Theorem prmidlprop 21487

Description: Property of prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlprop.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlprop.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
prmidlprop.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlprop.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
prmidlprop.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prmidlprop.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
prmidlprop.7	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prmidlprop	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlprop

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlprop.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)
2		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
3	2	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃))
4		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ 𝑃))
5	4	orbi1d 929	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
6	3, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
7		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
8	7	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃))
9		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
10	9	orbi2d 928	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
11	8, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))))
12		prmidlprop.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13		prmidlprop.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlprop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		prmidlprop.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	14, 15	isprmidlc 21483	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
17	16	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
18	12, 13, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
19	18	simp3d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
20		prmidlprop.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		prmidlprop.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	6, 11, 19, 20, 21	rspc2dv 3595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
23	1, 22	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 860   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  CRingccrg 20322  LIdealclidl 21341  PrmIdealcprmidl 21471

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343  df-rsp 21344  df-prmidl 21472

This theorem is used by:  prmidlsubm  21498