Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsubsticc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsubsticc 44307
Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 25436 is that here we consider the range of ๐ด(๐‘ฅ) to be in the closed interval (๐พ[,]๐ฟ). If ๐ด(๐‘ฅ) is a continuous, differentiable function from [๐‘‹, ๐‘Œ] to (๐‘, ๐‘Š), whose derivative is continuous and integrable, and ๐ถ(๐‘ข) is a continuous function on (๐‘, ๐‘Š), then the integral of ๐ถ(๐‘ข) from ๐พ = ๐ด(๐‘‹) to ๐ฟ = ๐ด(๐‘Œ) is equal to the integral of ๐ถ(๐ด(๐‘ฅ)) D ๐ด(๐‘ฅ) from ๐‘‹ to ๐‘Œ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubsticc.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
itgsubsticc.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
itgsubsticc.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
itgsubsticc.4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐พ[,]๐ฟ)))
itgsubsticc.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ((๐พ[,]๐ฟ)โ€“cnโ†’โ„‚))
itgsubsticc.6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
itgsubsticc.7 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต))
itgsubsticc.8 (๐‘ข = ๐ด โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
itgsubsticc.9 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = ๐พ)
itgsubsticc.10 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = ๐ฟ)
itgsubsticc.11 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
itgsubsticc.12 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
Assertion
Ref Expression
itgsubsticc (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ข,๐ด   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ข,๐ธ   ๐‘ข,๐พ,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐ฟ,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐‘‹,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ข)   ๐ถ(๐‘ข)   ๐ธ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgsubsticc
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ)
2 eqid 2733 . 2 (๐‘ข โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ), ((๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘ข), if(๐‘ข < ๐พ, ((๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐พ), ((๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐ฟ)))) = (๐‘ข โˆˆ โ„ โ†ฆ if(๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ), ((๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘ข), if(๐‘ข < ๐พ, ((๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐พ), ((๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐ฟ))))
3 itgsubsticc.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
4 itgsubsticc.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
5 itgsubsticc.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ)
6 itgsubsticc.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐พ[,]๐ฟ)))
7 itgsubsticc.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (((๐‘‹(,)๐‘Œ)โ€“cnโ†’โ„‚) โˆฉ ๐ฟ1))
8 itgsubsticc.5 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ((๐พ[,]๐ฟ)โ€“cnโ†’โ„‚))
9 itgsubsticc.11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
10 itgsubsticc.12 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„)
11 eqidd 2734 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด))
12 itgsubsticc.10 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Œ โ†’ ๐ด = ๐ฟ)
1312adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘Œ) โ†’ ๐ด = ๐ฟ)
143rexrd 11213 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„*)
154rexrd 11213 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„*)
16 ubicc2 13391 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„* โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐‘Œ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
1714, 15, 5, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ))
1811, 13, 17, 10fvmptd 6959 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘Œ) = ๐ฟ)
19 cncff 24279 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ((๐‘‹[,]๐‘Œ)โ€“cnโ†’(๐พ[,]๐ฟ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐พ[,]๐ฟ))
206, 19syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด):(๐‘‹[,]๐‘Œ)โŸถ(๐พ[,]๐ฟ))
2120, 17ffvelcdmd 7040 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)โ€˜๐‘Œ) โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ))
2218, 21eqeltrrd 2835 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ฟ โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ))
23 elicc2 13338 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐ฟ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ฟ โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†” (๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค ๐ฟ โˆง ๐ฟ โ‰ค ๐ฟ)))
249, 10, 23syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ (๐พ[,]๐ฟ) โ†” (๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค ๐ฟ โˆง ๐ฟ โ‰ค ๐ฟ)))
2522, 24mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ฟ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค ๐ฟ โˆง ๐ฟ โ‰ค ๐ฟ))
2625simp2d 1144 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โ‰ค ๐ฟ)
27 itgsubsticc.7 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹[,]๐‘Œ) โ†ฆ ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‹(,)๐‘Œ) โ†ฆ ๐ต))
28 itgsubsticc.8 . 2 (๐‘ข = ๐ด โ†’ ๐ถ = ๐ธ)
29 itgsubsticc.9 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ๐ด = ๐พ)
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12itgsubsticclem 44306 1 (๐œ‘ โ†’ โจœ[๐พ โ†’ ๐ฟ]๐ถ d๐‘ข = โจœ[๐‘‹ โ†’ ๐‘Œ](๐ธ ยท ๐ต) d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆฉ cin 3913  ifcif 4490   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058   ยท cmul 11064  โ„*cxr 11196   < clt 11197   โ‰ค cle 11198  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  โ€“cnโ†’ccncf 24262  ๐ฟ1cibl 25004  โจœcdit 25233   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057  df-ditg 25234  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  itgiccshift  44311  itgperiod  44312  itgsbtaddcnst  44313
  Copyright terms: Public domain W3C validator