MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolycl 15996
Description: Closure law for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolycl ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)

Proof of Theorem bpolycl
Dummy variables ๐‘› ๐‘˜ ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7416 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹))
21eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
32imbi2d 341 . . 3 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
4 oveq1 7416 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
54eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
7 r19.21v 3180 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
8 bpolyval 15993 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
983adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
10 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
11 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
1210, 11expcld 14111 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
13 fzfid 13938 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
14 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
15 bccl 14282 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1611, 14, 15syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1716nn0cnd 12534 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„‚)
18 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐‘š BernPoly ๐‘‹))
1918eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
2019rspccva 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
21203ad2antl3 1188 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
22 fzssp1 13544 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โŠ† (0...((๐‘› โˆ’ 1) + 1))
2311nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
24 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„‚
25 npcan 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2623, 24, 25sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2726oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = (0...๐‘›))
2822, 27sseqtrid 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘›))
2928sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (0...๐‘›))
30 fznn0sub 13533 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) โˆˆ โ„•0)
31 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„•)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„•)
3332nncnd 12228 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„‚)
3432nnne0d 12262 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โ‰  0)
3521, 33, 34divcld 11990 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) โˆˆ โ„‚)
3617, 35mulcld 11234 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) โˆˆ โ„‚)
3713, 36fsumcl 15679 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) โˆˆ โ„‚)
3812, 37subcld 11571 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) โˆˆ โ„‚)
399, 38eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
40393exp 1120 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
4140a2d 29 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
427, 41biimtrid 241 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
433, 6, 42nn0sinds 13954 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
4443imp 408 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  Ccbc 14262  ฮฃcsu 15632   BernPoly cbp 15990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-bpoly 15991
This theorem is referenced by:  bpolysum  15997  bpolydiflem  15998  fsumkthpow  16000  bpoly3  16002  bpoly4  16003
  Copyright terms: Public domain W3C validator