Theorem prmidlprop 21633

Description: Property of prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlprop.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlprop.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
prmidlprop.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlprop.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
prmidlprop.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prmidlprop.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
prmidlprop.7	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prmidlprop	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlprop

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlprop.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)
2		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
3	2	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃))
4		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ 𝑃))
5	4	orbi1d 930	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
6	3, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
7		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
8	7	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃))
9		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
10	9	orbi2d 929	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
11	8, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))))
12		prmidlprop.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13		prmidlprop.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlprop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		prmidlprop.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	14, 15	isprmidlc 21629	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
17	16	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
18	12, 13, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
19	18	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
20		prmidlprop.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		prmidlprop.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	6, 11, 19, 20, 21	rspc2dv 3590	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
23	1, 22	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  ._rcmulr 17430  CRingccrg 20461  LIdealclidl 21485  PrmIdealcprmidl 21617

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-lidl 21487  df-rsp 21488  df-prmidl 21618

This theorem is used by:  prmidlsubm  21644