Theorem prmidlprop 21594

Description: Property of prime ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmidlprop.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
prmidlprop.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
prmidlprop.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
prmidlprop.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
prmidlprop.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
prmidlprop.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
prmidlprop.7	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
prmidlprop	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

Proof of Theorem prmidlprop

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmidlprop.7	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃)
2		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑏))
3	2	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃))
4		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ 𝑃))
5	4	orbi1d 930	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
6	3, 5	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
7		oveq2 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑏) = (𝑋 · 𝑌))
8	7	eleq1d 2845	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃))
9		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (𝑏 ∈ 𝑃 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
10	9	orbi2d 929	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
11	8, 10	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))))
12		prmidlprop.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
13		prmidlprop.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
14		prmidlprop.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		prmidlprop.2	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	14, 15	isprmidlc 21590	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))))
17	16	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
18	12, 13, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃))))
19	18	simp3d 1162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ((𝑎 · 𝑏) ∈ 𝑃 → (𝑎 ∈ 𝑃 ∨ 𝑏 ∈ 𝑃)))
20		prmidlprop.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		prmidlprop.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	6, 11, 19, 20, 21	rspc2dv 3590	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑃 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃)))
23	1, 22	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ∨ 𝑌 ∈ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  ._rcmulr 17391  CRingccrg 20422  LIdealclidl 21446  PrmIdealcprmidl 21578

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-subg 19295  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-cring 20424  df-subrg 20784  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-lidl 21448  df-rsp 21449  df-prmidl 21579

This theorem is used by:  prmidlsubm  21605