Theorem sum9cubes 42627

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12577	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42301	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15908	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12576	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42286	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12443	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12393	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11242	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12760	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11482	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12820	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12570	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12572	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12573	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12568	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12461	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7458	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12858	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12823	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2771	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7458	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12565	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12368	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12397	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 12041	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2772	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7458	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 42626	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2772	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  8c8 12354  9c9 12355  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758  ...cfz 13567  ↑cexp 14112  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by: (None)