Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr12 33577
Description: The determinant of a matrix with permuted rows and columns is the determinant of the original matrix multiplied by the product of the signs of the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr12.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗)))
mdetmptr12.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetmptr12.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetmptr12.m (𝜑𝑀𝐵)
mdetmptr12.p (𝜑𝑃𝐺)
mdetmptr12.q (𝜑𝑄𝐺)
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr12 (𝜑 → (𝐷𝑀) = ((𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑄))) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr12
Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetmptr12.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
2 mdetmptr12.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
3 mdetmptr12.m . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
4 mdetmptr12.p . . 3 (𝜑𝑃𝐺)
5 mdetpmtr.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 mdetpmtr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
7 mdetpmtr.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8 mdetpmtr.g . . . 4 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9 mdetpmtr.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
10 mdetpmtr.z . . . 4 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
11 mdetpmtr.t . . . 4 · = (.r𝑅)
12 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑃𝑘) = (𝑃𝑖))
1312oveq1d 7434 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃𝑘)𝑀𝑙) = ((𝑃𝑖)𝑀𝑙))
14 oveq2 7427 . . . . 5 (𝑙 = 𝑗 → ((𝑃𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
1513, 14cbvmpov 7515 . . . 4 (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15mdetpmtr1 33575 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙)))))
171, 2, 3, 4, 16syl22anc 837 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙)))))
18 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1943ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑃𝐺)
20 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑘𝑁)
21 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
2221, 8symgfv 19363 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐺𝑘𝑁) → (𝑃𝑘) ∈ 𝑁)
2319, 20, 22syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → (𝑃𝑘) ∈ 𝑁)
24 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑙𝑁)
2533ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → 𝑀𝐵)
265, 18, 6, 23, 24, 25matecld 22389 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑁𝑙𝑁) → ((𝑃𝑘)𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
275, 18, 6, 2, 1, 26matbas2d 22386 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵)
28 mdetmptr12.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐺)
29 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗)))
305, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29mdetpmtr2 33576 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ ((𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵𝑄𝐺)) → (𝐷‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗))))))
311, 2, 27, 28, 30syl22anc 837 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗))))))
32 mdetpmtr12.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗)))
33 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
34283ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑄𝐺)
35 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
3621, 8symgfv 19363 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝐺𝑗𝑁) → (𝑄𝑗) ∈ 𝑁)
3734, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑄𝑗) ∈ 𝑁)
38 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = (𝑄𝑗) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗)))
39 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))
40 ovex 7452 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗)) ∈ V
4113, 38, 39, 40ovmpo 7581 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝑁 ∧ (𝑄𝑗) ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗)) = ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗)))
4233, 37, 41syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗)) = ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗)))
4342mpoeq3dva 7497 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗))))
4432, 43eqtr4id 2784 . . . . . 6 (𝜑𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗))))
4544fveq2d 6900 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐸) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗)))))
4645oveq2d 7435 . . . 4 (𝜑 → (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑖(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))(𝑄𝑗))))))
4731, 46eqtr4d 2768 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷𝐸)))
4847oveq2d 7435 . 2 (𝜑 → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘𝑁, 𝑙𝑁 ↦ ((𝑃𝑘)𝑀𝑙)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷𝐸))))
49 crngring 20214 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
501, 49syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
518, 9, 10zrhcopsgnelbas 21561 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
5250, 2, 4, 51syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
538, 9, 10zrhcopsgnelbas 21561 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
5450, 2, 28, 53syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑍𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
5543ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
5621, 8symgfv 19363 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝐺𝑖𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
5755, 33, 56syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
5833ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
595, 18, 6, 57, 37, 58matecld 22389 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
605, 18, 6, 2, 1, 59matbas2d 22386 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀(𝑄𝑗))) ∈ 𝐵)
6132, 60eqeltrid 2829 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐵)
627, 5, 6, 18mdetcl 22559 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸𝐵) → (𝐷𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
631, 61, 62syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
6418, 11ringass 20222 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐷𝐸) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑄)) · (𝐷𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷𝐸))))
6550, 52, 54, 63, 64syl13anc 1369 . . 3 (𝜑 → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑄)) · (𝐷𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷𝐸))))
668, 9cofipsgn 21559 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
672, 4, 66syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
688, 9cofipsgn 21559 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆𝑄)))
692, 28, 68syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆𝑄)))
7067, 69oveq12d 7437 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑄)) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑄))))
7110zrhrhm 21471 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
7250, 71syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
73 1z 12630 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
74 neg1z 12636 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
75 prssi 4826 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
7673, 74, 75mp2an 690 . . . . . . 7 {1, -1} ⊆ ℤ
778, 9psgnran 19499 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
782, 4, 77syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
7976, 78sselid 3974 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑃) ∈ ℤ)
808, 9psgnran 19499 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝐺) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
812, 28, 80syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
8276, 81sselid 3974 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
83 zringbas 21413 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
84 zringmulr 21417 . . . . . . 7 · = (.r‘ℤring)
8583, 84, 11rhmmul 20454 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑄) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑄))))
8672, 79, 82, 85syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑄))))
8770, 86eqtr4d 2768 . . . 4 (𝜑 → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑄)) = (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑄))))
8887oveq1d 7434 . . 3 (𝜑 → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑄)) · (𝐷𝐸)) = ((𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑄))) · (𝐷𝐸)))
8965, 88eqtr3d 2767 . 2 (𝜑 → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑄) · (𝐷𝐸))) = ((𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑄))) · (𝐷𝐸)))
9017, 48, 893eqtrd 2769 1 (𝜑 → (𝐷𝑀) = ((𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑄))) · (𝐷𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944  {cpr 4632  ccom 5682  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  Fincfn 8964  1c1 11146   · cmul 11150  -cneg 11482  cz 12596  Basecbs 17199  .rcmulr 17253  SymGrpcsymg 19350  pmSgncpsgn 19473  Ringcrg 20202  CRingccrg 20203   RingHom crh 20437  ringczring 21406  ℤRHomczrh 21459   Mat cmat 22368   maDet cmdat 22547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-addf 11224  ax-mulf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-word 14509  df-lsw 14557  df-concat 14565  df-s1 14590  df-substr 14635  df-pfx 14665  df-splice 14744  df-reverse 14753  df-s2 14843  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-hom 17276  df-cco 17277  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-efmnd 18845  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-mulg 19048  df-subg 19103  df-ghm 19193  df-gim 19239  df-cntz 19297  df-oppg 19326  df-symg 19351  df-pmtr 19426  df-psgn 19475  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-cring 20205  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-rhm 20440  df-subrng 20512  df-subrg 20537  df-drng 20655  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21314  df-zring 21407  df-zrh 21463  df-dsmm 21700  df-frlm 21715  df-mat 22369  df-mdet 22548
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  33579
  Copyright terms: Public domain W3C validator