Theorem sum9cubes 43137

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12456	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42805	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15820	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12455	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12448	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42790	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12321	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12276	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12641	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11333	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12701	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12449	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12452	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12447	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12739	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12704	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2767	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12654	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12444	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12251	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12280	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11897	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2768	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7370	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43136	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2768	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   / cdiv 11802  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  5c5 12234  8c8 12237  9c9 12238  ℕ₀cn0 12432  ;cdc 12639  ...cfz 13456  ↑cexp 14018  Σcsu 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644

This theorem is referenced by: (None)