Theorem itgsubsticc 45948

Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 26026 is that here we consider the range of 𝐴(𝑥) to be in the closed interval (𝐾[,]𝐿). If 𝐴(𝑥) is a continuous, differentiable function from [𝑋, 𝑌] to (𝑍, 𝑊), whose derivative is continuous and integrable, and 𝐶(𝑢) is a continuous function on (𝑍, 𝑊), then the integral of 𝐶(𝑢) from 𝐾 = 𝐴(𝑋) to 𝐿 = 𝐴(𝑌) is equal to the integral of 𝐶(𝐴(𝑥)) D 𝐴(𝑥) from 𝑋 to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsubsticc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
itgsubsticc.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
itgsubsticc.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
itgsubsticc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
itgsubsticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
itgsubsticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
itgsubsticc.7	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgsubsticc.8	⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
itgsubsticc.9	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
itgsubsticc.10	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
itgsubsticc.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
itgsubsticc.12	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgsubsticc	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑥,𝐶   𝑢,𝐸   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝐿,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥   𝑢,𝑌,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐶(𝑢)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem itgsubsticc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)
2		eqid 2734	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿))))
3		itgsubsticc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		itgsubsticc.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itgsubsticc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6		itgsubsticc.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
7		itgsubsticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
8		itgsubsticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
9		itgsubsticc.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		itgsubsticc.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
11		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴))
12		itgsubsticc.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐴 = 𝐿)
14	3	rexrd 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
15	4	rexrd 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
16		ubicc2 13487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17	14, 15, 5, 16	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
18	11, 13, 17, 10	fvmptd 7003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) = 𝐿)
19		cncff 24855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
20	6, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
21	20, 17	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) ∈ (𝐾[,]𝐿))
22	18, 21	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿))
23		elicc2 13434	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
24	9, 10, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
25	22, 24	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿))
26	25	simp2d 1143	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐿)
27		itgsubsticc.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
28		itgsubsticc.8	. 2 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
29		itgsubsticc.9	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12	itgsubsticclem 45947	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3930  ifcif 4505   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  ℝcr 11136   · cmul 11142  ℝ^*cxr 11276   < clt 11277   ≤ cle 11278  (,)cioo 13369  [,]cicc 13372  –cn→ccncf 24838  𝐿¹cibl 25588  ⨜cdit 25817   D cdv 25834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cc 10457  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-symdif 4233  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-disj 5091  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-dju 9923  df-card 9961  df-acn 9964  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-starv 17288  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-unif 17296  df-hom 17297  df-cco 17298  df-rest 17438  df-topn 17439  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-topgen 17459  df-pt 17460  df-prds 17463  df-xrs 17518  df-qtop 17523  df-imas 17524  df-xps 17526  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22848  df-topon 22865  df-topsp 22887  df-bases 22900  df-cld 22973  df-ntr 22974  df-cls 22975  df-nei 23052  df-lp 23090  df-perf 23091  df-cn 23181  df-cnp 23182  df-haus 23269  df-cmp 23341  df-tx 23516  df-hmeo 23709  df-fil 23800  df-fm 23892  df-flim 23893  df-flf 23894  df-xms 24275  df-ms 24276  df-tms 24277  df-cncf 24840  df-ovol 25435  df-vol 25436  df-mbf 25590  df-itg1 25591  df-itg2 25592  df-ibl 25593  df-itg 25594  df-0p 25641  df-ditg 25818  df-limc 25837  df-dv 25838

This theorem is referenced by:  itgiccshift  45952  itgperiod  45953  itgsbtaddcnst  45954