Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfliminf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfliminf2 42671
 Description: A sequence of extended reals converges to +∞ if and only if its superior limit is also +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfliminf2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfliminf2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfliminf2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfliminf2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (lim inf‘𝐹) = +∞))

Proof of Theorem xlimpnfliminf2
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfliminf2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 xlimpnfliminf2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 xlimpnfliminf2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3xlimpnfv 42648 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5 nfcv 2955 . . 3 𝑗𝐹
65, 1, 2, 3liminfpnfuz 42626 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
74, 6bitr4d 285 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (lim inf‘𝐹) = +∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5034  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  ℝcr 10543  +∞cpnf 10679  ℝ*cxr 10681   ≤ cle 10683  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  lim infclsi 42561  ~~>*clsxlim 42628 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-pm 8410  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-q 12357  df-xneg 12515  df-ioo 12750  df-ioc 12751  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fl 13177  df-ceil 13178  df-limsup 14840  df-topgen 16729  df-ordt 16786  df-ps 17822  df-tsr 17823  df-top 21540  df-topon 21557  df-bases 21592  df-lm 21875  df-liminf 42562  df-xlim 42629 This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  42672
 Copyright terms: Public domain W3C validator