Theorem xlimpnfliminf2 46373

Description: A sequence of extended reals converges to +∞ if and only if its superior limit is also +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfliminf2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfliminf2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfliminf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfliminf2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (lim inf‘𝐹) = +∞))

Proof of Theorem xlimpnfliminf2

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfliminf2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		xlimpnfliminf2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimpnfliminf2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimpnfv 46350	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
5		nfcv 2914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
6	5, 1, 2, 3	liminfpnfuz 46328	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
7	4, 6	bitr4d 284	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (lim inf‘𝐹) = +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  ∃wrex 3076   class class class wbr 5090  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  ℝcr 11058  +∞cpnf 11199  ℝ^*cxr 11201   ≤ cle 11203  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12825  lim infclsi 46263  ~~>*clsxlim 46330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-q 12936  df-xneg 13100  df-ioo 13339  df-ioc 13340  df-ico 13341  df-icc 13342  df-fl 13788  df-ceil 13789  df-limsup 15470  df-topgen 17444  df-ordt 17503  df-ps 18570  df-tsr 18571  df-top 22923  df-topon 22940  df-bases 22975  df-lm 23258  df-liminf 46264  df-xlim 46331

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  46374