Theorem cmprmidlmcl 21661

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cmprmidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))

Proof of Theorem cmprmidlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20502	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eldifi 4070	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → 𝐼 ∈ 𝐵)
3		eldifi 4070	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → 𝐽 ∈ 𝐵)
4	2, 3	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵))
5		isprmidlc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isprmidlc.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ringcl 20507	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
9	1, 4, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
10	9	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
11		eldifn 4071	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → ¬ 𝐽 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antll 742	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → ¬ 𝐽 ∈ 𝑃)
13	5, 6	prmidlc2 21660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐽 ∈ 𝑃)
14	13	3exp2 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → (𝐽 ∈ 𝐵 → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → 𝐽 ∈ 𝑃))))
15	14	imp32 424	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → 𝐽 ∈ 𝑃))
16	15	con3d 153	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝐽 ∈ 𝑃 → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
17	3, 16	sylanr2 696	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (¬ 𝐽 ∈ 𝑃 → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
18	12, 17	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)
19	10, 18	eldifd 4053	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490  PrmIdealcprmidl 21646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517  df-prmidl 21647

This theorem is used by: (None)