MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpolycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpolycl 16000
Description: Closure law for Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolycl ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)

Proof of Theorem bpolycl
Dummy variables ๐‘› ๐‘˜ ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹))
21eleq1d 2816 . . . 4 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
32imbi2d 339 . . 3 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
4 oveq1 7418 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = (๐‘ BernPoly ๐‘‹))
54eleq1d 2816 . . . 4 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
65imbi2d 339 . . 3 (๐‘› = ๐‘ โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
7 r19.21v 3177 . . . 4 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
8 bpolyval 15997 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
983adant3 1130 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))))
10 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
11 simp1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
1210, 11expcld 14115 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
13 fzfid 13942 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โˆˆ Fin)
14 elfzelz 13505 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
15 bccl 14286 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1611, 14, 15syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„•0)
1716nn0cnd 12538 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘›C๐‘š) โˆˆ โ„‚)
18 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (๐‘š BernPoly ๐‘‹))
1918eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†” (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
2019rspccva 3610 . . . . . . . . . . . 12 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
21203ad2antl3 1185 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘š BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
22 fzssp1 13548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โŠ† (0...((๐‘› โˆ’ 1) + 1))
2311nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
24 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„‚
25 npcan 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2623, 24, 25sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2726oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...((๐‘› โˆ’ 1) + 1)) = (0...๐‘›))
2822, 27sseqtrid 4033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...(๐‘› โˆ’ 1)) โŠ† (0...๐‘›))
2928sselda 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ (0...๐‘›))
30 fznn0sub 13537 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘š) โˆˆ โ„•0)
31 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„•)
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„•)
3332nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โˆˆ โ„‚)
3432nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1) โ‰  0)
3521, 33, 34divcld 11994 . . . . . . . . . 10 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)) โˆˆ โ„‚)
3617, 35mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) โˆˆ โ„‚)
3713, 36fsumcl 15683 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1))) โˆˆ โ„‚)
3812, 37subcld 11575 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘๐‘›) โˆ’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))((๐‘›C๐‘š) ยท ((๐‘š BernPoly ๐‘‹) / ((๐‘› โˆ’ ๐‘š) + 1)))) โˆˆ โ„‚)
399, 38eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
40393exp 1117 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
4140a2d 29 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
427, 41biimtrid 241 . . 3 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› โˆ’ 1))(๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)))
433, 6, 42nn0sinds 13958 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚))
4443imp 405 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  ...cfz 13488  โ†‘cexp 14031  Ccbc 14266  ฮฃcsu 15636   BernPoly cbp 15994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-bpoly 15995
This theorem is referenced by:  bpolysum  16001  bpolydiflem  16002  fsumkthpow  16004  bpoly3  16006  bpoly4  16007
  Copyright terms: Public domain W3C validator