Theorem prmidlprop 21455

Description: Property of prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlprop.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlprop.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
prmidlprop.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlprop.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
prmidlprop.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prmidlprop.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
prmidlprop.7	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prmidlprop	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlprop

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlprop.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)
2		oveq1 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
3	2	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃))
4		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ 𝑃))
5	4	orbi1d 929	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
6	3, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
7		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
8	7	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃))
9		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
10	9	orbi2d 928	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
11	8, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))))
12		prmidlprop.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13		prmidlprop.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlprop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		prmidlprop.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	14, 15	isprmidlc 21451	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
17	16	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
18	12, 13, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
19	18	simp3d 1160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
20		prmidlprop.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		prmidlprop.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	6, 11, 19, 20, 21	rspc2dv 3595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
23	1, 22	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  CRingccrg 20315  LIdealclidl 21309  PrmIdealcprmidl 21439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-prmidl 21440

This theorem is referenced by:  prmidlsubm  21466