Theorem sum9cubes 43266

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12519	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42934	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15904	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12511	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42919	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12381	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12332	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11146	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12704	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11390	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12769	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12512	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12514	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12515	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12510	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7410	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12807	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12772	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2791	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12717	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12507	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12307	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11953	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2792	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7410	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43265	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2792	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   / cdiv 11859  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  5c5 12289  8c8 12292  9c9 12293  ℕ₀cn0 12495  ;cdc 12702  ...cfz 13526  ↑cexp 14088  Σcsu 15727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728

This theorem is referenced by: (None)