Theorem xlimpnfliminf2 45878

Description: A sequence of extended reals converges to +∞ if and only if its superior limit is also +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfliminf2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfliminf2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfliminf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfliminf2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (lim inf‘𝐹) = +∞))

Proof of Theorem xlimpnfliminf2

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfliminf2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimpnfliminf2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimpnfliminf2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimpnfv 45855	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5		nfcv 2892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
6	5, 1, 2, 3	liminfpnfuz 45833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
7	4, 6	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (lim inf‘𝐹) = +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5089  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  ℝcr 10997  +∞cpnf 11135  ℝ^*cxr 11137   ≤ cle 11139  ℤcz 12460  ℤ_≥cuz 12724  lim infclsi 45768  ~~>*clsxlim 45835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-xneg 13003  df-ioo 13241  df-ioc 13242  df-ico 13243  df-icc 13244  df-fl 13688  df-ceil 13689  df-limsup 15370  df-topgen 17339  df-ordt 17397  df-ps 18464  df-tsr 18465  df-top 22802  df-topon 22819  df-bases 22854  df-lm 23137  df-liminf 45769  df-xlim 45836

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  45879