Theorem sum9cubes 42695

Description: The sum of the first nine perfect cubes is 2025. (Contributed by SN, 30-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sum9cubes	⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Proof of Theorem sum9cubes

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9nn0 12525	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
2		sumcubes 42362	. . 3 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2)
4		arisum 15876	. . . . 5 ⊢ (9 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = (((9↑2) + 9) / 2)
6		8nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		1nn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		sq9 42347	. . . . . . 7 ⊢ (9↑2) = ;81
9		8p1e9 12390	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
10		9cn 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		9p1e10 12710	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
13	10, 11, 12	addcomli 11427	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
14	6, 7, 1, 8, 9, 13	decaddci2 12770	. . . . . 6 ⊢ ((9↑2) + 9) = ;90
15		2nn0 12518	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16		4nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17		5nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
18		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;45 = ;45
19		0nn0 12516	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20		4t2e8 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
21	20	oveq1i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 2) + 1) = (8 + 1)
22	21, 9	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · 2) + 1) = 9
23		5t2e10 12808	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 2) = ;10
24	15, 16, 17, 18, 19, 7, 22, 23	decmul1c 12773	. . . . . 6 ⊢ (;45 · 2) = ;90
25	14, 24	eqtr4i 2761	. . . . 5 ⊢ ((9↑2) + 9) = (;45 · 2)
26	25	oveq1i 7415	. . . 4 ⊢ (((9↑2) + 9) / 2) = ((;45 · 2) / 2)
27	16, 17	deccl 12723	. . . . . 6 ⊢ ;45 ∈ ℕ0
28	27	nn0cni 12513	. . . . 5 ⊢ ;45 ∈ ℂ
29		2cn 12315	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
30		2ne0 12344	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
31	28, 29, 30	divcan4i 11988	. . . 4 ⊢ ((;45 · 2) / 2) = ;45
32	5, 26, 31	3eqtri 2762	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘 = ;45
33	32	oveq1i 7415	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (1...9)𝑘↑2) = (;45↑2)
34		sq45 42694	. 2 ⊢ (;45↑2) = ;;;2025
35	3, 33, 34	3eqtri 2762	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ (1...9)(𝑘↑3) = ;;;2025

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   / cdiv 11894  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  8c8 12301  9c9 12302  ℕ₀cn0 12501  ;cdc 12708  ...cfz 13524  ↑cexp 14079  Σcsu 15702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703

This theorem is referenced by: (None)