Theorem sum9cubes 43445

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12546	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 43115	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15940	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12538	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 43100	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12408	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12359	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11176	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12731	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11420	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12796	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12541	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12537	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12834	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12799	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2792	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7433	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12744	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12534	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12334	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12365	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11980	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2793	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7433	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43444	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2793	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   / cdiv 11889  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  8c8 12319  9c9 12320  ℕ₀cn0 12522  ;cdc 12729  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  Σcsu 15763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764

This theorem is used by: (None)