Theorem cmmbl 24603

Description: The complement of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmmbl	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem cmmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4063	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
2		elpwi 4539	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
3		inss1 4159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥
4		ovolsscl 24555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
5	3, 4	mp3an1 1446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℂ)
8		difss 4062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥
9		ovolsscl 24555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
10	8, 9	mp3an1 1446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	3adant1 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcomd 11107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = ((vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
14		mblsplit 24601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))
15		indifcom 4203	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))
16		simp2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ⊆ ℝ)
17	16	ssdifssd 4073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
18		sseqin2 4146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
19	17, 18	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
20	15, 19	eqtr3id 2793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
21	20	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))
22		difin 4192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))
23	20	difeq2d 4053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴)))
24	22, 23	eqtr3id 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴)))
25		dfin4 4198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴))
26	24, 25	eqtr4di 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∩ 𝐴))
27	26	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
28	21, 27	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))) = ((vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
29	13, 14, 28	3eqtr4d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))
30	29	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
31	2, 30	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
32	31	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
33		ismbl 24595	. 2 ⊢ ((ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol ↔ ((ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))))
34	1, 32, 33	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   + caddc 10805  vol*covol 24531  volcvol 24532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-ovol 24533  df-vol 24534

This theorem is referenced by:  rembl  24609  inmbl  24611  difmbl  24612  iccmbl  24635  itg2uba  24813  itg2monolem1  24820  itg2cnlem1  24831  itg2cnlem2  24832  dmvlsiga  31997  ftc1anclem5  35781  dmvolsal  43775