Theorem zarcls0 31814

Description: The closure of the identity ideal in the Zariski topology. Proposition 1.1.2(i) of [EGA] p. 80. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zarclsx.1	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
zarcls0.1	⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
zarcls0.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zarcls0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{ 0 }) = 𝑃)

Distinct variable groups:   0 ,𝑖,𝑗   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑗)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zarclsx.1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗}))
3		zarcls0.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (PrmIdeal‘𝑅)
4		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 = { 0 })
5		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		prmidlidl 31615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	5, 6	sylancom 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9		zarcls0.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	8, 9	lidl0cl 20481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑗)
11	5, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 0 ∈ 𝑗)
12	11	snssd 4748	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → { 0 } ⊆ 𝑗)
13	4, 12	eqsstrd 3964	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) ∧ 𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ⊆ 𝑗)
14	13	ralrimiva 3110	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑗)
15		rabid2 3313	. . . 4 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} ↔ ∀𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)𝑖 ⊆ 𝑗)
16	14, 15	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → (PrmIdeal‘𝑅) = {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗})
17	3, 16	eqtr2id 2793	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 = { 0 }) → {𝑗 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ∣ 𝑖 ⊆ 𝑗} = 𝑃)
18	8, 9	lidl0 20488	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	3	fvexi 6785	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ V)
21	2, 17, 18, 20	fvmptd 6879	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑉‘{ 0 }) = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  {crab 3070  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892  {csn 4567   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  0_gc0g 17148  Ringcrg 19781  LIdealclidl 20430  PrmIdealcprmidl 31606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-lidl 20434  df-prmidl 31607

This theorem is referenced by:  zartopn  31821