Theorem sum9cubes 43119

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12452	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42759	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15816	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12444	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42744	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12317	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12272	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11087	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12637	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11329	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12697	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12445	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12447	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12448	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12443	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12735	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12700	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7370	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12650	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12440	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12247	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12276	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11893	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7370	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43118	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2764	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   / cdiv 11798  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  8c8 12233  9c9 12234  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  ...cfz 13452  ↑cexp 14014  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640

This theorem is referenced by: (None)