MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblsplit 24848
Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblsplit ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))

Proof of Theorem mblsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11100 . . . 4 ℝ ∈ V
21elpw2 5300 . . 3 (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ)
3 ismbl 24842 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
4 fveq2 6839 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘𝑥) = (vol*‘𝐵))
54eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
6 ineq1 4163 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
76fveq2d 6843 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥𝐴)) = (vol*‘(𝐵𝐴)))
8 difeq1 4073 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
98fveq2d 6843 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥𝐴)) = (vol*‘(𝐵𝐴)))
107, 9oveq12d 7369 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))
114, 10eqeq12d 2753 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) ↔ (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴)))))
125, 11imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))) ↔ ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
1312rspccv 3576 . . . 4 (∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))) → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
143, 13simplbiim 505 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
152, 14biimtrrid 242 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ⊆ ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
16153imp 1111 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  cdif 3905  cin 3907  wss 3908  𝒫 cpw 4558  dom cdm 5631  cfv 6493  (class class class)co 7351  cr 11008   + caddc 11012  vol*covol 24778  volcvol 24779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-ovol 24780  df-vol 24781
This theorem is referenced by:  cmmbl  24850  nulmbl2  24852  unmbl  24853  shftmbl  24854  volun  24861  voliunlem1  24866  uniioombllem4  24902  uniioombllem5  24903  mblfinlem3  36055  mblfinlem4  36056
  Copyright terms: Public domain W3C validator