MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmmbl 24901
Description: The complement of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
cmmbl (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem cmmbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difssd 4093 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
2 elpwi 4568 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
3 inss1 4189 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴) ⊆ 𝑥
4 ovolsscl 24853 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
53, 4mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
653adant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
76recnd 11184 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
8 difss 4092 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴) ⊆ 𝑥
9 ovolsscl 24853 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴) ⊆ 𝑥𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
108, 9mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
11103adant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥𝐴)) ∈ ℝ)
1211recnd 11184 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥𝐴)) ∈ ℂ)
137, 12addcomd 11358 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))
14 mblsplit 24899 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))
15 indifcom 4233 . . . . . . . . 9 (ℝ ∩ (𝑥𝐴)) = (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))
16 simp2 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ⊆ ℝ)
1716ssdifssd 4103 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥𝐴) ⊆ ℝ)
18 sseqin2 4176 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐴))
1917, 18sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℝ ∩ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐴))
2015, 19eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥𝐴))
2120fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥𝐴)))
22 difin 4222 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))
2320difeq2d 4083 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (𝑥𝐴)))
2422, 23eqtr3id 2791 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ (𝑥𝐴)))
25 dfin4 4228 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴) = (𝑥 ∖ (𝑥𝐴))
2624, 25eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥𝐴))
2726fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥𝐴)))
2821, 27oveq12d 7376 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))) = ((vol*‘(𝑥𝐴)) + (vol*‘(𝑥𝐴))))
2913, 14, 283eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))
30293expia 1122 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
312, 30sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
3231ralrimiva 3144 . 2 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
33 ismbl 24893 . 2 ((ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol ↔ ((ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))))
341, 32, 33sylanbrc 584 1 (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  cdif 3908  cin 3910  wss 3911  𝒫 cpw 4561  dom cdm 5634  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11051   + caddc 11055  vol*covol 24829  volcvol 24830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-ovol 24831  df-vol 24832
This theorem is referenced by:  rembl  24907  inmbl  24909  difmbl  24910  iccmbl  24933  itg2uba  25111  itg2monolem1  25118  itg2cnlem1  25129  itg2cnlem2  25130  dmvlsiga  32731  ftc1anclem5  36158  dmvolsal  44594
  Copyright terms: Public domain W3C validator