Theorem axsegconlem3 28976

Description: Lemma for axsegcon 28984. Show that the square of the distance between two points is nonnegative. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axsegconlem2.1	⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)

Assertion

Ref	Expression
axsegconlem3	⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝑁,𝑝

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑝)

Proof of Theorem axsegconlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13924	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		fveere 28958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
3	2	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴‘𝑝) ∈ ℝ)
4		fveere 28958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
5	4	adantll 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵‘𝑝) ∈ ℝ)
6	3, 5	resubcld 11567	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14076	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2) ∈ ℝ)
8	6	sqge0d 14088	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))
9	1, 7, 8	fsumge0 15747	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2))
10		axsegconlem2.1	. 2 ⊢ 𝑆 = Σ𝑝 ∈ (1...𝑁)(((𝐴‘𝑝) − (𝐵‘𝑝))↑2)
11	9, 10	breqtrrdi 5116	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 0 ≤ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   ≤ cle 11169   − cmin 11366  2c2 12225  ...cfz 13450  ↑cexp 14012  Σcsu 15637  𝔼cee 28944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-ico 13293  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-ee 28947

This theorem is referenced by:  axsegconlem4  28977  axsegconlem5  28978  axsegconlem6  28979  axsegconlem9  28982