Theorem mdetpmtr12 33824

Description: The determinant of a matrix with permuted rows and columns is the determinant of the original matrix multiplied by the product of the signs of the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetpmtr12.e	⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
mdetmptr12.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetmptr12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetmptr12.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
mdetmptr12.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
mdetmptr12.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr12	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr12

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetmptr12.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		mdetmptr12.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mdetmptr12.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		mdetmptr12.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
5		mdetpmtr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		mdetpmtr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7		mdetpmtr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetpmtr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9		mdetpmtr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
10		mdetpmtr.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
11		mdetpmtr.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
13	12	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙))
14		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
15	13, 14	cbvmpov 7528	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	mdetpmtr1 33822	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
17	1, 2, 3, 4, 16	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
18		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
20		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
21		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
22	21, 8	symgfv 19397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
23	19, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
24		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
25	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
26	5, 18, 6, 23, 24, 25	matecld 22432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
27	5, 18, 6, 2, 1, 26	matbas2d 22429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵)
28		mdetmptr12.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)
29		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))
30	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29	mdetpmtr2 33823	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ ((𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
31	1, 2, 27, 28, 30	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
32		mdetpmtr12.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
33		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34	28	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑄 ∈ 𝐺)
35		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
36	21, 8	symgfv 19397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐺 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
38		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = (𝑄‘𝑗) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
39		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))
40		ovex 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ V
41	13, 38, 39, 40	ovmpo 7593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
42	33, 37, 41	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
43	42	mpoeq3dva 7510	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))))
44	32, 43	eqtr4id 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))
45	44	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))))
46	45	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
47	31, 46	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)))
48	47	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
49		crngring 20242	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
50	1, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
51	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 21613	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
52	50, 2, 4, 51	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
53	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 21613	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 2, 28, 53	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
55	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
56	21, 8	symgfv 19397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
57	55, 33, 56	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
58	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
59	5, 18, 6, 57, 37, 58	matecld 22432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
60	5, 18, 6, 2, 1, 59	matbas2d 22429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))) ∈ 𝐵)
61	32, 60	eqeltrid 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
62	7, 5, 6, 18	mdetcl 22602	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
63	1, 61, 62	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
64	18, 11	ringass 20250	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
65	50, 52, 54, 63, 64	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
66	8, 9	cofipsgn 21611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
67	2, 4, 66	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
68	8, 9	cofipsgn 21611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
69	2, 28, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
70	67, 69	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
71	10	zrhrhm 21522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
72	50, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
73		1z 12647	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
74		neg1z 12653	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		prssi 4821	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
76	73, 74, 75	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
77	8, 9	psgnran 19533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
78	2, 4, 77	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
79	76, 78	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ)
80	8, 9	psgnran 19533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
81	2, 28, 80	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
82	76, 81	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
83		zringbas 21464	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
84		zringmulr 21468	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
85	83, 84, 11	rhmmul 20486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
86	72, 79, 82, 85	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
87	70, 86	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))))
88	87	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
89	65, 88	eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
90	17, 48, 89	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  {cpr 4628   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8985  1c1 11156   · cmul 11160  -cneg 11493  ℤcz 12613  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  ℤ_ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510   Mat cmat 22411   maDet cmdat 22590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412  df-mdet 22591

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  33826