Theorem prmlem0 13240

Description: Lemma for prmlem1a 13241 and prmlem2 13254. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem0.1	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
prmlem0.2	⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
prmlem0.3	⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
prmlem0	⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3351	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2		prmlem0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)
3		eleq1 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4		breq1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ 𝑁))
5	4	notbid 677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ ¬ 𝐾 ∥ 𝑁))
6	3, 5	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾 ∥ 𝑁)))
7	2, 6	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
8	1, 7	syl5 32	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
9	8	adantrd 279	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
11		uzp1 9965	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))))
12		eleq1 2301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
13	12	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14		eldifsn 3841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15		eluzel2 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18		1z 9674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℤ
19		n2dvds1 12695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
20		opoe 12678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
21	18, 19, 20	mpanr12 443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
22	16, 17, 21	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
23	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24		2z 9676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
25		uzid 9945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
26	24, 25	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27		dvdsprm 12932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
28	26, 27	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
29	23, 28	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
30	29	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
31	30	a1d 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∥ 𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
32	31	necon3ad 2462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
33	32	expimpd 363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
34	14, 33	biimtrid 152	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
36	13, 35	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
37	36	adantrd 279	. . . . 5 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
38	37	ex 115	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
39	16	zcnd 9773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
41		addass 8309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
42	40, 40, 41	mp3an23 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
43	39, 42	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44		1p1e2 9423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
45	44	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46		prmlem0.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 + 2) = 𝑀
47	45, 46	eqtri 2259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
48	43, 47	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
49	48	fveq2d 5699	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
50	49	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
51		dvdsaddr 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
52	24, 16, 51	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
53	46	breq2i 4138	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
54	52, 53	bitrdi 196	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
55	17, 54	mtbid 683	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56		prmlem0.1	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑀 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))
57	56	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
58	55, 57	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
59	50, 58	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
60	38, 59	jaod 729	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
61	11, 60	syl5 32	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁)))
62		uzp1 9965	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
63	62	adantl 277	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1))))
64	10, 61, 63	mpjaod 730	1 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217  {csn 3709   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   + caddc 8182   ≤ cle 8361  2c2 9357  ℤcz 9648  ℤ_≥cuz 9930  ↑cexp 10988   ∥ cdvds 12570  ℙcprime 12901

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-dvds 12571  df-prm 12902

This theorem is used by:  prmlem1a  13241  prmlem2  13254