Theorem mblsplit 25672

Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblsplit	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))

Proof of Theorem mblsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11192	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	elpw2 5306	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ)
3		ismbl 25666	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
4		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘𝑥) = (vol*‘𝐵))
5	4	eleq1d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
6		ineq1 4167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
7	6	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)))
8		difeq1 4075	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ 𝐴))
9	8	fveq2d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) = (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
10	7, 9	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
11	4, 10	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ↔ (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)))))
12	5, 11	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))) ↔ ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
13	12	rspccv 3579	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))) → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
14	3, 13	simplbiim 513	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
15	2, 14	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ⊆ ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
16	15	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℝcr 11100   + caddc 11104  vol*covol 25602  volcvol 25603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-ovol 25604  df-vol 25605

This theorem is referenced by:  cmmbl  25674  nulmbl2  25676  unmbl  25677  shftmbl  25678  volun  25685  voliunlem1  25690  uniioombllem4  25726  uniioombllem5  25727  mblfinlem3  38291  mblfinlem4  38292