Theorem itgsubsticc 46660

Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 26187 is that here we consider the range of 𝐴(𝑥) to be in the closed interval (𝐾[,]𝐿). If 𝐴(𝑥) is a continuous, differentiable function from [𝑋, 𝑌] to (𝑍, 𝑊), whose derivative is continuous and integrable, and 𝐶(𝑢) is a continuous function on (𝑍, 𝑊), then the integral of 𝐶(𝑢) from 𝐾 = 𝐴(𝑋) to 𝐿 = 𝐴(𝑌) is equal to the integral of 𝐶(𝐴(𝑥)) D 𝐴(𝑥) from 𝑋 to 𝑌. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsubsticc.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
itgsubsticc.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
itgsubsticc.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
itgsubsticc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
itgsubsticc.5	⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
itgsubsticc.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
itgsubsticc.7	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
itgsubsticc.8	⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
itgsubsticc.9	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
itgsubsticc.10	⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
itgsubsticc.11	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
itgsubsticc.12	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itgsubsticc	⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴   𝑥,𝐶   𝑢,𝐸   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝐿,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥   𝑢,𝑌,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑢)   𝐶(𝑢)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem itgsubsticc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) = (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝑢), if(𝑢 < 𝐾, ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐾), ((𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶)‘𝐿))))
3		itgsubsticc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
4		itgsubsticc.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		itgsubsticc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
6		itgsubsticc.4	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)))
7		itgsubsticc.6	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵) ∈ (((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
8		itgsubsticc.5	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↦ 𝐶) ∈ ((𝐾[,]𝐿)–cn→ℂ))
9		itgsubsticc.11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
10		itgsubsticc.12	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
11		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴))
12		itgsubsticc.10	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝐴 = 𝐿)
13	12	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → 𝐴 = 𝐿)
14	3	rexrd 11258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
15	4	rexrd 11258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
16		ubicc2 13491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
17	14, 15, 5, 16	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
18	11, 13, 17, 10	fvmptd 6997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) = 𝐿)
19		cncff 25031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→(𝐾[,]𝐿)) → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
20	6, 19	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴):(𝑋[,]𝑌)⟶(𝐾[,]𝐿))
21	20, 17	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)‘𝑌) ∈ (𝐾[,]𝐿))
22	18, 21	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿))
23		elicc2 13437	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
24	9, 10, 23	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐾[,]𝐿) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿)))
25	22, 24	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝐿))
26	25	simp2d 1159	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐿)
27		itgsubsticc.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐵))
28		itgsubsticc.8	. 2 ⊢ (𝑢 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐸)
29		itgsubsticc.9	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐴 = 𝐾)
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12	itgsubsticclem 46659	1 ⊢ (𝜑 → ⨜[𝐾 → 𝐿]𝐶 d𝑢 = ⨜[𝑋 → 𝑌](𝐸 · 𝐵) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098   · cmul 11104  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  (,)cioo 13371  [,]cicc 13374  –cn→ccncf 25014  𝐿¹cibl 25755  ⨜cdit 25984   D cdv 26001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-cmp 23523  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-ovol 25602  df-vol 25603  df-mbf 25757  df-itg1 25758  df-itg2 25759  df-ibl 25760  df-itg 25761  df-0p 25808  df-ditg 25985  df-limc 26004  df-dv 26005

This theorem is referenced by:  itgiccshift  46664  itgperiod  46665  itgsbtaddcnst  46666