Theorem cmmbl 25885

Description: The complement of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmmbl	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem cmmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4076	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
2		elpwi 4567	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
3		inss1 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥
4		ovolsscl 25837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
5	3, 4	mp3an1 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℂ)
8		difss 4075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥
9		ovolsscl 25837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
10	8, 9	mp3an1 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	3adant1 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcomd 11539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = ((vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
14		mblsplit 25883	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))
15		indifcom 4231	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))
16		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ⊆ ℝ)
17	16	ssdifssd 4086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
18		sseqin2 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
19	17, 18	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
20	15, 19	eqtr3id 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
21	20	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))
22		difin 4220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))
23	20	difeq2d 4066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴)))
24	22, 23	eqtr3id 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴)))
25		dfin4 4226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴))
26	24, 25	eqtr4di 2816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∩ 𝐴))
27	26	fveq2d 6912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
28	21, 27	oveq12d 7461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))) = ((vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
29	13, 14, 28	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))
30	29	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
31	2, 30	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
32	31	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
33		ismbl 25877	. 2 ⊢ ((ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol ↔ ((ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))))
34	1, 32, 33	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092  𝒫 cpw 4560  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   + caddc 11230  vol*covol 25813  volcvol 25814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-ovol 25815  df-vol 25816

This theorem is used by:  rembl  25891  inmbl  25893  difmbl  25894  iccmbl  25917  itg2uba  26094  itg2monolem1  26101  itg2cnlem1  26112  itg2cnlem2  26113  dmvlsiga  34831  ftc1anclem5  38807  dmvolsal  47561