Theorem sum9cubes 42645

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12426	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42286	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15785	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12425	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12418	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42271	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12291	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12246	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11086	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11326	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12671	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12419	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12421	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12422	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12417	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7363	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12709	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12674	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7363	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12624	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12414	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12221	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11889	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7363	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 42644	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2756	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   / cdiv 11795  2c2 12201  3c3 12202  4c4 12203  5c5 12204  8c8 12207  9c9 12208  ℕ₀cn0 12402  ;cdc 12609  ...cfz 13428  ↑cexp 13986  Σcsu 15611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612

This theorem is referenced by: (None)