Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsin0pilem1 44965
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑡)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
2 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑥 → (cos‘𝑡) = (cos‘𝑥))
32negeqd 11459 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑥 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘𝑥))
43cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
51, 4eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
65oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 (ℝ D 𝐶) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)))
7 ax-resscn 11171 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9 0re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
10 pire 26205 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
11 iccssre 13411 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
129, 10, 11mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1412, 7sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615coscld 16079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1817negcld 11563 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
19 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2019tgioo2 24540 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21 iccntr 24558 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
229, 10, 21mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 25724 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))))
2524mptru 1547 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥)))
26 reelprrecn 11206 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 recn 11204 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2928coscld 16079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3130negcld 11563 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3228sincld 16078 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3432negcld 11563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
36 dvcosre 44927 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
3827, 30, 35, 37dvmptneg 25719 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
3932negnegd 11567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
4039mpteq2ia 5251 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥))
4138, 40eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
42 ioossre 13390 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℝ)
44 iooretop 24503 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 25716 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
4746mptru 1547 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
486, 25, 473eqtri 2763 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐶) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
4948fveq1i 6892 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥)
5042, 7sstri 3991 . . . . . . . . . 10 (0(,)π) ⊆ ℂ
5150sseli 3978 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
5251sincld 16078 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
53 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
5453fvmpt2 7009 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5552, 54mpdan 684 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5649, 55eqtrid 2783 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5756adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5857itgeq2dv 25532 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
5958mptru 1547 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
609a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → π ∈ ℝ)
62 pipos 26207 . . . . . . 7 0 < π
639, 10, 62ltleii 11342 . . . . . 6 0 ≤ π
6463a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ≤ π)
65 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥sin
66 sincn 26193 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6766a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6850a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
6965, 67, 68cncfmptss 44602 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
7048, 69eqeltrid 2836 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
71 ioossicc 13415 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
7271a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
73 ioombl 25315 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
7473a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ∈ dom vol)
7515sincld 16078 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7675adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℂ)
7865, 67, 77cncfmptss 44602 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
7978mptru 1547 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
80 cniccibl 25591 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
819, 10, 79, 80mp3an 1460 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8372, 74, 76, 82iblss 25555 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8448, 83eqeltrid 2836 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ 𝐿1)
8516negcld 11563 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
86 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
8786fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8815, 85, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8988eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
9089mpteq2ia 5251 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
91 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
92 coscn 26194 . . . . . . . . . . . 12 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9386negfcncf 24665 . . . . . . . . . . . 12 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9691, 95, 77cncfmptss 44602 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
9796mptru 1547 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
9890, 97eqeltri 2828 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
995, 98eqeltri 2828 . . . . . 6 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
10099a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 25797 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)))
102101mptru 1547 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
10359, 102eqtr3i 2761 . 2 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
104 0xr 11266 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
10510rexri 11277 . . . . 5 π ∈ ℝ*
106 ubicc2 13447 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
107104, 105, 63, 106mp3an 1460 . . . 4 π ∈ (0[,]π)
108 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = (cos‘π))
109 cospi 26219 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
110108, 109eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = -1)
111110negeqd 11459 . . . . . 6 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = --1)
112 ax-1cn 11172 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
113112a1i 11 . . . . . . 7 (𝑡 = π → 1 ∈ ℂ)
114113negnegd 11567 . . . . . 6 (𝑡 = π → --1 = 1)
115111, 114eqtrd 2771 . . . . 5 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = 1)
116 1ex 11215 . . . . 5 1 ∈ V
117115, 1, 116fvmpt 6998 . . . 4 (π ∈ (0[,]π) → (𝐶‘π) = 1)
118107, 117ax-mp 5 . . 3 (𝐶‘π) = 1
119 lbicc2 13446 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
120104, 105, 63, 119mp3an 1460 . . . . 5 0 ∈ (0[,]π)
121 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑡 = 0 → (cos‘𝑡) = (cos‘0))
122121negeqd 11459 . . . . . 6 (𝑡 = 0 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘0))
123 negex 11463 . . . . . 6 -(cos‘0) ∈ V
124122, 1, 123fvmpt 6998 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]π) → (𝐶‘0) = -(cos‘0))
125120, 124ax-mp 5 . . . 4 (𝐶‘0) = -(cos‘0)
126 cos0 16098 . . . . 5 (cos‘0) = 1
127126negeqi 11458 . . . 4 -(cos‘0) = -1
128125, 127eqtri 2759 . . 3 (𝐶‘0) = -1
129118, 128oveq12i 7424 . 2 ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)) = (1 − -1)
130112, 112subnegi 11544 . . 3 (1 − -1) = (1 + 1)
131 1p1e2 12342 . . 3 (1 + 1) = 2
132130, 131eqtri 2759 . 2 (1 − -1) = 2
133103, 129, 1323eqtri 2763 1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2105  wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11112  cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  *cxr 11252  cle 11254  cmin 11449  -cneg 11450  2c2 12272  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  sincsin 16012  cosccos 16013  πcpi 16015  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  fldccnfld 21145  intcnt 22742  cnccncf 24617  volcvol 25213  𝐿1cibl 25367  citg 25368   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  44967
  Copyright terms: Public domain W3C validator