MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblsplit 24919
Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblsplit ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))

Proof of Theorem mblsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11150 . . . 4 ℝ ∈ V
21elpw2 5306 . . 3 (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ)
3 ismbl 24913 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
4 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘𝑥) = (vol*‘𝐵))
54eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
6 ineq1 4169 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
76fveq2d 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥𝐴)) = (vol*‘(𝐵𝐴)))
8 difeq1 4079 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
98fveq2d 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥𝐴)) = (vol*‘(𝐵𝐴)))
107, 9oveq12d 7379 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))
114, 10eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) ↔ (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴)))))
125, 11imbi12d 345 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))) ↔ ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
1312rspccv 3580 . . . 4 (∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))) → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
143, 13simplbiim 506 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
152, 14biimtrrid 242 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ⊆ ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
16153imp 1112 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  cdif 3911  cin 3913  wss 3914  𝒫 cpw 4564  dom cdm 5637  cfv 6500  (class class class)co 7361  cr 11058   + caddc 11062  vol*covol 24849  volcvol 24850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  cmmbl  24921  nulmbl2  24923  unmbl  24924  shftmbl  24925  volun  24932  voliunlem1  24937  uniioombllem4  24973  uniioombllem5  24974  mblfinlem3  36167  mblfinlem4  36168
  Copyright terms: Public domain W3C validator