Theorem mdetpmtr12 33910

Description: The determinant of a matrix with permuted rows and columns is the determinant of the original matrix multiplied by the product of the signs of the permutations. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetpmtr.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g	⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z	⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetpmtr12.e	⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
mdetmptr12.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetmptr12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetmptr12.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
mdetmptr12.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
mdetmptr12.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mdetpmtr12	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑄,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr12

Dummy variables 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetmptr12.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		mdetmptr12.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
3		mdetmptr12.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		mdetmptr12.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐺)
5		mdetpmtr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		mdetpmtr.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7		mdetpmtr.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetpmtr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9		mdetpmtr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
10		mdetpmtr.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
11		mdetpmtr.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑖))
13	12	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙))
14		oveq2 7363	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
15	13, 14	cbvmpov 7450	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑗))
16	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	mdetpmtr1 33908	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
17	1, 2, 3, 4, 16	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))))
18		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
20		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
21		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
22	21, 8	symgfv 19300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
23	19, 20, 22	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑘) ∈ 𝑁)
24		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑙 ∈ 𝑁)
25	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
26	5, 18, 6, 23, 24, 25	matecld 22361	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑙 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
27	5, 18, 6, 2, 1, 26	matbas2d 22358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵)
28		mdetmptr12.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐺)
29		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))
30	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 29	mdetpmtr2 33909	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ ((𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐺)) → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
31	1, 2, 27, 28, 30	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
32		mdetpmtr12.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
33		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
34	28	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑄 ∈ 𝐺)
35		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
36	21, 8	symgfv 19300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝐺 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁)
38		oveq2 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = (𝑄‘𝑗) → ((𝑃‘𝑖)𝑀𝑙) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
39		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)) = (𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))
40		ovex 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ V
41	13, 38, 39, 40	ovmpo 7515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ (𝑄‘𝑗) ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
42	33, 37, 41	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)))
43	42	mpoeq3dva 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))))
44	32, 43	eqtr4id 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))
45	44	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗)))))
46	45	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))(𝑄‘𝑗))))))
47	31, 46	eqtr4d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸)))
48	47	oveq2d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (𝐷‘(𝑘 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑘)𝑀𝑙)))) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
49		crngring 20171	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
50	1, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
51	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 21541	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
52	50, 2, 4, 51	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
53	8, 9, 10	zrhcopsgnelbas 21541	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
54	50, 2, 28, 53	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))
55	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ 𝐺)
56	21, 8	symgfv 19300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐺 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
57	55, 33, 56	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃‘𝑖) ∈ 𝑁)
58	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
59	5, 18, 6, 57, 37, 58	matecld 22361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
60	5, 18, 6, 2, 1, 59	matbas2d 22358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑃‘𝑖)𝑀(𝑄‘𝑗))) ∈ 𝐵)
61	32, 60	eqeltrid 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
62	7, 5, 6, 18	mdetcl 22531	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
63	1, 61, 62	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))
64	18, 11	ringass 20179	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐷‘𝐸) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
65	50, 52, 54, 63, 64	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))))
66	8, 9	cofipsgn 21539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
67	2, 4, 66	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆‘𝑃)))
68	8, 9	cofipsgn 21539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
69	2, 28, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑍‘(𝑆‘𝑄)))
70	67, 69	oveq12d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
71	10	zrhrhm 21457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
72	50, 71	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
73		1z 12512	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
74		neg1z 12518	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
75		prssi 4774	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
76	73, 74, 75	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
77	8, 9	psgnran 19435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
78	2, 4, 77	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ {1, -1})
79	76, 78	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ)
80	8, 9	psgnran 19435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐺) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
81	2, 28, 80	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
82	76, 81	sselid 3928	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
83		zringbas 21399	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
84		zringmulr 21403	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℤring)
85	83, 84, 11	rhmmul 20412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
86	72, 79, 82, 85	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) = ((𝑍‘(𝑆‘𝑃)) · (𝑍‘(𝑆‘𝑄))))
87	70, 86	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) = (𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))))
88	87	oveq1d 7370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · ((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄)) · (𝐷‘𝐸)) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
89	65, 88	eqtr3d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑃) · (((𝑍 ∘ 𝑆)‘𝑄) · (𝐷‘𝐸))) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))
90	17, 48, 89	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑀) = ((𝑍‘((𝑆‘𝑃) · (𝑆‘𝑄))) · (𝐷‘𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  {cpr 4579   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357  Fincfn 8879  1c1 11018   · cmul 11022  -cneg 11356  ℤcz 12479  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169  SymGrpcsymg 19289  pmSgncpsgn 19409  Ringcrg 20159  CRingccrg 20160   RingHom crh 20396  ℤ_ringczring 21392  ℤRHomczrh 21445   Mat cmat 22342   maDet cmdat 22519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-addf 11096  ax-mulf 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-word 14428  df-lsw 14477  df-concat 14485  df-s1 14511  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-splice 14664  df-reverse 14673  df-s2 14762  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-efmnd 18785  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-gim 19179  df-cntz 19237  df-oppg 19266  df-symg 19290  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-drng 20655  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-cnfld 21301  df-zring 21393  df-zrh 21449  df-dsmm 21678  df-frlm 21693  df-mat 22343  df-mdet 22520

This theorem is referenced by:  madjusmdetlem1  33912