Theorem sum9cubes 42704

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12402	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42345	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15764	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12401	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12394	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42330	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12267	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12222	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11061	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11302	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12647	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12395	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12397	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12398	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12393	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12285	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7356	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12685	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12650	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2757	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7356	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12600	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12390	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12197	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12226	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11865	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2758	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7356	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 42703	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2758	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008   / cdiv 11771  2c2 12177  3c3 12178  4c4 12179  5c5 12180  8c8 12183  9c9 12184  ℕ₀cn0 12378  ;cdc 12585  ...cfz 13404  ↑cexp 13965  Σcsu 15590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-sum 15591

This theorem is referenced by: (None)