Theorem psr1fi 15225

Description: The identity element of the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrringfi.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1.u	⊢ 𝑈 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
psr1fi	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem psr1fi

Dummy variables 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrringfi.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
3	2	psrbagfi 15167	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
4	1, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
5	4	mpteq1d 4217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))
6		psrring.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
7		psrring.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		psr1.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
12	6, 1, 7, 2, 8, 9, 10, 11	psr1clfi 15218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
13	5, 12	eqeltrrd 2316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆))
14	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))
15	14	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦))
16	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼 ∈ Fin)
17	7	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
19		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
20	6, 16, 17, 2, 8, 9, 10, 11, 18, 19	psrlidmfi 15219	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦)
21	15, 20	eqtr3d 2273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦)
22	14	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
23	6, 16, 17, 2, 8, 9, 10, 11, 18, 19	psrridmfi 15220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)
24	22, 23	eqtr3d 2273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)
25	21, 24	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
26	25	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦))
27	6, 1, 7	psrringfi 15224	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
28		psr1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (1r‘𝑆)
29	11, 18, 28	isringid 14437	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
30	27, 29	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(((𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))(.r‘𝑆)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(.r‘𝑆)(𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))) = 𝑦)) ↔ 𝑈 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))))
31	13, 26, 30	mpbi2and 956	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  ifcif 3638  {csn 3709   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  ^◡ccnv 4775   “ cima 4779  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028  0cc0 8186  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  0_gc0g 13669  1_rcur 14369  Ringcrg 14407   mPwSer cmps 15154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-tpos 6521  df-recs 6581  df-irdg 6646  df-frec 6667  df-1o 6692  df-oadd 6696  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-dom 7030  df-fin 7031  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-hom 13514  df-cco 13515  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-mhm 13825  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mulg 13982  df-ghm 14103  df-cmn 14179  df-abl 14180  df-gsumfi 14241  df-prds 14277  df-pws 14310  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-srg 14375  df-ring 14409  df-oppr 14482  df-dvdsr 14504  df-unit 14505  df-psr 15157

This theorem is used by:  mplsubrgfi  15250