Theorem mblsplit 23736

Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblsplit	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))

Proof of Theorem mblsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10363	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	elpw2 5062	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ)
3		ismbl 23730	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
4	3	simprbi 492	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))))
5		fveq2 6446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘𝑥) = (vol*‘𝐵))
6	5	eleq1d 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
7		ineq1 4029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
8	7	fveq2d 6450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)))
9		difeq1 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ 𝐴))
10	9	fveq2d 6450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) = (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
11	8, 10	oveq12d 6940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
12	5, 11	eqeq12d 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ↔ (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)))))
13	6, 12	imbi12d 336	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))) ↔ ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
14	13	rspccv 3507	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))) → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
15	4, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
16	2, 15	syl5bir 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ⊆ ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
17	16	3imp 1098	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089   ∖ cdif 3788   ∩ cin 3790   ⊆ wss 3791  𝒫 cpw 4378  dom cdm 5355  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271   + caddc 10275  vol*covol 23666  volcvol 23667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-ovol 23668  df-vol 23669

This theorem is referenced by:  cmmbl  23738  nulmbl2  23740  unmbl  23741  shftmbl  23742  volun  23749  voliunlem1  23754  uniioombllem4  23790  uniioombllem5  23791  mblfinlem3  34058  mblfinlem4  34059