Theorem mdetpmtr12 34156

Description: The determinant of a matrix with permuted rows and columns is the determinant of the original matrix multiplied by the product of the signs of the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetpmtr12.e	⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
mdetmptr12.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetmptr12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetmptr12.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
mdetmptr12.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
mdetmptr12.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr12	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr12

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetmptr12.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		mdetmptr12.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mdetmptr12.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		mdetmptr12.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
5		mdetpmtr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		mdetpmtr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7		mdetpmtr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetpmtr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9		mdetpmtr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
10		mdetpmtr.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
11		mdetpmtr.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
13	12	oveq1d 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙))
14		oveq2 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
15	13, 14	cbvmpov 7503	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	mdetpmtr1 34154	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
17	1, 2, 3, 4, 16	syl22anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
18		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	4	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
20		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
21		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
22	21, 8	symgfv 19446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
23	19, 20, 22	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
24		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
25	3	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
26	5, 18, 6, 23, 24, 25	matecld 22548	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
27	5, 18, 6, 2, 1, 26	matbas2d 22545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵)
28		mdetmptr12.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)
29		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))
30	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29	mdetpmtr2 34155	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ ((𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
31	1, 2, 27, 28, 30	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
32		mdetpmtr12.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
33		simp2 1153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34	28	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑄 ∈ 𝐺)
35		simp3 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
36	21, 8	symgfv 19446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐺 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
37	34, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
38		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = (𝑄‘𝑗) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
39		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))
40		ovex 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ V
41	13, 38, 39, 40	ovmpo 7568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
42	33, 37, 41	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
43	42	mpoeq3dva 7485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))))
44	32, 43	eqtr4id 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))
45	44	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))))
46	45	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
47	31, 46	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)))
48	47	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
49		crngring 20323	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
50	1, 49	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
51	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 21710	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
52	50, 2, 4, 51	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
53	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 21710	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 2, 28, 53	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
55	4	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
56	21, 8	symgfv 19446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
57	55, 33, 56	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
58	3	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
59	5, 18, 6, 57, 37, 58	matecld 22548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
60	5, 18, 6, 2, 1, 59	matbas2d 22545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))) ∈ 𝐵)
61	32, 60	eqeltrid 2873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
62	7, 5, 6, 18	mdetcl 22718	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
63	1, 61, 62	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
64	18, 11	ringass 20331	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
65	50, 52, 54, 63, 64	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
66	8, 9	cofipsgn 21708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
67	2, 4, 66	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
68	8, 9	cofipsgn 21708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
69	2, 28, 68	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
70	67, 69	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
71	10	zrhrhm 21626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
72	50, 71	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
73		1z 12620	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
74		neg1z 12626	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		prssi 4788	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
76	73, 74, 75	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
77	8, 9	psgnran 19581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
78	2, 4, 77	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
79	76, 78	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ)
80	8, 9	psgnran 19581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
81	2, 28, 80	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
82	76, 81	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
83		zringbas 21568	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
84		zringmulr 21572	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
85	83, 84, 11	rhmmul 20564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
86	72, 79, 82, 85	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
87	70, 86	eqtr4d 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))))
88	87	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
89	65, 88	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
90	17, 48, 89	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {cpr 4593   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Fincfn 8939  1c1 11097   · cmul 11101  -cneg 11438  ℤcz 12587  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  SymGrpcsymg 19435  pmSgncpsgn 19555  Ringcrg 20311  CRingccrg 20312   RingHom crh 20547  ℤ_ringczring 21561  ℤRHomczrh 21614   Mat cmat 22529   maDet cmdat 22706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-xor 1539  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14783  df-reverse 14792  df-s2 14881  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-efmnd 18924  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-gim 19325  df-cntz 19383  df-oppg 19412  df-symg 19436  df-pmtr 19508  df-psgn 19557  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-cnfld 21488  df-zring 21562  df-zrh 21618  df-dsmm 21847  df-frlm 21862  df-mat 22530  df-mdet 22707

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  34158