Theorem zarcls0 33868

Description: The closure of the identity ideal in the Zariski topology. Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls0.1	⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls0.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{ 0 }) = 𝑃)

Distinct variable groups:   0 ,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zarclsx.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
3		zarcls0.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
4		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = { 0 })
5		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		prmidlidl 33473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	5, 6	sylancom 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9		zarcls0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	8, 9	lidl0cl 21231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑗)
11	5, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑗)
12	11	snssd 4808	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑗)
13	4, 12	eqsstrd 4017	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ⊆ 𝑗)
14	13	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑗)
15		rabid2 3469	. . . 4 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑗)
16	14, 15	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → (PrmIdeal‘𝑅) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
17	3, 16	eqtr2id 2789	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = 𝑃)
18	8, 9	lidl0 21241	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	3	fvexi 6919	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ V)
21	2, 17, 18, 20	fvmptd 7022	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{ 0 }) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  {crab 3435  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950  {csn 4625   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  0_gc0g 17485  Ringcrg 20231  LIdealclidl 21217  PrmIdealcprmidl 33464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-prmidl 33465

This theorem is referenced by:  zartopn  33875