Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsin0pilem1 41103
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑡)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
2 fveq2 6448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑥 → (cos‘𝑡) = (cos‘𝑥))
32negeqd 10618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑥 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘𝑥))
43cbvmptv 4987 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
51, 4eqtri 2802 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
65oveq2i 6935 . . . . . . . . 9 (ℝ D 𝐶) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)))
7 ax-resscn 10331 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9 0re 10380 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
10 pire 24652 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
11 iccssre 12571 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
129, 10, 11mp2an 682 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1412, 7sstri 3830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615coscld 15267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1716adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1817negcld 10723 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
19 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2019tgioo2 23018 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21 iccntr 23036 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
229, 10, 21mp2an 682 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 24175 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))))
2524mptru 1609 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥)))
26 reelprrecn 10366 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 recn 10364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2928coscld 15267 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3130negcld 10723 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3228sincld 15266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3332adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3432negcld 10723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3534adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
36 dvcosre 41064 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
3827, 30, 35, 37dvmptneg 24170 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
3932negnegd 10727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
4039mpteq2ia 4977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥))
4138, 40syl6eq 2830 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
42 ioossre 12551 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℝ)
44 iooretop 22981 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 24167 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
4746mptru 1609 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
486, 25, 473eqtri 2806 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐶) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
4948fveq1i 6449 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥)
5042, 7sstri 3830 . . . . . . . . . 10 (0(,)π) ⊆ ℂ
5150sseli 3817 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
5251sincld 15266 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
53 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
5453fvmpt2 6554 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5552, 54mpdan 677 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5649, 55syl5eq 2826 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5756adantl 475 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5857itgeq2dv 23989 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
5958mptru 1609 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
609a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → π ∈ ℝ)
62 pipos 24654 . . . . . . 7 0 < π
639, 10, 62ltleii 10501 . . . . . 6 0 ≤ π
6463a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ≤ π)
65 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑥sin
66 sincn 24639 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6766a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6850a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
6965, 67, 68cncfmptss 40737 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
7048, 69syl5eqel 2863 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
71 ioossicc 12575 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
7271a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
73 ioombl 23773 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
7473a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ∈ dom vol)
7515sincld 15266 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7675adantl 475 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℂ)
7865, 67, 77cncfmptss 40737 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
7978mptru 1609 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
80 cniccibl 24048 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
819, 10, 79, 80mp3an 1534 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8372, 74, 76, 82iblss 24012 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8448, 83syl5eqel 2863 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ 𝐿1)
8516negcld 10723 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
86 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
8786fvmpt2 6554 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8815, 85, 87syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8988eqcomd 2784 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
9089mpteq2ia 4977 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
91 nfmpt1 4984 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
92 coscn 24640 . . . . . . . . . . . 12 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9386negfcncf 23134 . . . . . . . . . . . 12 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9691, 95, 77cncfmptss 40737 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
9796mptru 1609 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
9890, 97eqeltri 2855 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
995, 98eqeltri 2855 . . . . . 6 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
10099a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 24248 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)))
102101mptru 1609 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
10359, 102eqtr3i 2804 . 2 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
104 0xr 10425 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
10510rexri 10437 . . . . 5 π ∈ ℝ*
106 ubicc2 12607 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
107104, 105, 63, 106mp3an 1534 . . . 4 π ∈ (0[,]π)
108 fveq2 6448 . . . . . . . 8 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = (cos‘π))
109 cospi 24666 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
110108, 109syl6eq 2830 . . . . . . 7 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = -1)
111110negeqd 10618 . . . . . 6 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = --1)
112 ax-1cn 10332 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
113112a1i 11 . . . . . . 7 (𝑡 = π → 1 ∈ ℂ)
114113negnegd 10727 . . . . . 6 (𝑡 = π → --1 = 1)
115111, 114eqtrd 2814 . . . . 5 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = 1)
116 1ex 10374 . . . . 5 1 ∈ V
117115, 1, 116fvmpt 6544 . . . 4 (π ∈ (0[,]π) → (𝐶‘π) = 1)
118107, 117ax-mp 5 . . 3 (𝐶‘π) = 1
119 lbicc2 12606 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
120104, 105, 63, 119mp3an 1534 . . . . 5 0 ∈ (0[,]π)
121 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑡 = 0 → (cos‘𝑡) = (cos‘0))
122121negeqd 10618 . . . . . 6 (𝑡 = 0 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘0))
123 negex 10622 . . . . . 6 -(cos‘0) ∈ V
124122, 1, 123fvmpt 6544 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]π) → (𝐶‘0) = -(cos‘0))
125120, 124ax-mp 5 . . . 4 (𝐶‘0) = -(cos‘0)
126 cos0 15286 . . . . 5 (cos‘0) = 1
127126negeqi 10617 . . . 4 -(cos‘0) = -1
128125, 127eqtri 2802 . . 3 (𝐶‘0) = -1
129118, 128oveq12i 6936 . 2 ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)) = (1 − -1)
130112, 112subnegi 10704 . . 3 (1 − -1) = (1 + 1)
131 1p1e2 11511 . . 3 (1 + 1) = 2
132130, 131eqtri 2802 . 2 (1 − -1) = 2
133103, 129, 1323eqtri 2806 1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1601  wtru 1602  wcel 2107  wss 3792  {cpr 4400   class class class wbr 4888  cmpt 4967  dom cdm 5357  ran crn 5358  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  cr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277  *cxr 10412  cle 10414  cmin 10608  -cneg 10609  2c2 11434  (,)cioo 12491  [,]cicc 12494  sincsin 15200  cosccos 15201  πcpi 15203  TopOpenctopn 16472  topGenctg 16488  fldccnfld 20146  intcnt 21233  cnccncf 23091  volcvol 23671  𝐿1cibl 23825  citg 23826   D cdv 24068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cc 9594  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-symdif 4067  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-disj 4857  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-ofr 7177  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-acn 9103  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-ioc 12496  df-ico 12497  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-fl 12916  df-mod 12992  df-seq 13124  df-exp 13183  df-fac 13383  df-bc 13412  df-hash 13440  df-shft 14218  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-limsup 14614  df-clim 14631  df-rlim 14632  df-sum 14829  df-ef 15204  df-sin 15206  df-cos 15207  df-pi 15209  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-fbas 20143  df-fg 20144  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-nei 21314  df-lp 21352  df-perf 21353  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-haus 21531  df-cmp 21603  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-fil 22062  df-fm 22154  df-flim 22155  df-flf 22156  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-cncf 23093  df-ovol 23672  df-vol 23673  df-mbf 23827  df-itg1 23828  df-itg2 23829  df-ibl 23830  df-itg 23831  df-0p 23878  df-limc 24071  df-dv 24072
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  41105
  Copyright terms: Public domain W3C validator