Theorem cmprmidlmcl 21486

Description: The complement of a prime ideal is multiplicatively closed. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2011.) (Revised by AV, 12-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cmprmidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))

Proof of Theorem cmprmidlmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20333	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eldifi 4084	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → 𝐼 ∈ 𝐵)
3		eldifi 4084	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → 𝐽 ∈ 𝐵)
4	2, 3	anim12i 624	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃)) → (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵))
5		isprmidlc.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		isprmidlc.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7	5, 6	ringcl 20338	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
8	7	3expb 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼 ∈ 𝐵 ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
9	1, 4, 8	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
10	9	adantlr 727	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝐵)
11		eldifn 4085	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → ¬ 𝐽 ∈ 𝑃)
12	11	ad2antll 741	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → ¬ 𝐽 ∈ 𝑃)
13	5, 6	prmidlc2 21485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵 ∧ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)) → 𝐽 ∈ 𝑃)
14	13	3exp2 1372	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) → (𝐽 ∈ 𝐵 → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → 𝐽 ∈ 𝑃))))
15	14	imp32 423	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → ((𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃 → 𝐽 ∈ 𝑃))
16	15	con3d 153	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ 𝐵)) → (¬ 𝐽 ∈ 𝑃 → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
17	3, 16	sylanr2 695	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (¬ 𝐽 ∈ 𝑃 → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃))
18	12, 17	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → ¬ (𝐼 · 𝐽) ∈ 𝑃)
19	10, 18	eldifd 3915	1 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃) ∧ 𝐽 ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))) → (𝐼 · 𝐽) ∈ (𝐵 ∖ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∖ cdif 3901  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  Ringcrg 20321  CRingccrg 20322  PrmIdealcprmidl 21471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-prmidl 21472

This theorem is used by: (None)