Theorem cmprmidlmcl 21592

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cmprmidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))

Proof of Theorem cmprmidlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20433	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eldifi 4077	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → 𝐼 ∈ 𝐵)
3		eldifi 4077	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → 𝐽 ∈ 𝐵)
4	2, 3	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵))
5		isprmidlc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isprmidlc.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ringcl 20438	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
9	1, 4, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
10	9	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
11		eldifn 4078	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → ¬ 𝐽 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antll 742	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → ¬ 𝐽 ∈ 𝑃)
13	5, 6	prmidlc2 21591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐽 ∈ 𝑃)
14	13	3exp2 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → (𝐽 ∈ 𝐵 → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → 𝐽 ∈ 𝑃))))
15	14	imp32 424	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → 𝐽 ∈ 𝑃))
16	15	con3d 153	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝐽 ∈ 𝑃 → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
17	3, 16	sylanr2 696	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (¬ 𝐽 ∈ 𝑃 → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
18	12, 17	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)
19	10, 18	eldifd 3909	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  ._rcmulr 17390  Ringcrg 20420  CRingccrg 20421  PrmIdealcprmidl 21577

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-subg 19294  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-rsp 21448  df-prmidl 21578

This theorem is used by: (None)