Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfliminf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfliminf2 43997
Description: A sequence of extended reals converges to +∞ if and only if its superior limit is also +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfliminf2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfliminf2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfliminf2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfliminf2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (lim inf‘𝐹) = +∞))

Proof of Theorem xlimpnfliminf2
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfliminf2.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 xlimpnfliminf2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 xlimpnfliminf2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
41, 2, 3xlimpnfv 43974 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
5 nfcv 2905 . . 3 𝑗𝐹
65, 1, 2, 3liminfpnfuz 43952 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
74, 6bitr4d 281 1 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (lim inf‘𝐹) = +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5103  wf 6489  cfv 6493  cr 11008  +∞cpnf 11144  *cxr 11146  cle 11148  cz 12457  cuz 12721  lim infclsi 43887  ~~>*clsxlim 43954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-xneg 12987  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fl 13651  df-ceil 13652  df-limsup 15307  df-topgen 17279  df-ordt 17337  df-ps 18409  df-tsr 18410  df-top 22189  df-topon 22206  df-bases 22242  df-lm 22526  df-liminf 43888  df-xlim 43955
This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  43998
  Copyright terms: Public domain W3C validator