Theorem cnsubglem 21577

Description: Lemma for resubdrg 21769 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubglem.4	⊢ 𝐵 ∈ 𝐴

Assertion

Ref	Expression
cnsubglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cnsubglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	ssriv 3940	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
3		cnsubglem.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐴
4	3	ne0ii 4296	. 2 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
5		cnsubglem.2	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
6	5	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
7		cnfldneg 21559	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
8	1, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
9		cnsubglem.3	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
10	8, 9	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
11	6, 10	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
12	11	rgen 3080	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13		cnring 21555	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
14		ringgrp 20326	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
15		cnfldbas 21537	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
16		cnfldadd 21539	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
17		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
18	15, 16, 17	issubg2 19214	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
19	13, 14, 18	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
20	2, 4, 12, 19	mpbir3an 1359	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104   + caddc 11109  -cneg 11448  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007  SubGrpcsubg 19192  Ringcrg 20321  ℂ_fldccnfld 21533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-cmn 19858  df-mgp 20223  df-ring 20323  df-cring 20324  df-cnfld 21534

This theorem is used by:  cnsubrglem  21578  zringsub  21616  zringmulg  21617  remulg  21768