MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolycl 15940
Description: Closure law for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolycl ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)

Proof of Theorem bpolycl
Dummy variables ๐‘› ๐‘˜ ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹))
21eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
32imbi2d 341 . . 3 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
4 oveq1 7365 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
54eleq1d 2819 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
7 r19.21v 3173 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
8 bpolyval 15937 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
983adant3 1133 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
10 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
11 simp1 1137 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
1210, 11expcld 14057 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
13 fzfid 13884 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
14 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
15 bccl 14228 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1611, 14, 15syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1716nn0cnd 12480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„‚)
18 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐‘š BernPoly ๐‘‹))
1918eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
2019rspccva 3579 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
21203ad2antl3 1188 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
22 fzssp1 13490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โŠ† (0...((๐‘› โˆ’ 1) + 1))
2311nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
24 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„‚
25 npcan 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2623, 24, 25sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2726oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = (0...๐‘›))
2822, 27sseqtrid 3997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘›))
2928sselda 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (0...๐‘›))
30 fznn0sub 13479 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) โˆˆ โ„•0)
31 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„•)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„•)
3332nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„‚)
3432nnne0d 12208 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โ‰  0)
3521, 33, 34divcld 11936 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) โˆˆ โ„‚)
3617, 35mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) โˆˆ โ„‚)
3713, 36fsumcl 15623 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) โˆˆ โ„‚)
3812, 37subcld 11517 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) โˆˆ โ„‚)
399, 38eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
40393exp 1120 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
4140a2d 29 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
427, 41biimtrid 241 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
433, 6, 42nn0sinds 13900 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
4443imp 408 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  Ccbc 14208  ฮฃcsu 15576   BernPoly cbp 15934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-bpoly 15935
This theorem is referenced by:  bpolysum  15941  bpolydiflem  15942  fsumkthpow  15944  bpoly3  15946  bpoly4  15947
  Copyright terms: Public domain W3C validator