Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrexmpl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmpl2lem 47761
Description: Lemma for usgrexmpl2 47762. (Contributed by AV, 3-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrexmpl2.v 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
Assertion
Ref Expression
usgrexmpl2lem 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
Distinct variable group:   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑒)

Proof of Theorem usgrexmpl2lem
StepHypRef Expression
1 prex 5455 . . . . 5 {0, 1} ∈ V
2 prex 5455 . . . . 5 {1, 2} ∈ V
3 prex 5455 . . . . 5 {2, 3} ∈ V
41, 2, 33pm3.2i 1339 . . . 4 ({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V)
5 prex 5455 . . . 4 {3, 4} ∈ V
6 prex 5455 . . . . 5 {4, 5} ∈ V
7 prex 5455 . . . . 5 {0, 3} ∈ V
8 prex 5455 . . . . 5 {0, 5} ∈ V
96, 7, 83pm3.2i 1339 . . . 4 ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V)
104, 5, 93pm3.2i 1339 . . 3 (({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V) ∧ {3, 4} ∈ V ∧ ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V))
11 0nn0 12564 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
12 1nn0 12565 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
1311, 12pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0)
14 2nn0 12566 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
1512, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)
1613, 15pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0))
17 0ne1 12360 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 1
18 0ne2 12496 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
1917, 18pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
2019orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2))
21 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (1 ≠ 1 ∧ 1 ≠ 2)) → {0, 1} ≠ {1, 2}))
2216, 20, 21mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {1, 2}
23 3nn0 12567 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
2414, 23pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)
2513, 24pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
26 0re 11288 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
27 3pos 12394 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
2826, 27ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 3
2918, 28pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3)
3029orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3))
31 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {2, 3}))
3225, 30, 31mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {2, 3}
33 4nn0 12568 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ0
3423, 33pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)
3513, 34pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
36 4pos 12396 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
3726, 36ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 4
3828, 37pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4)
3938orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4))
40 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)) → {0, 1} ≠ {3, 4}))
4135, 39, 40mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {3, 4}
4222, 32, 413pm3.2i 1339 . . . . . 6 ({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4})
43 5nn0 12569 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
4433, 43pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
4513, 44pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
46 5pos 12398 . . . . . . . . . . 11 0 < 5
4726, 46ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 5
4837, 47pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5)
4948orci 864 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5))
50 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)) → {0, 1} ≠ {4, 5}))
5145, 49, 50mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {4, 5}
5211, 23pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)
5313, 52pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
54 ax-1ne0 11249 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
55 1re 11286 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
56 1lt3 12462 . . . . . . . . . . 11 1 < 3
5755, 56ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 3
5854, 57pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
5958olci 865 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3))
60 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)) → {0, 1} ≠ {0, 3}))
6153, 59, 60mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {0, 3}
6211, 43pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
6313, 62pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
64 1lt5 12469 . . . . . . . . . . 11 1 < 5
6555, 64ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 5
6654, 65pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5)
6766olci 865 . . . . . . . 8 ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5))
68 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5)) → {0, 1} ≠ {0, 5}))
6963, 67, 68mp2 9 . . . . . . 7 {0, 1} ≠ {0, 5}
7051, 61, 693pm3.2i 1339 . . . . . 6 ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})
7142, 70pm3.2i 470 . . . . 5 (({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5}))
7215, 24pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
73 1ne2 12497 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 2
7473, 57pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3)
7574orci 864 . . . . . . . 8 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3))
76 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {2, 3}))
7772, 75, 76mp2 9 . . . . . . 7 {1, 2} ≠ {2, 3}
7815, 34pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
79 1lt4 12465 . . . . . . . . . . 11 1 < 4
8055, 79ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 4
8157, 80pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)
8281orci 864 . . . . . . . 8 ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4))
83 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)) → {1, 2} ≠ {3, 4}))
8478, 82, 83mp2 9 . . . . . . 7 {1, 2} ≠ {3, 4}
8577, 84pm3.2i 470 . . . . . 6 ({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4})
8615, 44pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
8780, 65pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)
8887orci 864 . . . . . . . 8 ((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5))
89 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)) → {1, 2} ≠ {4, 5}))
9086, 88, 89mp2 9 . . . . . . 7 {1, 2} ≠ {4, 5}
9115, 52pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
9258orci 864 . . . . . . . 8 ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3))
93 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)) → {1, 2} ≠ {0, 3}))
9491, 92, 93mp2 9 . . . . . . 7 {1, 2} ≠ {0, 3}
9515, 62pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
9666orci 864 . . . . . . . 8 ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5))
97 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5)) → {1, 2} ≠ {0, 5}))
9895, 96, 97mp2 9 . . . . . . 7 {1, 2} ≠ {0, 5}
9990, 94, 983pm3.2i 1339 . . . . . 6 ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})
10085, 99pm3.2i 470 . . . . 5 (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5}))
10124, 34pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0))
102 2re 12363 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
103 2lt3 12461 . . . . . . . . . 10 2 < 3
104102, 103ltneii 11399 . . . . . . . . 9 2 ≠ 3
105 2lt4 12464 . . . . . . . . . 10 2 < 4
106102, 105ltneii 11399 . . . . . . . . 9 2 ≠ 4
107104, 106pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)
108107orci 864 . . . . . . 7 ((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 4))
109 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (3 ≠ 3 ∧ 3 ≠ 4)) → {2, 3} ≠ {3, 4}))
110101, 108, 109mp2 9 . . . . . 6 {2, 3} ≠ {3, 4}
11124, 44pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
112 2lt5 12468 . . . . . . . . . . 11 2 < 5
113102, 112ltneii 11399 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 5
114106, 113pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)
115114orci 864 . . . . . . . 8 ((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5))
116 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5)) → {2, 3} ≠ {4, 5}))
117111, 115, 116mp2 9 . . . . . . 7 {2, 3} ≠ {4, 5}
11824, 52pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
119 2ne0 12393 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
120119, 104pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
121120orci 864 . . . . . . . 8 ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 3))
122 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 3)) → {2, 3} ≠ {0, 3}))
123118, 121, 122mp2 9 . . . . . . 7 {2, 3} ≠ {0, 3}
12424, 62pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
125119, 113pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5)
126125orci 864 . . . . . . . 8 ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 5))
127 prneimg 4879 . . . . . . . 8 (((2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 5)) → {2, 3} ≠ {0, 5}))
128124, 126, 127mp2 9 . . . . . . 7 {2, 3} ≠ {0, 5}
129117, 123, 1283pm3.2i 1339 . . . . . 6 ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5})
130110, 129pm3.2i 470 . . . . 5 ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))
13171, 100, 1303pm3.2i 1339 . . . 4 ((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5})))
13234, 44pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
133 3re 12369 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
134 3lt4 12463 . . . . . . . . . 10 3 < 4
135133, 134ltneii 11399 . . . . . . . . 9 3 ≠ 4
136 3lt5 12467 . . . . . . . . . 10 3 < 5
137133, 136ltneii 11399 . . . . . . . . 9 3 ≠ 5
138135, 137pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5)
139138orci 864 . . . . . . 7 ((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 4 ∧ 4 ≠ 5))
140 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 4 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 4 ∧ 4 ≠ 5)) → {3, 4} ≠ {4, 5}))
141132, 139, 140mp2 9 . . . . . 6 {3, 4} ≠ {4, 5}
14234, 52pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
143 4ne0 12397 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
144135necomi 2997 . . . . . . . . 9 4 ≠ 3
145143, 144pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3)
146145olci 865 . . . . . . 7 ((3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 3) ∨ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3))
147 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 3) ∨ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3)) → {3, 4} ≠ {0, 3}))
148142, 146, 147mp2 9 . . . . . 6 {3, 4} ≠ {0, 3}
14934, 62pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
150 3ne0 12395 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
151150, 137pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 5)
152151orci 864 . . . . . . 7 ((3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5))
153 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 5) ∨ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5)) → {3, 4} ≠ {0, 5}))
154149, 152, 153mp2 9 . . . . . 6 {3, 4} ≠ {0, 5}
155141, 148, 1543pm3.2i 1339 . . . . 5 ({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5})
15644, 52pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0))
157145orci 864 . . . . . . 7 ((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3))
158 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0)) → (((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3)) → {4, 5} ≠ {0, 3}))
159156, 157, 158mp2 9 . . . . . 6 {4, 5} ≠ {0, 3}
16044, 62pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
161 4re 12373 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
162 4lt5 12466 . . . . . . . . . 10 4 < 5
163161, 162ltneii 11399 . . . . . . . . 9 4 ≠ 5
164143, 163pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5)
165164orci 864 . . . . . . 7 ((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5) ∨ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 5))
166 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5) ∨ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 5)) → {4, 5} ≠ {0, 5}))
167160, 165, 166mp2 9 . . . . . 6 {4, 5} ≠ {0, 5}
16852, 62pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
169151olci 865 . . . . . . 7 ((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 5))
170 prneimg 4879 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0) ∧ (0 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 0 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (3 ≠ 0 ∧ 3 ≠ 5)) → {0, 3} ≠ {0, 5}))
171168, 169, 170mp2 9 . . . . . 6 {0, 3} ≠ {0, 5}
172159, 167, 1713pm3.2i 1339 . . . . 5 ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5})
173155, 172pm3.2i 470 . . . 4 (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5}))
174131, 173pm3.2i 470 . . 3 (((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))) ∧ (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5})))
17510, 174pm3.2i 470 . 2 ((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V) ∧ {3, 4} ∈ V ∧ ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))) ∧ (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5}))))
176 usgrexmpl2.e . 2 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
177 s7f1o 15011 . . . . . . 7 (((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V) ∧ {3, 4} ∈ V ∧ ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))) ∧ (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5})))) → (𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ → 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})))
178177imp 406 . . . . . 6 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V) ∧ {3, 4} ∈ V ∧ ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))) ∧ (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩) → 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
179 s7len 14947 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩) = 7
180179oveq2i 7456 . . . . . . 7 (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩)) = (0..^7)
181 f1oeq2 6850 . . . . . . 7 ((0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩)) = (0..^7) → (𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})))
182180, 181ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^7)–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
183178, 182sylibr 234 . . . . 5 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V) ∧ {3, 4} ∈ V ∧ ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))) ∧ (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩) → 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
184176dmeqi 5928 . . . . . . 7 dom 𝐸 = dom ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
185 s7cli 14930 . . . . . . . 8 ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ ∈ Word V
186 wrddm 14565 . . . . . . . 8 (⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ ∈ Word V → dom ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩)))
187185, 186ax-mp 5 . . . . . . 7 dom ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩ = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩))
188184, 187eqtri 2762 . . . . . 6 dom 𝐸 = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩))
189 f1oeq2 6850 . . . . . 6 (dom 𝐸 = (0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩)) → (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})))
190188, 189ax-mp 5 . . . . 5 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ↔ 𝐸:(0..^(♯‘⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩))–1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
191183, 190sylibr 234 . . . 4 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V) ∧ {3, 4} ∈ V ∧ ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))) ∧ (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
192 f1of1 6860 . . . 4 (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
193191, 192syl 17 . . 3 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V) ∧ {3, 4} ∈ V ∧ ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))) ∧ (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸1-1→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}))
194 0elfz 13677 . . . . . . . . . . 11 (5 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...5))
19543, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0...5)
196 5re 12376 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℝ
19755, 196, 64ltleii 11409 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 5
198 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (0...5) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 5))
19912, 43, 197, 198mpbir3an 1341 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0...5)
200 prssi 4846 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0...5) ∧ 1 ∈ (0...5)) → {0, 1} ⊆ (0...5))
201195, 199, 200mp2an 691 . . . . . . . . 9 {0, 1} ⊆ (0...5)
202102, 196, 112ltleii 11409 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 5
203 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ (0...5) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 5))
20414, 43, 202, 203mpbir3an 1341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0...5)
205 prssi 4846 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ (0...5) ∧ 2 ∈ (0...5)) → {1, 2} ⊆ (0...5))
206199, 204, 205mp2an 691 . . . . . . . . 9 {1, 2} ⊆ (0...5)
207133, 196, 136ltleii 11409 . . . . . . . . . . 11 3 ≤ 5
208 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ (0...5) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 5))
20923, 43, 207, 208mpbir3an 1341 . . . . . . . . . 10 3 ∈ (0...5)
210 prssi 4846 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (0...5) ∧ 3 ∈ (0...5)) → {2, 3} ⊆ (0...5))
211204, 209, 210mp2an 691 . . . . . . . . 9 {2, 3} ⊆ (0...5)
212 sseq1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {0, 1} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 1} ⊆ (0...5)))
213 sseq1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {1, 2} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {1, 2} ⊆ (0...5)))
214 sseq1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {2, 3} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {2, 3} ⊆ (0...5)))
2151, 2, 3, 212, 213, 214raltp 4730 . . . . . . . . 9 (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({0, 1} ⊆ (0...5) ∧ {1, 2} ⊆ (0...5) ∧ {2, 3} ⊆ (0...5)))
216201, 206, 211, 215mpbir3an 1341 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}𝑒 ⊆ (0...5)
217161, 196, 162ltleii 11409 . . . . . . . . . . 11 4 ≤ 5
218 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ (0...5) ↔ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 4 ≤ 5))
21933, 43, 217, 218mpbir3an 1341 . . . . . . . . . 10 4 ∈ (0...5)
220 prssi 4846 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ (0...5) ∧ 4 ∈ (0...5)) → {3, 4} ⊆ (0...5))
221209, 219, 220mp2an 691 . . . . . . . . 9 {3, 4} ⊆ (0...5)
222 sseq1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = {3, 4} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {3, 4} ⊆ (0...5)))
2235, 222ralsn 4705 . . . . . . . . 9 (∀𝑒 ∈ {{3, 4}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {3, 4} ⊆ (0...5))
224221, 223mpbir 231 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ {{3, 4}}𝑒 ⊆ (0...5)
225 ralunb 4214 . . . . . . . 8 (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}})𝑒 ⊆ (0...5) ↔ (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}}𝑒 ⊆ (0...5) ∧ ∀𝑒 ∈ {{3, 4}}𝑒 ⊆ (0...5)))
226216, 224, 225mpbir2an 710 . . . . . . 7 𝑒 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}})𝑒 ⊆ (0...5)
227196leidi 11820 . . . . . . . . . 10 5 ≤ 5
228 elfz2nn0 13671 . . . . . . . . . 10 (5 ∈ (0...5) ↔ (5 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0 ∧ 5 ≤ 5))
22943, 43, 227, 228mpbir3an 1341 . . . . . . . . 9 5 ∈ (0...5)
230 prssi 4846 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ (0...5) ∧ 5 ∈ (0...5)) → {4, 5} ⊆ (0...5))
231219, 229, 230mp2an 691 . . . . . . . 8 {4, 5} ⊆ (0...5)
232 prssi 4846 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0...5) ∧ 3 ∈ (0...5)) → {0, 3} ⊆ (0...5))
233195, 209, 232mp2an 691 . . . . . . . 8 {0, 3} ⊆ (0...5)
234 prssi 4846 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ (0...5) ∧ 5 ∈ (0...5)) → {0, 5} ⊆ (0...5))
235195, 229, 234mp2an 691 . . . . . . . 8 {0, 5} ⊆ (0...5)
236 sseq1 4028 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {4, 5} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {4, 5} ⊆ (0...5)))
237 sseq1 4028 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {0, 3} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 3} ⊆ (0...5)))
238 sseq1 4028 . . . . . . . . 9 (𝑒 = {0, 5} → (𝑒 ⊆ (0...5) ↔ {0, 5} ⊆ (0...5)))
2396, 7, 8, 236, 237, 238raltp 4730 . . . . . . . 8 (∀𝑒 ∈ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}𝑒 ⊆ (0...5) ↔ ({4, 5} ⊆ (0...5) ∧ {0, 3} ⊆ (0...5) ∧ {0, 5} ⊆ (0...5)))
240231, 233, 235, 239mpbir3an 1341 . . . . . . 7 𝑒 ∈ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}𝑒 ⊆ (0...5)
241 ralunb 4214 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})𝑒 ⊆ (0...5) ↔ (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}})𝑒 ⊆ (0...5) ∧ ∀𝑒 ∈ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}𝑒 ⊆ (0...5)))
242226, 240, 241mpbir2an 710 . . . . . 6 𝑒 ∈ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})𝑒 ⊆ (0...5)
243 pwssb 5127 . . . . . 6 ((({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ⊆ 𝒫 (0...5) ↔ ∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})𝑒 ⊆ (0...5))
244242, 243mpbir 231 . . . . 5 (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ⊆ 𝒫 (0...5)
245 usgrexmpl2.v . . . . . 6 𝑉 = (0...5)
246245pweqi 4638 . . . . 5 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...5)
247244, 246sseqtrri 4040 . . . 4 (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ⊆ 𝒫 𝑉
248 prhash2ex 14444 . . . . . . 7 (♯‘{0, 1}) = 2
249 1ex 11282 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
250 2ex 12366 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
251249, 250, 733pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
252 hashprb 14442 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) ↔ (♯‘{1, 2}) = 2)
253251, 252mpbi 230 . . . . . . 7 (♯‘{1, 2}) = 2
254 3ex 12371 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
255250, 254, 1043pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V ∧ 2 ≠ 3)
256 hashprb 14442 . . . . . . . 8 ((2 ∈ V ∧ 3 ∈ V ∧ 2 ≠ 3) ↔ (♯‘{2, 3}) = 2)
257255, 256mpbi 230 . . . . . . 7 (♯‘{2, 3}) = 2
258 fveqeq2 6928 . . . . . . . 8 (𝑒 = {0, 1} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 1}) = 2))
259 fveqeq2 6928 . . . . . . . 8 (𝑒 = {1, 2} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{1, 2}) = 2))
260 fveqeq2 6928 . . . . . . . 8 (𝑒 = {2, 3} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{2, 3}) = 2))
2611, 2, 3, 258, 259, 260raltp 4730 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ (♯‘{1, 2}) = 2 ∧ (♯‘{2, 3}) = 2))
262248, 253, 257, 261mpbir3an 1341 . . . . . 6 𝑒 ∈ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} (♯‘𝑒) = 2
26333elexi 3506 . . . . . . . . 9 4 ∈ V
264254, 263, 1353pm3.2i 1339 . . . . . . . 8 (3 ∈ V ∧ 4 ∈ V ∧ 3 ≠ 4)
265 hashprb 14442 . . . . . . . 8 ((3 ∈ V ∧ 4 ∈ V ∧ 3 ≠ 4) ↔ (♯‘{3, 4}) = 2)
266264, 265mpbi 230 . . . . . . 7 (♯‘{3, 4}) = 2
267 fveqeq2 6928 . . . . . . . 8 (𝑒 = {3, 4} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{3, 4}) = 2))
2685, 267ralsn 4705 . . . . . . 7 (∀𝑒 ∈ {{3, 4}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{3, 4}) = 2)
269266, 268mpbir 231 . . . . . 6 𝑒 ∈ {{3, 4}} (♯‘𝑒) = 2
270 ralunb 4214 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}})(♯‘𝑒) = 2 ↔ (∀𝑒 ∈ {{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} (♯‘𝑒) = 2 ∧ ∀𝑒 ∈ {{3, 4}} (♯‘𝑒) = 2))
271262, 269, 270mpbir2an 710 . . . . 5 𝑒 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}})(♯‘𝑒) = 2
27243elexi 3506 . . . . . . . 8 5 ∈ V
273263, 272, 1633pm3.2i 1339 . . . . . . 7 (4 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 4 ≠ 5)
274 hashprb 14442 . . . . . . 7 ((4 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 4 ≠ 5) ↔ (♯‘{4, 5}) = 2)
275273, 274mpbi 230 . . . . . 6 (♯‘{4, 5}) = 2
276 c0ex 11280 . . . . . . . 8 0 ∈ V
277276, 254, 283pm3.2i 1339 . . . . . . 7 (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V ∧ 0 ≠ 3)
278 hashprb 14442 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 3 ∈ V ∧ 0 ≠ 3) ↔ (♯‘{0, 3}) = 2)
279277, 278mpbi 230 . . . . . 6 (♯‘{0, 3}) = 2
280276, 272, 473pm3.2i 1339 . . . . . . 7 (0 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 0 ≠ 5)
281 hashprb 14442 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 5 ∈ V ∧ 0 ≠ 5) ↔ (♯‘{0, 5}) = 2)
282280, 281mpbi 230 . . . . . 6 (♯‘{0, 5}) = 2
283 fveqeq2 6928 . . . . . . 7 (𝑒 = {4, 5} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{4, 5}) = 2))
284 fveqeq2 6928 . . . . . . 7 (𝑒 = {0, 3} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 3}) = 2))
285 fveqeq2 6928 . . . . . . 7 (𝑒 = {0, 5} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{0, 5}) = 2))
2866, 7, 8, 283, 284, 285raltp 4730 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} (♯‘𝑒) = 2 ↔ ((♯‘{4, 5}) = 2 ∧ (♯‘{0, 3}) = 2 ∧ (♯‘{0, 5}) = 2))
287275, 279, 282, 286mpbir3an 1341 . . . . 5 𝑒 ∈ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} (♯‘𝑒) = 2
288 ralunb 4214 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})(♯‘𝑒) = 2 ↔ (∀𝑒 ∈ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}})(♯‘𝑒) = 2 ∧ ∀𝑒 ∈ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}} (♯‘𝑒) = 2))
289271, 287, 288mpbir2an 710 . . . 4 𝑒 ∈ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})(♯‘𝑒) = 2
290 ssrab 4090 . . . 4 ((({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2} ↔ ((({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ⊆ 𝒫 𝑉 ∧ ∀𝑒 ∈ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}})(♯‘𝑒) = 2))
291247, 289, 290mpbir2an 710 . . 3 (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
292 f1ss 6821 . . 3 ((𝐸:dom 𝐸1-1→(({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ∧ (({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}}) ∪ {{4, 5}, {0, 3}, {0, 5}}) ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}) → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
293193, 291, 292sylancl 585 . 2 ((((({0, 1} ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V ∧ {2, 3} ∈ V) ∧ {3, 4} ∈ V ∧ ({4, 5} ∈ V ∧ {0, 3} ∈ V ∧ {0, 5} ∈ V)) ∧ (((({0, 1} ≠ {1, 2} ∧ {0, 1} ≠ {2, 3} ∧ {0, 1} ≠ {3, 4}) ∧ ({0, 1} ≠ {4, 5} ∧ {0, 1} ≠ {0, 3} ∧ {0, 1} ≠ {0, 5})) ∧ (({1, 2} ≠ {2, 3} ∧ {1, 2} ≠ {3, 4}) ∧ ({1, 2} ≠ {4, 5} ∧ {1, 2} ≠ {0, 3} ∧ {1, 2} ≠ {0, 5})) ∧ ({2, 3} ≠ {3, 4} ∧ ({2, 3} ≠ {4, 5} ∧ {2, 3} ≠ {0, 3} ∧ {2, 3} ≠ {0, 5}))) ∧ (({3, 4} ≠ {4, 5} ∧ {3, 4} ≠ {0, 3} ∧ {3, 4} ≠ {0, 5}) ∧ ({4, 5} ≠ {0, 3} ∧ {4, 5} ≠ {0, 5} ∧ {0, 3} ≠ {0, 5})))) ∧ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩) → 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2})
294175, 176, 293mp2an 691 1 𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑒) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  wral 3063  {crab 3438  Vcvv 3482  cun 3968  wss 3970  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652   class class class wbr 5169  dom cdm 5699  1-1wf1 6569  1-1-ontowf1o 6571  cfv 6572  (class class class)co 7445  0cc0 11180  1c1 11181  cle 11321  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  7c7 12349  0cn0 12549  ...cfz 13563  ..^cfzo 13707  chash 14375  Word cword 14558  ⟨“cs7 14891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-s4 14895  df-s5 14896  df-s6 14897  df-s7 14898
This theorem is referenced by:  usgrexmpl2  47762
  Copyright terms: Public domain W3C validator