Theorem zarcls0 33829

Description: The closure of the identity ideal in the Zariski topology. Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls0.1	⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls0.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{ 0 }) = 𝑃)

Distinct variable groups:   0 ,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zarclsx.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
3		zarcls0.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
4		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = { 0 })
5		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		prmidlidl 33452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	5, 6	sylancom 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9		zarcls0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	8, 9	lidl0cl 21248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑗)
11	5, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑗)
12	11	snssd 4814	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑗)
13	4, 12	eqsstrd 4034	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ⊆ 𝑗)
14	13	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑗)
15		rabid2 3468	. . . 4 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑗)
16	14, 15	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → (PrmIdeal‘𝑅) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
17	3, 16	eqtr2id 2788	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = 𝑃)
18	8, 9	lidl0 21258	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	3	fvexi 6921	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ V)
21	2, 17, 18, 20	fvmptd 7023	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{ 0 }) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  0_gc0g 17486  Ringcrg 20251  LIdealclidl 21234  PrmIdealcprmidl 33443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-prmidl 33444

This theorem is referenced by:  zartopn  33836