![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > itgsubsticc | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 26000 is that here we consider the range of ๐ด(๐ฅ) to be in the closed interval (๐พ[,]๐ฟ). If ๐ด(๐ฅ) is a continuous, differentiable function from [๐, ๐] to (๐, ๐), whose derivative is continuous and integrable, and ๐ถ(๐ข) is a continuous function on (๐, ๐), then the integral of ๐ถ(๐ข) from ๐พ = ๐ด(๐) to ๐ฟ = ๐ด(๐) is equal to the integral of ๐ถ(๐ด(๐ฅ)) D ๐ด(๐ฅ) from ๐ to ๐. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
itgsubsticc.1 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
itgsubsticc.2 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
itgsubsticc.3 | โข (๐ โ ๐ โค ๐) |
itgsubsticc.4 | โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด) โ ((๐[,]๐)โcnโ(๐พ[,]๐ฟ))) |
itgsubsticc.5 | โข (๐ โ (๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ) โ ((๐พ[,]๐ฟ)โcnโโ)) |
itgsubsticc.6 | โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ต) โ (((๐(,)๐)โcnโโ) โฉ ๐ฟ1)) |
itgsubsticc.7 | โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)) = (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ต)) |
itgsubsticc.8 | โข (๐ข = ๐ด โ ๐ถ = ๐ธ) |
itgsubsticc.9 | โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐พ) |
itgsubsticc.10 | โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐ฟ) |
itgsubsticc.11 | โข (๐ โ ๐พ โ โ) |
itgsubsticc.12 | โข (๐ โ ๐ฟ โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
itgsubsticc | โข (๐ โ โจ[๐พ โ ๐ฟ]๐ถ d๐ข = โจ[๐ โ ๐](๐ธ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2725 | . 2 โข (๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ) = (๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ) | |
2 | eqid 2725 | . 2 โข (๐ข โ โ โฆ if(๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ), ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐ข), if(๐ข < ๐พ, ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐พ), ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐ฟ)))) = (๐ข โ โ โฆ if(๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ), ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐ข), if(๐ข < ๐พ, ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐พ), ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐ฟ)))) | |
3 | itgsubsticc.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
4 | itgsubsticc.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
5 | itgsubsticc.3 | . 2 โข (๐ โ ๐ โค ๐) | |
6 | itgsubsticc.4 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด) โ ((๐[,]๐)โcnโ(๐พ[,]๐ฟ))) | |
7 | itgsubsticc.6 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ต) โ (((๐(,)๐)โcnโโ) โฉ ๐ฟ1)) | |
8 | itgsubsticc.5 | . 2 โข (๐ โ (๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ) โ ((๐พ[,]๐ฟ)โcnโโ)) | |
9 | itgsubsticc.11 | . 2 โข (๐ โ ๐พ โ โ) | |
10 | itgsubsticc.12 | . 2 โข (๐ โ ๐ฟ โ โ) | |
11 | eqidd 2726 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด) = (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)) | |
12 | itgsubsticc.10 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐ฟ) | |
13 | 12 | adantl 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ = ๐) โ ๐ด = ๐ฟ) |
14 | 3 | rexrd 11292 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ*) |
15 | 4 | rexrd 11292 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ*) |
16 | ubicc2 13472 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ* โง ๐ โ โ* โง ๐ โค ๐) โ ๐ โ (๐[,]๐)) | |
17 | 14, 15, 5, 16 | syl3anc 1368 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (๐[,]๐)) |
18 | 11, 13, 17, 10 | fvmptd 7006 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)โ๐) = ๐ฟ) |
19 | cncff 24829 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด) โ ((๐[,]๐)โcnโ(๐พ[,]๐ฟ)) โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด):(๐[,]๐)โถ(๐พ[,]๐ฟ)) | |
20 | 6, 19 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด):(๐[,]๐)โถ(๐พ[,]๐ฟ)) |
21 | 20, 17 | ffvelcdmd 7089 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)โ๐) โ (๐พ[,]๐ฟ)) |
22 | 18, 21 | eqeltrrd 2826 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ฟ โ (๐พ[,]๐ฟ)) |
23 | elicc2 13419 | . . . . 5 โข ((๐พ โ โ โง ๐ฟ โ โ) โ (๐ฟ โ (๐พ[,]๐ฟ) โ (๐ฟ โ โ โง ๐พ โค ๐ฟ โง ๐ฟ โค ๐ฟ))) | |
24 | 9, 10, 23 | syl2anc 582 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฟ โ (๐พ[,]๐ฟ) โ (๐ฟ โ โ โง ๐พ โค ๐ฟ โง ๐ฟ โค ๐ฟ))) |
25 | 22, 24 | mpbid 231 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฟ โ โ โง ๐พ โค ๐ฟ โง ๐ฟ โค ๐ฟ)) |
26 | 25 | simp2d 1140 | . 2 โข (๐ โ ๐พ โค ๐ฟ) |
27 | itgsubsticc.7 | . 2 โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)) = (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ต)) | |
28 | itgsubsticc.8 | . 2 โข (๐ข = ๐ด โ ๐ถ = ๐ธ) | |
29 | itgsubsticc.9 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐พ) | |
30 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12 | itgsubsticclem 45425 | 1 โข (๐ โ โจ[๐พ โ ๐ฟ]๐ถ d๐ข = โจ[๐ โ ๐](๐ธ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โฉ cin 3939 ifcif 4524 class class class wbr 5143 โฆ cmpt 5226 โถwf 6538 โcfv 6542 (class class class)co 7415 โcc 11134 โcr 11135 ยท cmul 11141 โ*cxr 11275 < clt 11276 โค cle 11277 (,)cioo 13354 [,]cicc 13357 โcnโccncf 24812 ๐ฟ1cibl 25562 โจcdit 25791 D cdv 25808 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-inf2 9662 ax-cc 10456 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 ax-pre-sup 11214 ax-addf 11215 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-symdif 4237 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-disj 5109 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-of 7681 df-ofr 7682 df-om 7868 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-supp 8162 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-1o 8483 df-2o 8484 df-oadd 8487 df-omul 8488 df-er 8721 df-map 8843 df-pm 8844 df-ixp 8913 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-fin 8964 df-fsupp 9384 df-fi 9432 df-sup 9463 df-inf 9464 df-oi 9531 df-dju 9922 df-card 9960 df-acn 9963 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-div 11900 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-4 12305 df-5 12306 df-6 12307 df-7 12308 df-8 12309 df-9 12310 df-n0 12501 df-z 12587 df-dec 12706 df-uz 12851 df-q 12961 df-rp 13005 df-xneg 13122 df-xadd 13123 df-xmul 13124 df-ioo 13358 df-ioc 13359 df-ico 13360 df-icc 13361 df-fz 13515 df-fzo 13658 df-fl 13787 df-mod 13865 df-seq 13997 df-exp 14057 df-hash 14320 df-cj 15076 df-re 15077 df-im 15078 df-sqrt 15212 df-abs 15213 df-limsup 15445 df-clim 15462 df-rlim 15463 df-sum 15663 df-struct 17113 df-sets 17130 df-slot 17148 df-ndx 17160 df-base 17178 df-ress 17207 df-plusg 17243 df-mulr 17244 df-starv 17245 df-sca 17246 df-vsca 17247 df-ip 17248 df-tset 17249 df-ple 17250 df-ds 17252 df-unif 17253 df-hom 17254 df-cco 17255 df-rest 17401 df-topn 17402 df-0g 17420 df-gsum 17421 df-topgen 17422 df-pt 17423 df-prds 17426 df-xrs 17481 df-qtop 17486 df-imas 17487 df-xps 17489 df-mre 17563 df-mrc 17564 df-acs 17566 df-mgm 18597 df-sgrp 18676 df-mnd 18692 df-submnd 18738 df-mulg 19026 df-cntz 19270 df-cmn 19739 df-psmet 21273 df-xmet 21274 df-met 21275 df-bl 21276 df-mopn 21277 df-fbas 21278 df-fg 21279 df-cnfld 21282 df-top 22812 df-topon 22829 df-topsp 22851 df-bases 22865 df-cld 22939 df-ntr 22940 df-cls 22941 df-nei 23018 df-lp 23056 df-perf 23057 df-cn 23147 df-cnp 23148 df-haus 23235 df-cmp 23307 df-tx 23482 df-hmeo 23675 df-fil 23766 df-fm 23858 df-flim 23859 df-flf 23860 df-xms 24242 df-ms 24243 df-tms 24244 df-cncf 24814 df-ovol 25409 df-vol 25410 df-mbf 25564 df-itg1 25565 df-itg2 25566 df-ibl 25567 df-itg 25568 df-0p 25615 df-ditg 25792 df-limc 25811 df-dv 25812 |
This theorem is referenced by: itgiccshift 45430 itgperiod 45431 itgsbtaddcnst 45432 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |