Theorem sum9cubes 43129

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12459	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42797	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15823	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12451	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42782	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12324	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12279	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11094	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12644	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11336	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12704	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12452	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12454	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12455	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12450	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12742	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12707	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7373	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12657	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12447	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12254	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12283	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11900	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2767	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7373	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43128	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2767	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   / cdiv 11805  2c2 12234  3c3 12235  4c4 12236  5c5 12237  8c8 12240  9c9 12241  ℕ₀cn0 12435  ;cdc 12642  ...cfz 13459  ↑cexp 14021  Σcsu 15646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647

This theorem is referenced by: (None)