Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls0 33378
Description: The closure of the identity ideal in the Zariski topology. Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
zarcls0.1 𝑃 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
zarcls0.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zarcls0 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜{ 0 }) = 𝑃)
Distinct variable groups:   0 ,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls0
StepHypRef Expression
1 zarclsx.1 . . 3 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
21a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
3 zarcls0.1 . . 3 𝑃 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
4 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑖 = { 0 })
5 simpll 764 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 prmidlidl 33068 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
75, 6sylancom 587 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
8 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
9 zarcls0.2 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
108, 9lidl0cl 21077 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 0 ∈ 𝑗)
115, 7, 10syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 0 ∈ 𝑗)
1211snssd 4807 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ { 0 } βŠ† 𝑗)
134, 12eqsstrd 4015 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑖 βŠ† 𝑗)
1413ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) β†’ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)𝑖 βŠ† 𝑗)
15 rabid2 3458 . . . 4 ((PrmIdealβ€˜π‘…) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ↔ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)𝑖 βŠ† 𝑗)
1614, 15sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) β†’ (PrmIdealβ€˜π‘…) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
173, 16eqtr2id 2779 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = 𝑃)
188, 9lidl0 21087 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
193fvexi 6898 . . 3 𝑃 ∈ V
2019a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ V)
212, 17, 18, 20fvmptd 6998 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜{ 0 }) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  0gc0g 17392  Ringcrg 20136  LIdealclidl 21063  PrmIdealcprmidl 33059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21065  df-prmidl 33060
This theorem is referenced by:  zartopn  33385
  Copyright terms: Public domain W3C validator