Theorem sum9cubes 42645

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12533	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42310	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15878	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12532	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12525	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42295	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12398	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11195	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12718	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11435	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12778	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12526	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12528	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12529	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12816	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12781	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2760	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7423	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12731	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12521	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12323	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12352	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11996	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2761	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7423	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 42644	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2761	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142   / cdiv 11902  2c2 12303  3c3 12304  4c4 12305  5c5 12306  8c8 12309  9c9 12310  ℕ₀cn0 12509  ;cdc 12716  ...cfz 13529  ↑cexp 14084  Σcsu 15704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14295  df-bc 14324  df-hash 14352  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-clim 15506  df-sum 15705

This theorem is referenced by: (None)