Theorem usgrexmpl2 47844

Description: 𝐺 is a simple graph of six vertices 0, 1, 2, 3, 4, 5, with edges {0, 1}, {1, 2}, {2, 3}, {0, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {0, 5}. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2	⊢ 𝐺 ∈ USGraph

Proof of Theorem usgrexmpl2

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (0...5)
2		usgrexmpl2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
3	1, 2	usgrexmpl2lem 47843	. 2 ⊢ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
4		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
5	4	eleq1i 2835	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ ⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph)
6	1	ovexi 7484	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
7		s7cli 14936	. . . . 5 ⊢ ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ ∈ Word V
8	2, 7	eqeltri 2840	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ Word V
9		isusgrop 29199	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ Word V) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}))
10	6, 8, 9	mp2an 691	. . 3 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
11	5, 10	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
12	3, 11	mpbir 231	1 ⊢ 𝐺 ∈ USGraph

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ⟨cop 4654  dom cdm 5700  –1-1→wf1 6572  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  0cc0 11186  1c1 11187  2c2 12350  3c3 12351  4c4 12352  5c5 12353  ...cfz 13569  ♯chash 14381  Word cword 14564  ⟨“cs7 14897  USGraphcusgr 29186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-oadd 8528  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-dju 9972  df-card 10010  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-n0 12556  df-xnn0 12628  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-fzo 13714  df-hash 14382  df-word 14565  df-concat 14621  df-s1 14646  df-s2 14899  df-s3 14900  df-s4 14901  df-s5 14902  df-s6 14903  df-s7 14904  df-vtx 29035  df-iedg 29036  df-usgr 29188

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2nblem  47847  usgrexmpl2trifr  47854  usgrexmpl12ngric  47855  usgrexmpl12ngrlic  47856