Theorem mdetpmtr12 34002

Description: The determinant of a matrix with permuted rows and columns is the determinant of the original matrix multiplied by the product of the signs of the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetpmtr12.e	⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
mdetmptr12.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetmptr12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetmptr12.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
mdetmptr12.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
mdetmptr12.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr12	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr12

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetmptr12.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		mdetmptr12.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mdetmptr12.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		mdetmptr12.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
5		mdetpmtr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		mdetpmtr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7		mdetpmtr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetpmtr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9		mdetpmtr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
10		mdetpmtr.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
11		mdetpmtr.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
13	12	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙))
14		oveq2 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
15	13, 14	cbvmpov 7463	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	mdetpmtr1 34000	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
17	1, 2, 3, 4, 16	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
20		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
21		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
22	21, 8	symgfv 19321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
23	19, 20, 22	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
24		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
25	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
26	5, 18, 6, 23, 24, 25	matecld 22382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
27	5, 18, 6, 2, 1, 26	matbas2d 22379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵)
28		mdetmptr12.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)
29		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))
30	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29	mdetpmtr2 34001	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ ((𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
31	1, 2, 27, 28, 30	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
32		mdetpmtr12.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
33		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34	28	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑄 ∈ 𝐺)
35		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
36	21, 8	symgfv 19321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐺 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
37	34, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
38		oveq2 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = (𝑄‘𝑗) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
39		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))
40		ovex 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ V
41	13, 38, 39, 40	ovmpo 7528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
42	33, 37, 41	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
43	42	mpoeq3dva 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))))
44	32, 43	eqtr4id 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))
45	44	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))))
46	45	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
47	31, 46	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)))
48	47	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
49		crngring 20192	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
50	1, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
51	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 21562	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
52	50, 2, 4, 51	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
53	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 21562	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 2, 28, 53	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
55	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
56	21, 8	symgfv 19321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
57	55, 33, 56	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
58	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
59	5, 18, 6, 57, 37, 58	matecld 22382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
60	5, 18, 6, 2, 1, 59	matbas2d 22379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))) ∈ 𝐵)
61	32, 60	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
62	7, 5, 6, 18	mdetcl 22552	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
63	1, 61, 62	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
64	18, 11	ringass 20200	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
65	50, 52, 54, 63, 64	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
66	8, 9	cofipsgn 21560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
67	2, 4, 66	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
68	8, 9	cofipsgn 21560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
69	2, 28, 68	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
70	67, 69	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
71	10	zrhrhm 21478	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
72	50, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
73		1z 12533	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
74		neg1z 12539	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		prssi 4779	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
76	73, 74, 75	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
77	8, 9	psgnran 19456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
78	2, 4, 77	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
79	76, 78	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ)
80	8, 9	psgnran 19456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
81	2, 28, 80	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
82	76, 81	sselid 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
83		zringbas 21420	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
84		zringmulr 21424	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
85	83, 84, 11	rhmmul 20433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
86	72, 79, 82, 85	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
87	70, 86	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))))
88	87	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
89	65, 88	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
90	17, 48, 89	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {cpr 4584   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Fincfn 8895  1c1 11039   · cmul 11043  -cneg 11377  ℤcz 12500  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  SymGrpcsymg 19310  pmSgncpsgn 19430  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20417  ℤ_ringczring 21413  ℤRHomczrh 21466   Mat cmat 22363   maDet cmdat 22540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-reverse 14694  df-s2 14783  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-efmnd 18806  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-symg 19311  df-pmtr 19383  df-psgn 19432  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-mat 22364  df-mdet 22541

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  34004