Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zarcls0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zarcls0 32513
Description: The closure of the identity ideal in the Zariski topology. Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zarclsx.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
zarcls0.1 𝑃 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
zarcls0.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zarcls0 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜{ 0 }) = 𝑃)
Distinct variable groups:   0 ,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls0
StepHypRef Expression
1 zarclsx.1 . . 3 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
21a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}))
3 zarcls0.1 . . 3 𝑃 = (PrmIdealβ€˜π‘…)
4 simplr 768 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑖 = { 0 })
5 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 prmidlidl 32271 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
75, 6sylancom 589 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
8 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
9 zarcls0.2 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
108, 9lidl0cl 20727 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 0 ∈ 𝑗)
115, 7, 10syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 0 ∈ 𝑗)
1211snssd 4773 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ { 0 } βŠ† 𝑗)
134, 12eqsstrd 3986 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑖 βŠ† 𝑗)
1413ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) β†’ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)𝑖 βŠ† 𝑗)
15 rabid2 3438 . . . 4 ((PrmIdealβ€˜π‘…) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ↔ βˆ€π‘— ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…)𝑖 βŠ† 𝑗)
1614, 15sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) β†’ (PrmIdealβ€˜π‘…) = {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
173, 16eqtr2id 2786 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) β†’ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} = 𝑃)
188, 9lidl0 20734 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ { 0 } ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
193fvexi 6860 . . 3 𝑃 ∈ V
2019a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ V)
212, 17, 18, 20fvmptd 6959 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘‰β€˜{ 0 }) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  {csn 4590   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  0gc0g 17329  Ringcrg 19972  LIdealclidl 20676  PrmIdealcprmidl 32262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-lidl 20680  df-prmidl 32263
This theorem is referenced by:  zartopn  32520
  Copyright terms: Public domain W3C validator