Theorem 19prm 13255

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	⊢ ;19 ∈ ℙ

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 9584	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		9nn 9478	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 9805	. 2 ⊢ ;19 ∈ ℕ
4		1nn 9318	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		9nn0 9592	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		1lt10 9925	. . 3 ⊢ 1 < ;10
7	4, 5, 1, 6	declti 9824	. 2 ⊢ 1 < ;19
8		4nn0 9587	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
9		4t2e8 9467	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
10		df-9 9373	. . 3 ⊢ 9 = (8 + 1)
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 13213	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;19
12		3nn 9472	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		6nn0 9589	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		8nn0 9591	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
15		8p1e9 9448	. . . 4 ⊢ (8 + 1) = 9
16		6cn 9389	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
17		3cn 9382	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
18		6t3e18 9891	. . . . 5 ⊢ (6 · 3) = ;18
19	16, 17, 18	mulcomli 8334	. . . 4 ⊢ (3 · 6) = ;18
20	1, 14, 15, 19	decsuc 9817	. . 3 ⊢ ((3 · 6) + 1) = ;19
21		1lt3 9481	. . 3 ⊢ 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 12719	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;19
23		2nn0 9585	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		5nn0 9588	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
25		9lt10 9917	. . 3 ⊢ 9 < ;10
26		1lt2 9479	. . 3 ⊢ 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 9815	. 2 ⊢ ;19 < ;25
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 13245	1 ⊢ ;19 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8181   · cmul 8185  2c2 9358  3c3 9359  4c4 9360  5c5 9361  6c6 9362  8c8 9364  9c9 9365  ;cdc 9782  ℙcprime 12904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-dvds 12574  df-prm 12905

This theorem is used by: (None)