Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsin0pilem1 44966
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,Ο€) interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1 𝐢 = (𝑑 ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘‘))
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1 ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = 2
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑   π‘₯,𝐢
Allowed substitution hint:   𝐢(𝑑)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (𝑑 ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘‘))
2 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = π‘₯ β†’ (cosβ€˜π‘‘) = (cosβ€˜π‘₯))
32negeqd 11459 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = π‘₯ β†’ -(cosβ€˜π‘‘) = -(cosβ€˜π‘₯))
43cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘‘)) = (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯))
51, 4eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 𝐢 = (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯))
65oveq2i 7423 . . . . . . . . 9 (ℝ D 𝐢) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯)))
7 ax-resscn 11170 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
9 0re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
10 pire 26201 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ
11 iccssre 13411 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (0[,]Ο€) βŠ† ℝ)
129, 10, 11mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]Ο€) βŠ† ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (0[,]Ο€) βŠ† ℝ)
1412, 7sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]Ο€) βŠ† β„‚
1514sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1615coscld 16079 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
1817negcld 11563 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ -(cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
19 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2019tgioo2 24540 . . . . . . . . . . 11 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
21 iccntr 24558 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(0[,]Ο€)) = (0(,)Ο€))
229, 10, 21mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(0[,]Ο€)) = (0(,)Ο€)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(0[,]Ο€)) = (0(,)Ο€))
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 25721 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯))))
2524mptru 1547 . . . . . . . . 9 (ℝ D (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯))) = (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯)))
26 reelprrecn 11205 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
28 recn 11203 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2928coscld 16079 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3130negcld 11563 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -(cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3228sincld 16078 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3432negcld 11563 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -(sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
36 dvcosre 44928 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(sinβ€˜π‘₯))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(sinβ€˜π‘₯)))
3827, 30, 35, 37dvmptneg 25716 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ --(sinβ€˜π‘₯)))
3932negnegd 11567 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ --(sinβ€˜π‘₯) = (sinβ€˜π‘₯))
4039mpteq2ia 5252 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ --(sinβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜π‘₯))
4138, 40eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (sinβ€˜π‘₯)))
42 ioossre 13390 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)Ο€) βŠ† ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† ℝ)
44 iooretop 24503 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)Ο€) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 25713 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)))
4746mptru 1547 . . . . . . . . 9 (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯))
486, 25, 473eqtri 2763 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐢) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯))
4948fveq1i 6893 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯)
5042, 7sstri 3992 . . . . . . . . . 10 (0(,)Ο€) βŠ† β„‚
5150sseli 3979 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
5251sincld 16078 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
53 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯))
5453fvmpt2 7010 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ∧ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯) = (sinβ€˜π‘₯))
5552, 54mpdan 684 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯) = (sinβ€˜π‘₯))
5649, 55eqtrid 2783 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((ℝ D 𝐢)β€˜π‘₯) = (sinβ€˜π‘₯))
5756adantl 481 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((ℝ D 𝐢)β€˜π‘₯) = (sinβ€˜π‘₯))
5857itgeq2dv 25532 . . . 4 (⊀ β†’ ∫(0(,)Ο€)((ℝ D 𝐢)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
5958mptru 1547 . . 3 ∫(0(,)Ο€)((ℝ D 𝐢)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜π‘₯) dπ‘₯
609a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 0 ∈ ℝ)
6110a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
62 pipos 26203 . . . . . . 7 0 < Ο€
639, 10, 62ltleii 11342 . . . . . 6 0 ≀ Ο€
6463a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 0 ≀ Ο€)
65 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²π‘₯sin
66 sincn 26189 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
6766a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ sin ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
6850a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† β„‚)
6965, 67, 68cncfmptss 44603 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) ∈ ((0(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
7048, 69eqeltrid 2836 . . . . 5 (⊀ β†’ (ℝ D 𝐢) ∈ ((0(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
71 ioossicc 13415 . . . . . . . 8 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
7271a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€))
73 ioombl 25315 . . . . . . . 8 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
7473a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
7515sincld 16078 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7675adantl 481 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ (0[,]Ο€) βŠ† β„‚)
7865, 67, 77cncfmptss 44603 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
7978mptru 1547 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)
80 cniccibl 25591 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)) β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
819, 10, 79, 80mp3an 1460 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
8372, 74, 76, 82iblss 25555 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ (sinβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
8448, 83eqeltrid 2836 . . . . 5 (⊀ β†’ (ℝ D 𝐢) ∈ 𝐿1)
8516negcld 11563 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ -(cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
86 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))
8786fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ -(cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯) = -(cosβ€˜π‘₯))
8815, 85, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯) = -(cosβ€˜π‘₯))
8988eqcomd 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) β†’ -(cosβ€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯))
9089mpteq2ia 5252 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯))
91 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))
92 coscn 26190 . . . . . . . . . . . 12 cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
9386negfcncf 24665 . . . . . . . . . . . 12 (cos ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
9691, 95, 77cncfmptss 44603 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
9796mptru 1547 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ -(cosβ€˜π‘₯))β€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)
9890, 97eqeltri 2828 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,]Ο€) ↦ -(cosβ€˜π‘₯)) ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)
995, 98eqeltri 2828 . . . . . 6 𝐢 ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)
10099a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 𝐢 ∈ ((0[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 25794 . . . 4 (⊀ β†’ ∫(0(,)Ο€)((ℝ D 𝐢)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((πΆβ€˜Ο€) βˆ’ (πΆβ€˜0)))
102101mptru 1547 . . 3 ∫(0(,)Ο€)((ℝ D 𝐢)β€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((πΆβ€˜Ο€) βˆ’ (πΆβ€˜0))
10359, 102eqtr3i 2761 . 2 ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ((πΆβ€˜Ο€) βˆ’ (πΆβ€˜0))
104 0xr 11266 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
10510rexri 11277 . . . . 5 Ο€ ∈ ℝ*
106 ubicc2 13447 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ Ο€) β†’ Ο€ ∈ (0[,]Ο€))
107104, 105, 63, 106mp3an 1460 . . . 4 Ο€ ∈ (0[,]Ο€)
108 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑑 = Ο€ β†’ (cosβ€˜π‘‘) = (cosβ€˜Ο€))
109 cospi 26215 . . . . . . . 8 (cosβ€˜Ο€) = -1
110108, 109eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝑑 = Ο€ β†’ (cosβ€˜π‘‘) = -1)
111110negeqd 11459 . . . . . 6 (𝑑 = Ο€ β†’ -(cosβ€˜π‘‘) = --1)
112 ax-1cn 11171 . . . . . . . 8 1 ∈ β„‚
113112a1i 11 . . . . . . 7 (𝑑 = Ο€ β†’ 1 ∈ β„‚)
114113negnegd 11567 . . . . . 6 (𝑑 = Ο€ β†’ --1 = 1)
115111, 114eqtrd 2771 . . . . 5 (𝑑 = Ο€ β†’ -(cosβ€˜π‘‘) = 1)
116 1ex 11215 . . . . 5 1 ∈ V
117115, 1, 116fvmpt 6999 . . . 4 (Ο€ ∈ (0[,]Ο€) β†’ (πΆβ€˜Ο€) = 1)
118107, 117ax-mp 5 . . 3 (πΆβ€˜Ο€) = 1
119 lbicc2 13446 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ Ο€) β†’ 0 ∈ (0[,]Ο€))
120104, 105, 63, 119mp3an 1460 . . . . 5 0 ∈ (0[,]Ο€)
121 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑑 = 0 β†’ (cosβ€˜π‘‘) = (cosβ€˜0))
122121negeqd 11459 . . . . . 6 (𝑑 = 0 β†’ -(cosβ€˜π‘‘) = -(cosβ€˜0))
123 negex 11463 . . . . . 6 -(cosβ€˜0) ∈ V
124122, 1, 123fvmpt 6999 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]Ο€) β†’ (πΆβ€˜0) = -(cosβ€˜0))
125120, 124ax-mp 5 . . . 4 (πΆβ€˜0) = -(cosβ€˜0)
126 cos0 16098 . . . . 5 (cosβ€˜0) = 1
127126negeqi 11458 . . . 4 -(cosβ€˜0) = -1
128125, 127eqtri 2759 . . 3 (πΆβ€˜0) = -1
129118, 128oveq12i 7424 . 2 ((πΆβ€˜Ο€) βˆ’ (πΆβ€˜0)) = (1 βˆ’ -1)
130112, 112subnegi 11544 . . 3 (1 βˆ’ -1) = (1 + 1)
131 1p1e2 12342 . . 3 (1 + 1) = 2
132130, 131eqtri 2759 . 2 (1 βˆ’ -1) = 2
133103, 129, 1323eqtri 2763 1 ∫(0(,)Ο€)(sinβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  2c2 12272  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  sincsin 16012  cosccos 16013  Ο€cpi 16015  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  intcnt 22742  β€“cnβ†’ccncf 24617  volcvol 25213  πΏ1cibl 25367  βˆ«citg 25368   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  44968
  Copyright terms: Public domain W3C validator