MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mblsplit 25481
Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblsplit ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))

Proof of Theorem mblsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11237 . . . 4 ℝ ∈ V
21elpw2 5351 . . 3 (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ)
3 ismbl 25475 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))))
4 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘𝑥) = (vol*‘𝐵))
54eleq1d 2814 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
6 ineq1 4207 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
76fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥𝐴)) = (vol*‘(𝐵𝐴)))
8 difeq1 4115 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
98fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥𝐴)) = (vol*‘(𝐵𝐴)))
107, 9oveq12d 7444 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))
114, 10eqeq12d 2744 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) ↔ (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴)))))
125, 11imbi12d 343 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))) ↔ ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
1312rspccv 3608 . . . 4 (∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴)))) → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
143, 13simplbiim 503 . . 3 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
152, 14biimtrrid 242 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ⊆ ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))))
16153imp 1108 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵𝐴)) + (vol*‘(𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  cdif 3946  cin 3948  wss 3949  𝒫 cpw 4606  dom cdm 5682  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145   + caddc 11149  vol*covol 25411  volcvol 25412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-ovol 25413  df-vol 25414
This theorem is referenced by:  cmmbl  25483  nulmbl2  25485  unmbl  25486  shftmbl  25487  volun  25494  voliunlem1  25499  uniioombllem4  25535  uniioombllem5  25536  mblfinlem3  37165  mblfinlem4  37166
  Copyright terms: Public domain W3C validator