Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetpmtr12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetpmtr12 32874
Description: The determinant of a matrix with permuted rows and columns is the determinant of the original matrix multiplied by the product of the signs of the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetpmtr.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetpmtr.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetpmtr.g ๐บ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetpmtr.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetpmtr.z ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetpmtr.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetpmtr12.e ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—)))
mdetmptr12.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetmptr12.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetmptr12.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
mdetmptr12.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
mdetmptr12.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐บ)
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr12 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐บ,๐‘—   ๐‘–,๐‘€,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘—   ๐‘…,๐‘–,๐‘—   ๐‘„,๐‘–,๐‘—   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–,๐‘—)   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ๐‘†(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘–,๐‘—)   ๐ธ(๐‘–,๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mdetpmtr12
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetmptr12.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
2 mdetmptr12.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
3 mdetmptr12.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
4 mdetmptr12.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
5 mdetpmtr.a . . . 4 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
6 mdetpmtr.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
7 mdetpmtr.d . . . 4 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
8 mdetpmtr.g . . . 4 ๐บ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
9 mdetpmtr.s . . . 4 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
10 mdetpmtr.z . . . 4 ๐‘ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
11 mdetpmtr.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
12 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) = (๐‘ƒโ€˜๐‘–))
1312oveq1d 7426 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘™))
14 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘™ = ๐‘— โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘™) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘—))
1513, 14cbvmpov 7506 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘—))
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15mdetpmtr1 32872 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™)))))
171, 2, 3, 4, 16syl22anc 837 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™)))))
18 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
1943ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
20 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘)
21 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (SymGrpโ€˜๐‘) = (SymGrpโ€˜๐‘)
2221, 8symgfv 19249 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐‘)
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘˜) โˆˆ ๐‘)
24 simp3 1138 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘™ โˆˆ ๐‘)
2533ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
265, 18, 6, 23, 24, 25matecld 21935 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘™ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
275, 18, 6, 2, 1, 26matbas2d 21932 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™)) โˆˆ ๐ต)
28 mdetmptr12.q . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐บ)
29 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—)))
305, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29mdetpmtr2 32873 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™)) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘„ โˆˆ ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—))))))
311, 2, 27, 28, 30syl22anc 837 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—))))))
32 mdetpmtr12.e . . . . . . 7 ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—)))
33 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
34283ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘„ โˆˆ ๐บ)
35 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
3621, 8symgfv 19249 . . . . . . . . . 10 ((๐‘„ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘—) โˆˆ ๐‘)
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜๐‘—) โˆˆ ๐‘)
38 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ = (๐‘„โ€˜๐‘—) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€๐‘™) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—)))
39 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))
40 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—)) โˆˆ V
4113, 38, 39, 40ovmpo 7570 . . . . . . . . 9 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘„โ€˜๐‘—) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—)) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—)))
4233, 37, 41syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—)) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—)))
4342mpoeq3dva 7488 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—))))
4432, 43eqtr4id 2791 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—))))
4544fveq2d 6895 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐ธ) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—)))))
4645oveq2d 7427 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))(๐‘„โ€˜๐‘—))))))
4731, 46eqtr4d 2775 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
4847oveq2d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐ทโ€˜(๐‘˜ โˆˆ ๐‘, ๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘˜)๐‘€๐‘™)))) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜๐ธ))))
49 crngring 20070 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
501, 49syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
518, 9, 10zrhcopsgnelbas 21154 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5250, 2, 4, 51syl3anc 1371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
538, 9, 10zrhcopsgnelbas 21154 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘„ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5450, 2, 28, 53syl3anc 1371 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5543ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ)
5621, 8symgfv 19249 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐บ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐‘)
5755, 33, 56syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐‘)
5833ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
595, 18, 6, 57, 37, 58matecld 21935 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
605, 18, 6, 2, 1, 59matbas2d 21932 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–)๐‘€(๐‘„โ€˜๐‘—))) โˆˆ ๐ต)
6132, 60eqeltrid 2837 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐ต)
627, 5, 6, 18mdetcl 22105 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐ธ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐ธ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
631, 61, 62syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐ธ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
6418, 11ringass 20078 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐ทโ€˜๐ธ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„)) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜๐ธ))))
6550, 52, 54, 63, 64syl13anc 1372 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„)) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)) = (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜๐ธ))))
668, 9cofipsgn 21152 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)))
672, 4, 66syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)))
688, 9cofipsgn 21152 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘„ โˆˆ ๐บ) โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘„)))
692, 28, 68syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘„)))
7067, 69oveq12d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„)) = ((๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘„))))
7110zrhrhm 21067 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
7250, 71syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…))
73 1z 12594 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค
74 neg1z 12600 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„ค
75 prssi 4824 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง -1 โˆˆ โ„ค) โ†’ {1, -1} โŠ† โ„ค)
7673, 74, 75mp2an 690 . . . . . . 7 {1, -1} โŠ† โ„ค
778, 9psgnran 19385 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ {1, -1})
782, 4, 77syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ {1, -1})
7976, 78sselid 3980 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค)
808, 9psgnran 19385 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘„ โˆˆ ๐บ) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘„) โˆˆ {1, -1})
812, 28, 80syl2anc 584 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘„) โˆˆ {1, -1})
8276, 81sselid 3980 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘„) โˆˆ โ„ค)
83 zringbas 21029 . . . . . . 7 โ„ค = (Baseโ€˜โ„คring)
84 zringmulr 21033 . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜โ„คring)
8583, 84, 11rhmmul 20268 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คring RingHom ๐‘…) โˆง (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘†โ€˜๐‘„) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) = ((๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘„))))
8672, 79, 82, 85syl3anc 1371 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) = ((๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘„))))
8770, 86eqtr4d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„)) = (๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))))
8887oveq1d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท ((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„)) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)) = ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
8965, 88eqtr3d 2774 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘ƒ) ยท (((๐‘ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘„) ยท (๐ทโ€˜๐ธ))) = ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
9017, 48, 893eqtrd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = ((๐‘โ€˜((๐‘†โ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘†โ€˜๐‘„))) ยท (๐ทโ€˜๐ธ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3948  {cpr 4630   โˆ˜ ccom 5680  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โˆˆ cmpo 7413  Fincfn 8941  1c1 11113   ยท cmul 11117  -cneg 11447  โ„คcz 12560  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  SymGrpcsymg 19236  pmSgncpsgn 19359  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059   RingHom crh 20252  โ„คringczring 21023  โ„คRHomczrh 21055   Mat cmat 21914   maDet cmdat 22093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-efmnd 18752  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-symg 19237  df-pmtr 19312  df-psgn 19361  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mat 21915  df-mdet 22094
This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  32876
  Copyright terms: Public domain W3C validator