Theorem cmprmidlmcl 21539

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cmprmidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))

Proof of Theorem cmprmidlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20385	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eldifi 4081	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → 𝐼 ∈ 𝐵)
3		eldifi 4081	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → 𝐽 ∈ 𝐵)
4	2, 3	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵))
5		isprmidlc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isprmidlc.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ringcl 20390	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
9	1, 4, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
10	9	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
11		eldifn 4082	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → ¬ 𝐽 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antll 742	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → ¬ 𝐽 ∈ 𝑃)
13	5, 6	prmidlc2 21538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐽 ∈ 𝑃)
14	13	3exp2 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → (𝐽 ∈ 𝐵 → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → 𝐽 ∈ 𝑃))))
15	14	imp32 424	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → 𝐽 ∈ 𝑃))
16	15	con3d 153	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝐽 ∈ 𝑃 → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
17	3, 16	sylanr2 696	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (¬ 𝐽 ∈ 𝑃 → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
18	12, 17	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)
19	10, 18	eldifd 3913	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  PrmIdealcprmidl 21524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-prmidl 21525

This theorem is used by: (None)