![]() |
Mathbox for Glauco Siliprandi |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > itgsubsticc | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Integration by u-substitution. The main difference with respect to itgsubst 25436 is that here we consider the range of ๐ด(๐ฅ) to be in the closed interval (๐พ[,]๐ฟ). If ๐ด(๐ฅ) is a continuous, differentiable function from [๐, ๐] to (๐, ๐), whose derivative is continuous and integrable, and ๐ถ(๐ข) is a continuous function on (๐, ๐), then the integral of ๐ถ(๐ข) from ๐พ = ๐ด(๐) to ๐ฟ = ๐ด(๐) is equal to the integral of ๐ถ(๐ด(๐ฅ)) D ๐ด(๐ฅ) from ๐ to ๐. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
itgsubsticc.1 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
itgsubsticc.2 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
itgsubsticc.3 | โข (๐ โ ๐ โค ๐) |
itgsubsticc.4 | โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด) โ ((๐[,]๐)โcnโ(๐พ[,]๐ฟ))) |
itgsubsticc.5 | โข (๐ โ (๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ) โ ((๐พ[,]๐ฟ)โcnโโ)) |
itgsubsticc.6 | โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ต) โ (((๐(,)๐)โcnโโ) โฉ ๐ฟ1)) |
itgsubsticc.7 | โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)) = (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ต)) |
itgsubsticc.8 | โข (๐ข = ๐ด โ ๐ถ = ๐ธ) |
itgsubsticc.9 | โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐พ) |
itgsubsticc.10 | โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐ฟ) |
itgsubsticc.11 | โข (๐ โ ๐พ โ โ) |
itgsubsticc.12 | โข (๐ โ ๐ฟ โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
itgsubsticc | โข (๐ โ โจ[๐พ โ ๐ฟ]๐ถ d๐ข = โจ[๐ โ ๐](๐ธ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2733 | . 2 โข (๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ) = (๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ) | |
2 | eqid 2733 | . 2 โข (๐ข โ โ โฆ if(๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ), ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐ข), if(๐ข < ๐พ, ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐พ), ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐ฟ)))) = (๐ข โ โ โฆ if(๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ), ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐ข), if(๐ข < ๐พ, ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐พ), ((๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ)โ๐ฟ)))) | |
3 | itgsubsticc.1 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
4 | itgsubsticc.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
5 | itgsubsticc.3 | . 2 โข (๐ โ ๐ โค ๐) | |
6 | itgsubsticc.4 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด) โ ((๐[,]๐)โcnโ(๐พ[,]๐ฟ))) | |
7 | itgsubsticc.6 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ต) โ (((๐(,)๐)โcnโโ) โฉ ๐ฟ1)) | |
8 | itgsubsticc.5 | . 2 โข (๐ โ (๐ข โ (๐พ[,]๐ฟ) โฆ ๐ถ) โ ((๐พ[,]๐ฟ)โcnโโ)) | |
9 | itgsubsticc.11 | . 2 โข (๐ โ ๐พ โ โ) | |
10 | itgsubsticc.12 | . 2 โข (๐ โ ๐ฟ โ โ) | |
11 | eqidd 2734 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด) = (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)) | |
12 | itgsubsticc.10 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐ฟ) | |
13 | 12 | adantl 483 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ฅ = ๐) โ ๐ด = ๐ฟ) |
14 | 3 | rexrd 11213 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ*) |
15 | 4 | rexrd 11213 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ*) |
16 | ubicc2 13391 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ โ* โง ๐ โ โ* โง ๐ โค ๐) โ ๐ โ (๐[,]๐)) | |
17 | 14, 15, 5, 16 | syl3anc 1372 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (๐[,]๐)) |
18 | 11, 13, 17, 10 | fvmptd 6959 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)โ๐) = ๐ฟ) |
19 | cncff 24279 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด) โ ((๐[,]๐)โcnโ(๐พ[,]๐ฟ)) โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด):(๐[,]๐)โถ(๐พ[,]๐ฟ)) | |
20 | 6, 19 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด):(๐[,]๐)โถ(๐พ[,]๐ฟ)) |
21 | 20, 17 | ffvelcdmd 7040 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)โ๐) โ (๐พ[,]๐ฟ)) |
22 | 18, 21 | eqeltrrd 2835 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ฟ โ (๐พ[,]๐ฟ)) |
23 | elicc2 13338 | . . . . 5 โข ((๐พ โ โ โง ๐ฟ โ โ) โ (๐ฟ โ (๐พ[,]๐ฟ) โ (๐ฟ โ โ โง ๐พ โค ๐ฟ โง ๐ฟ โค ๐ฟ))) | |
24 | 9, 10, 23 | syl2anc 585 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ฟ โ (๐พ[,]๐ฟ) โ (๐ฟ โ โ โง ๐พ โค ๐ฟ โง ๐ฟ โค ๐ฟ))) |
25 | 22, 24 | mpbid 231 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฟ โ โ โง ๐พ โค ๐ฟ โง ๐ฟ โค ๐ฟ)) |
26 | 25 | simp2d 1144 | . 2 โข (๐ โ ๐พ โค ๐ฟ) |
27 | itgsubsticc.7 | . 2 โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ (๐[,]๐) โฆ ๐ด)) = (๐ฅ โ (๐(,)๐) โฆ ๐ต)) | |
28 | itgsubsticc.8 | . 2 โข (๐ข = ๐ด โ ๐ถ = ๐ธ) | |
29 | itgsubsticc.9 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ โ ๐ด = ๐พ) | |
30 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 26, 27, 28, 29, 12 | itgsubsticclem 44306 | 1 โข (๐ โ โจ[๐พ โ ๐ฟ]๐ถ d๐ข = โจ[๐ โ ๐](๐ธ ยท ๐ต) d๐ฅ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โฉ cin 3913 ifcif 4490 class class class wbr 5109 โฆ cmpt 5192 โถwf 6496 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โcc 11057 โcr 11058 ยท cmul 11064 โ*cxr 11196 < clt 11197 โค cle 11198 (,)cioo 13273 [,]cicc 13276 โcnโccncf 24262 ๐ฟ1cibl 25004 โจcdit 25233 D cdv 25250 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-inf2 9585 ax-cc 10379 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 ax-addf 11138 ax-mulf 11139 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-symdif 4206 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-iin 4961 df-disj 5075 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-ofr 7622 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-supp 8097 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-2o 8417 df-oadd 8420 df-omul 8421 df-er 8654 df-map 8773 df-pm 8774 df-ixp 8842 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-fsupp 9312 df-fi 9355 df-sup 9386 df-inf 9387 df-oi 9454 df-dju 9845 df-card 9883 df-acn 9886 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-z 12508 df-dec 12627 df-uz 12772 df-q 12882 df-rp 12924 df-xneg 13041 df-xadd 13042 df-xmul 13043 df-ioo 13277 df-ioc 13278 df-ico 13279 df-icc 13280 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-fl 13706 df-mod 13784 df-seq 13916 df-exp 13977 df-hash 14240 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-abs 15130 df-limsup 15362 df-clim 15379 df-rlim 15380 df-sum 15580 df-struct 17027 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-mulr 17155 df-starv 17156 df-sca 17157 df-vsca 17158 df-ip 17159 df-tset 17160 df-ple 17161 df-ds 17163 df-unif 17164 df-hom 17165 df-cco 17166 df-rest 17312 df-topn 17313 df-0g 17331 df-gsum 17332 df-topgen 17333 df-pt 17334 df-prds 17337 df-xrs 17392 df-qtop 17397 df-imas 17398 df-xps 17400 df-mre 17474 df-mrc 17475 df-acs 17477 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-submnd 18610 df-mulg 18881 df-cntz 19105 df-cmn 19572 df-psmet 20811 df-xmet 20812 df-met 20813 df-bl 20814 df-mopn 20815 df-fbas 20816 df-fg 20817 df-cnfld 20820 df-top 22266 df-topon 22283 df-topsp 22305 df-bases 22319 df-cld 22393 df-ntr 22394 df-cls 22395 df-nei 22472 df-lp 22510 df-perf 22511 df-cn 22601 df-cnp 22602 df-haus 22689 df-cmp 22761 df-tx 22936 df-hmeo 23129 df-fil 23220 df-fm 23312 df-flim 23313 df-flf 23314 df-xms 23696 df-ms 23697 df-tms 23698 df-cncf 24264 df-ovol 24851 df-vol 24852 df-mbf 25006 df-itg1 25007 df-itg2 25008 df-ibl 25009 df-itg 25010 df-0p 25057 df-ditg 25234 df-limc 25253 df-dv 25254 |
This theorem is referenced by: itgiccshift 44311 itgperiod 44312 itgsbtaddcnst 44313 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |