Theorem sum9cubes 43384

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12529	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 43052	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15916	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12528	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 43037	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12391	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11159	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12714	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11403	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12779	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12525	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12410	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12817	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12782	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12517	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12317	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12348	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11963	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43383	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2790	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   / cdiv 11872  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  8c8 12302  9c9 12303  ℕ₀cn0 12505  ;cdc 12712  ...cfz 13536  ↑cexp 14099  Σcsu 15739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740

This theorem is referenced by: (None)