Theorem sum9cubes 42682

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12550	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42347	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15896	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12549	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42332	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12416	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11213	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12735	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11453	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12795	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12546	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12541	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12833	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12798	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12538	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12341	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12370	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 12014	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2769	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7441	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 42681	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2769	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  8c8 12327  9c9 12328  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by: (None)