Theorem mblsplit 25859

Description: The defining property of measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mblsplit	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))

Proof of Theorem mblsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11295	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	elpw2 5295	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ ↔ 𝐵 ⊆ ℝ)
3		ismbl 25853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))))
4		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘𝑥) = (vol*‘𝐵))
5	4	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ))
6		ineq1 4110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ 𝐴))
7	6	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) = (vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)))
8		difeq1 4056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∖ 𝐴) = (𝐵 ∖ 𝐴))
9	8	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) = (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)))
10	7, 9	oveq12d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))
11	4, 10	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) ↔ (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴)))))
12	5, 11	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))) ↔ ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
13	12	rspccv 3573	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))) → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
14	3, 13	simplbiim 514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ∈ 𝒫 ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
15	2, 14	biimtrrid 246	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐵 ⊆ ℝ → ((vol*‘𝐵) ∈ ℝ → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))))
16	15	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐵) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐵) = ((vol*‘(𝐵 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝐵 ∖ 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11203   + caddc 11207  vol*covol 25789  volcvol 25790

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-ovol 25791  df-vol 25792

This theorem is used by:  cmmbl  25861  nulmbl2  25863  unmbl  25864  shftmbl  25865  volun  25872  voliunlem1  25877  uniioombllem4  25913  uniioombllem5  25914  mblfinlem3  38671  mblfinlem4  38672