MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubglem 21450
Description: Lemma for resubdrg 21643 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
cnsubglem.4 𝐵𝐴
Assertion
Ref Expression
cnsubglem 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnsubglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
21ssriv 3998 . 2 𝐴 ⊆ ℂ
3 cnsubglem.4 . . 3 𝐵𝐴
43ne0ii 4349 . 2 𝐴 ≠ ∅
5 cnsubglem.2 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
65ralrimiva 3143 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
7 cnfldneg 21425 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
9 cnsubglem.3 . . . . 5 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
108, 9eqeltrd 2838 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
116, 10jca 511 . . 3 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
1211rgen 3060 . 2 𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13 cnring 21420 . . 3 fld ∈ Ring
14 ringgrp 20255 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
15 cnfldbas 21385 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
16 cnfldadd 21387 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
17 eqid 2734 . . . 4 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
1815, 16, 17issubg2 19171 . . 3 (ℂfld ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
1913, 14, 18mp2b 10 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
202, 4, 12, 19mpbir3an 1340 1 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wss 3962  c0 4338  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150   + caddc 11155  -cneg 11490  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  SubGrpcsubg 19150  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-subg 19153  df-cmn 19814  df-mgp 20152  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382
This theorem is referenced by:  cnsubrglem  21451  cnsubrglemOLD  21452  zringsub  21483  zringmulg  21484  remulg  21642
  Copyright terms: Public domain W3C validator