Theorem sum9cubes 41729

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12503	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 41526	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15813	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12502	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12495	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 41519	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12369	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11174	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12686	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11413	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12746	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12496	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12498	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12499	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12494	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12387	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12784	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12749	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12699	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12491	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12294	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12323	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11968	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 41728	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2763	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   / cdiv 11878  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  5c5 12277  8c8 12280  9c9 12281  ℕ₀cn0 12479  ;cdc 12684  ...cfz 13491  ↑cexp 14034  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640

This theorem is referenced by: (None)