MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubglem 20412
Description: Lemma for resubdrg 20570 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
cnsubglem.4 𝐵𝐴
Assertion
Ref Expression
cnsubglem 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnsubglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
21ssriv 3905 . 2 𝐴 ⊆ ℂ
3 cnsubglem.4 . . 3 𝐵𝐴
43ne0ii 4252 . 2 𝐴 ≠ ∅
5 cnsubglem.2 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
65ralrimiva 3105 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
7 cnfldneg 20389 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
9 cnsubglem.3 . . . . 5 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
108, 9eqeltrd 2838 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
116, 10jca 515 . . 3 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
1211rgen 3071 . 2 𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13 cnring 20385 . . 3 fld ∈ Ring
14 ringgrp 19567 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
15 cnfldbas 20367 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
16 cnfldadd 20368 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
17 eqid 2737 . . . 4 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
1815, 16, 17issubg2 18558 . . 3 (ℂfld ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
1913, 14, 18mp2b 10 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
202, 4, 12, 19mpbir3an 1343 1 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wss 3866  c0 4237  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727   + caddc 10732  -cneg 11063  Grpcgrp 18365  invgcminusg 18366  SubGrpcsubg 18537  Ringcrg 19562  fldccnfld 20363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540  df-cmn 19172  df-mgp 19505  df-ring 19564  df-cring 19565  df-cnfld 20364
This theorem is referenced by:  cnsubrglem  20413  zringmulg  20443  remulg  20569
  Copyright terms: Public domain W3C validator