Theorem mdetpmtr12 31771

Description: The determinant of a matrix with permuted rows and columns is the determinant of the original matrix multiplied by the product of the signs of the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetpmtr12.e	⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
mdetmptr12.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetmptr12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetmptr12.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
mdetmptr12.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
mdetmptr12.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr12	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr12

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetmptr12.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		mdetmptr12.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mdetmptr12.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		mdetmptr12.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
5		mdetpmtr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		mdetpmtr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7		mdetpmtr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetpmtr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9		mdetpmtr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
10		mdetpmtr.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
11		mdetpmtr.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		fveq2 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
13	12	oveq1d 7286	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙))
14		oveq2 7279	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
15	13, 14	cbvmpov 7364	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	mdetpmtr1 31769	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
17	1, 2, 3, 4, 16	syl22anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
18		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	4	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
20		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
21		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
22	21, 8	symgfv 18985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
23	19, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
24		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
25	3	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
26	5, 18, 6, 23, 24, 25	matecld 21573	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
27	5, 18, 6, 2, 1, 26	matbas2d 21570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵)
28		mdetmptr12.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)
29		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))
30	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29	mdetpmtr2 31770	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ ((𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
31	1, 2, 27, 28, 30	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
32		mdetpmtr12.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
33		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34	28	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑄 ∈ 𝐺)
35		simp3 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
36	21, 8	symgfv 18985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐺 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
38		oveq2 7279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = (𝑄‘𝑗) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
39		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))
40		ovex 7304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ V
41	13, 38, 39, 40	ovmpo 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
42	33, 37, 41	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
43	42	mpoeq3dva 7346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))))
44	32, 43	eqtr4id 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))
45	44	fveq2d 6775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))))
46	45	oveq2d 7287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
47	31, 46	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)))
48	47	oveq2d 7287	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
49		crngring 19793	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
50	1, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
51	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 20798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
52	50, 2, 4, 51	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
53	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 20798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 2, 28, 53	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
55	4	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
56	21, 8	symgfv 18985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
57	55, 33, 56	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
58	3	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
59	5, 18, 6, 57, 37, 58	matecld 21573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
60	5, 18, 6, 2, 1, 59	matbas2d 21570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))) ∈ 𝐵)
61	32, 60	eqeltrid 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
62	7, 5, 6, 18	mdetcl 21743	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
63	1, 61, 62	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
64	18, 11	ringass 19801	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
65	50, 52, 54, 63, 64	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
66	8, 9	cofipsgn 20796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
67	2, 4, 66	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
68	8, 9	cofipsgn 20796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
69	2, 28, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
70	67, 69	oveq12d 7289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
71	10	zrhrhm 20711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
72	50, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
73		1z 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
74		neg1z 12356	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		prssi 4760	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
76	73, 74, 75	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
77	8, 9	psgnran 19121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
78	2, 4, 77	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
79	76, 78	sselid 3924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ)
80	8, 9	psgnran 19121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
81	2, 28, 80	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
82	76, 81	sselid 3924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
83		zringbas 20674	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
84		zringmulr 20677	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
85	83, 84, 11	rhmmul 19969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
86	72, 79, 82, 85	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
87	70, 86	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))))
88	87	oveq1d 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
89	65, 88	eqtr3d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
90	17, 48, 89	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3892  {cpr 4569   ∘ ccom 5594  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ∈ cmpo 7273  Fincfn 8716  1c1 10873   · cmul 10877  -cneg 11206  ℤcz 12319  Basecbs 16910  ._rcmulr 16961  SymGrpcsymg 18972  pmSgncpsgn 19095  Ringcrg 19781  CRingccrg 19782   RingHom crh 19954  ℤ_ringczring 20668  ℤRHomczrh 20699   Mat cmat 21552   maDet cmdat 21731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-word 14216  df-lsw 14264  df-concat 14272  df-s1 14299  df-substr 14352  df-pfx 14382  df-splice 14461  df-reverse 14470  df-s2 14559  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-efmnd 18506  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-gim 18873  df-cntz 18921  df-oppg 18948  df-symg 18973  df-pmtr 19048  df-psgn 19097  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-rnghom 19957  df-drng 19991  df-subrg 20020  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-cnfld 20596  df-zring 20669  df-zrh 20703  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-mat 21553  df-mdet 21732

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  31773