Theorem itgsubsticc 43407

Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 25118 is that here we consider the range of 𝐴(𝑥) to be in the closed interval (𝐾[,]𝐿). If 𝐴(𝑥) is a continuous, differentiable function from [𝑋, 𝑌] to (𝑍, 𝑊), whose derivative is continuous and integrable, and 𝐶(𝑢) is a continuous function on (𝑍, 𝑊), then the integral of 𝐶(𝑢) from 𝐾 = 𝐴(𝑋) to 𝐿 = 𝐴(𝑌) is equal to the integral of 𝐶(𝐴(𝑥)) D 𝐴(𝑥) from 𝑋 to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsubsticc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
itgsubsticc.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
itgsubsticc.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
itgsubsticc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
itgsubsticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
itgsubsticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
itgsubsticc.7	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgsubsticc.8	⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
itgsubsticc.9	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
itgsubsticc.10	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
itgsubsticc.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
itgsubsticc.12	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgsubsticc	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑥,𝐶   𝑢,𝐸   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝐿,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥   𝑢,𝑌,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐶(𝑢)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem itgsubsticc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿))))
3		itgsubsticc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		itgsubsticc.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itgsubsticc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6		itgsubsticc.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
7		itgsubsticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
8		itgsubsticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
9		itgsubsticc.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		itgsubsticc.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
11		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴))
12		itgsubsticc.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐴 = 𝐿)
14	3	rexrd 10956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
15	4	rexrd 10956	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
16		ubicc2 13126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17	14, 15, 5, 16	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
18	11, 13, 17, 10	fvmptd 6864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) = 𝐿)
19		cncff 23962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
20	6, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
21	20, 17	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) ∈ (𝐾[,]𝐿))
22	18, 21	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿))
23		elicc2 13073	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
24	9, 10, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
25	22, 24	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿))
26	25	simp2d 1141	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐿)
27		itgsubsticc.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
28		itgsubsticc.8	. 2 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
29		itgsubsticc.9	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12	itgsubsticclem 43406	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801   · cmul 10807  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008  [,]cicc 13011  –cn→ccncf 23945  𝐿¹cibl 24686  ⨜cdit 24915   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-ditg 24916  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  itgiccshift  43411  itgperiod  43412  itgsbtaddcnst  43413