Theorem prmidlprop 21436

Description: Property of prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlprop.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlprop.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
prmidlprop.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlprop.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
prmidlprop.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prmidlprop.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
prmidlprop.7	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prmidlprop	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlprop

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlprop.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)
2		oveq1 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
3	2	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃))
4		eleq1 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ 𝑃))
5	4	orbi1d 929	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
6	3, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
7		oveq2 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
8	7	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃))
9		eleq1 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
10	9	orbi2d 928	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
11	8, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))))
12		prmidlprop.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13		prmidlprop.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlprop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		prmidlprop.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	14, 15	isprmidlc 21434	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
17	16	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
18	12, 13, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
19	18	simp3d 1160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
20		prmidlprop.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		prmidlprop.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	6, 11, 19, 20, 21	rspc2dv 3599	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
23	1, 22	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  CRingccrg 20307  LIdealclidl 21299  PrmIdealcprmidl 21422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-subrg 20646  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-rsp 21302  df-prmidl 21423

This theorem is referenced by:  prmidlsubm  21447