Theorem zarcls0 34012

Description: The closure of the identity ideal in the Zariski topology. Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls0.1	⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls0.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{ 0 }) = 𝑃)

Distinct variable groups:   0 ,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zarclsx.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
3		zarcls0.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
4		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = { 0 })
5		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		prmidlidl 33504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	5, 6	sylancom 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9		zarcls0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	8, 9	lidl0cl 21218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑗)
11	5, 7, 10	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑗)
12	11	snssd 4730	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑗)
13	4, 12	eqsstrd 3956	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ⊆ 𝑗)
14	13	ralrimiva 3129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑗)
15		rabid2 3422	. . . 4 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑗)
16	14, 15	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → (PrmIdeal‘𝑅) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
17	3, 16	eqtr2id 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = 𝑃)
18	8, 9	lidl0 21228	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	3	fvexi 6854	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ V)
21	2, 17, 18, 20	fvmptd 6955	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{ 0 }) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  {csn 4567   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  0_gc0g 17402  Ringcrg 20214  LIdealclidl 21204  PrmIdealcprmidl 33495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-prmidl 33496

This theorem is referenced by:  zartopn  34019