 46497	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ∩ cin 3898  ifcif 4474   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062   · cmul 11068  ℝ^*cxr 11205   < clt 11206   ≤ cle 11207  (,)cioo 13339  [,]cicc 13342  –cn→ccncf 24911  𝐿¹cibl 25652  ⨜cdit 25881   D cdv 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cc 10382  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-disj 5062  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-ofr 7650  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-dju 9849  df-card 9887  df-acn 9890  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ioc 13344  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-limsup 15474  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-fbas 21394  df-fg 21395  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-lp 23169  df-perf 23170  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-haus 23348  df-cmp 23420  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-fil 23879  df-fm 23971  df-flim 23972  df-flf 23973  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cncf 24913  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-ditg 25882  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  itgiccshift  46502  itgperiod  46503  itgsbtaddcnst  46504