Theorem sum9cubes 43637

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12611	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 43338	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 16009	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12610	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12603	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 43323	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12473	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12424	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11239	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12797	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11483	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12862	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12604	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12606	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12607	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12602	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12900	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12865	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12810	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12599	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12399	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 12045	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7422	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 43636	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2788	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   / cdiv 11954  2c2 12378  3c3 12379  4c4 12380  5c5 12381  8c8 12384  9c9 12385  ℕ₀cn0 12587  ;cdc 12795  ...cfz 13620  ↑cexp 14184  Σcsu 15833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-sum 15834

This theorem is used by: (None)