Theorem itgsubsticc 43476

Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 25201 is that here we consider the range of 𝐴(𝑥) to be in the closed interval (𝐾[,]𝐿). If 𝐴(𝑥) is a continuous, differentiable function from [𝑋, 𝑌] to (𝑍, 𝑊), whose derivative is continuous and integrable, and 𝐶(𝑢) is a continuous function on (𝑍, 𝑊), then the integral of 𝐶(𝑢) from 𝐾 = 𝐴(𝑋) to 𝐿 = 𝐴(𝑌) is equal to the integral of 𝐶(𝐴(𝑥)) D 𝐴(𝑥) from 𝑋 to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsubsticc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
itgsubsticc.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
itgsubsticc.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
itgsubsticc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
itgsubsticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
itgsubsticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
itgsubsticc.7	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgsubsticc.8	⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
itgsubsticc.9	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
itgsubsticc.10	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
itgsubsticc.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
itgsubsticc.12	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgsubsticc	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑥,𝐶   𝑢,𝐸   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝐿,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥   𝑢,𝑌,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐶(𝑢)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem itgsubsticc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿))))
3		itgsubsticc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		itgsubsticc.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itgsubsticc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6		itgsubsticc.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
7		itgsubsticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
8		itgsubsticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
9		itgsubsticc.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		itgsubsticc.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
11		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴))
12		itgsubsticc.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐴 = 𝐿)
14	3	rexrd 11013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
15	4	rexrd 11013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
16		ubicc2 13185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17	14, 15, 5, 16	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
18	11, 13, 17, 10	fvmptd 6875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) = 𝐿)
19		cncff 24044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
20	6, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
21	20, 17	ffvelrnd 6955	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) ∈ (𝐾[,]𝐿))
22	18, 21	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿))
23		elicc2 13132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
24	9, 10, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
25	22, 24	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿))
26	25	simp2d 1142	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐿)
27		itgsubsticc.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
28		itgsubsticc.8	. 2 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
29		itgsubsticc.9	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12	itgsubsticclem 43475	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886  ifcif 4460   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6423  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ℂcc 10857  ℝcr 10858   · cmul 10864  ℝ^*cxr 10996   < clt 10997   ≤ cle 10998  (,)cioo 13067  [,]cicc 13070  –cn→ccncf 24027  𝐿¹cibl 24769  ⨜cdit 24998   D cdv 25015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cc 10179  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4177  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-oadd 8289  df-omul 8290  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-dju 9647  df-card 9685  df-acn 9688  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-ioc 13072  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-mod 13578  df-seq 13710  df-exp 13771  df-hash 14033  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-limsup 15168  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cld 22158  df-ntr 22159  df-cls 22160  df-nei 22237  df-lp 22275  df-perf 22276  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-haus 22454  df-cmp 22526  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-fil 22985  df-fm 23077  df-flim 23078  df-flf 23079  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-cncf 24029  df-ovol 24616  df-vol 24617  df-mbf 24771  df-itg1 24772  df-itg2 24773  df-ibl 24774  df-itg 24775  df-0p 24822  df-ditg 24999  df-limc 25018  df-dv 25019

This theorem is referenced by:  itgiccshift  43480  itgperiod  43481  itgsbtaddcnst  43482