Theorem cmmbl 25570

Description: The complement of a measurable set is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cmmbl	⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

Proof of Theorem cmmbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difssd 4136	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
2		elpwi 4606	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
3		inss1 4236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥
4		ovolsscl 25522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
5	3, 4	mp3an1 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
6	5	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) ∈ ℂ)
8		difss 4135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥
9		ovolsscl 25522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
10	8, 9	mp3an1 1449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
11	10	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) ∈ ℂ)
13	7, 12	addcomd 11464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))) = ((vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
14		mblsplit 25568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴))))
15		indifcom 4282	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))
16		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → 𝑥 ⊆ ℝ)
17	16	ssdifssd 4146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ)
18		sseqin2 4222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
19	17, 18	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (ℝ ∩ (𝑥 ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
20	15, 19	eqtr3id 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ 𝐴))
21	20	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)))
22		difin 4271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))
23	20	difeq2d 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴)))
24	22, 23	eqtr3id 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴)))
25		dfin4 4277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐴) = (𝑥 ∖ (𝑥 ∖ 𝐴))
26	24, 25	eqtr4di 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)) = (𝑥 ∩ 𝐴))
27	26	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))) = (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴)))
28	21, 27	oveq12d 7450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))) = ((vol*‘(𝑥 ∖ 𝐴)) + (vol*‘(𝑥 ∩ 𝐴))))
29	13, 14, 28	3eqtr4d 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝑥) ∈ ℝ) → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))
30	29	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ⊆ ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
31	2, 30	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ℝ) → ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
32	31	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴))))))
33		ismbl 25562	. 2 ⊢ ((ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol ↔ ((ℝ ∖ 𝐴) ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ℝ((vol*‘𝑥) ∈ ℝ → (vol*‘𝑥) = ((vol*‘(𝑥 ∩ (ℝ ∖ 𝐴))) + (vol*‘(𝑥 ∖ (ℝ ∖ 𝐴)))))))
34	1, 32, 33	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐴) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060   ∖ cdif 3947   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  𝒫 cpw 4599  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155   + caddc 11159  vol*covol 25498  volcvol 25499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-ovol 25500  df-vol 25501

This theorem is referenced by:  rembl  25576  inmbl  25578  difmbl  25579  iccmbl  25602  itg2uba  25779  itg2monolem1  25786  itg2cnlem1  25797  itg2cnlem2  25798  dmvlsiga  34131  ftc1anclem5  37705  dmvolsal  46366