Theorem sum9cubes 42790

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12412	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42431	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15769	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12411	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12404	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42416	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12277	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12232	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11071	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11312	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12656	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12405	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12407	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12408	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12403	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7362	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12694	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12659	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2759	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7362	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12609	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12400	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12207	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12236	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11875	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2760	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7362	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 42789	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2760	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   / cdiv 11781  2c2 12187  3c3 12188  4c4 12189  5c5 12190  8c8 12193  9c9 12194  ℕ₀cn0 12388  ;cdc 12594  ...cfz 13409  ↑cexp 13970  Σcsu 15595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596

This theorem is referenced by: (None)