Theorem sum9cubes 43526

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12556	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 43196	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15953	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12555	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12548	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 43181	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12418	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12369	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11186	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12742	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11430	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12807	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12549	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12551	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12552	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12845	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12810	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2788	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7427	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12755	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12544	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12344	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12375	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11990	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2789	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7427	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43525	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2789	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   / cdiv 11899  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  8c8 12329  9c9 12330  ℕ₀cn0 12532  ;cdc 12740  ...cfz 13565  ↑cexp 14129  Σcsu 15777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778

This theorem is used by: (None)