Theorem sum9cubes 43887

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12660	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 43574	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 16061	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12659	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12652	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 43559	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12522	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12473	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11288	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12846	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11532	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12911	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12653	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12655	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12656	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12651	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12541	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12949	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12914	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7456	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12859	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12648	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12448	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12479	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 12094	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7456	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43886	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2790	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   / cdiv 12003  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  5c5 12430  8c8 12433  9c9 12434  ℕ₀cn0 12636  ;cdc 12844  ...cfz 13669  ↑cexp 14234  Σcsu 15885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-clim 15687  df-sum 15886

This theorem is used by: (None)