Theorem cmmbl 25043

Description: The complement of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmmbl	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem cmmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
2		elpwi 4609	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
3		inss1 4228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥
4		ovolsscl 24995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
5	3, 4	mp3an1 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℂ)
8		difss 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥
9		ovolsscl 24995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
10	8, 9	mp3an1 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	3adant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcomd 11413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = ((vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
14		mblsplit 25041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))
15		indifcom 4272	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))
16		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ⊆ ℝ)
17	16	ssdifssd 4142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
18		sseqin2 4215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
19	17, 18	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
20	15, 19	eqtr3id 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
21	20	fveq2d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))
22		difin 4261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))
23	20	difeq2d 4122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴)))
24	22, 23	eqtr3id 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴)))
25		dfin4 4267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴))
26	24, 25	eqtr4di 2791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∩ 𝐴))
27	26	fveq2d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
28	21, 27	oveq12d 7424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))) = ((vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
29	13, 14, 28	3eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))
30	29	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
31	2, 30	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
32	31	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
33		ismbl 25035	. 2 ⊢ ((ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol ↔ ((ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))))
34	1, 32, 33	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602  dom cdm 5676  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℝcr 11106   + caddc 11110  vol*covol 24971  volcvol 24972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-ovol 24973  df-vol 24974

This theorem is referenced by:  rembl  25049  inmbl  25051  difmbl  25052  iccmbl  25075  itg2uba  25253  itg2monolem1  25260  itg2cnlem1  25271  itg2cnlem2  25272  dmvlsiga  33116  ftc1anclem5  36554  dmvolsal  45049