Theorem mblsplit 25728

Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblsplit	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))

Proof of Theorem mblsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11209	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	elpw2 5310	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ)
3		ismbl 25722	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
4		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘𝑥) = (vol*‘𝐵))
5	4	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
6		ineq1 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
7	6	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)))
8		difeq1 4077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ 𝐴))
9	8	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) = (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
10	7, 9	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
11	4, 10	eqeq12d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ↔ (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)))))
12	5, 11	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))) ↔ ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
13	12	rspccv 3581	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))) → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
14	3, 13	simplbiim 514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
15	2, 14	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ⊆ ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
16	15	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117   + caddc 11121  vol*covol 25658  volcvol 25659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-ovol 25660  df-vol 25661

This theorem is used by:  cmmbl  25730  nulmbl2  25732  unmbl  25733  shftmbl  25734  volun  25741  voliunlem1  25746  uniioombllem4  25782  uniioombllem5  25783  mblfinlem3  38351  mblfinlem4  38352