MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpsgnelbas 21487
Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnelbas.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnelbas.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnelbas.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnelbas ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem zrhpsgnelbas
StepHypRef Expression
1 zrhpsgnelbas.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 zrhpsgnelbas.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
31, 2psgnran 19435 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
433adant1 1127 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
5 elpri 4645 . . 3 ((𝑆𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑆𝑄) = 1 ∨ (𝑆𝑄) = -1))
6 zrhpsgnelbas.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
86, 7zrh1 21399 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = (1r𝑅))
9 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
109, 7ringidcl 20165 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
118, 10eqeltrd 2827 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
12113ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
13 fveq2 6885 . . . . . 6 ((𝑆𝑄) = 1 → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (𝑌‘1))
1413eleq1d 2812 . . . . 5 ((𝑆𝑄) = 1 → ((𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅)))
1512, 14imbitrrid 245 . . . 4 ((𝑆𝑄) = 1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
16 neg1z 12602 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
17 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.g𝑅) = (.g𝑅)
186, 17, 7zrhmulg 21396 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑌‘-1) = (-1(.g𝑅)(1r𝑅)))
1916, 18mpan2 688 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (-1(.g𝑅)(1r𝑅)))
20 ringgrp 20143 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → -1 ∈ ℤ)
229, 17, 20, 21, 10mulgcld 19023 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g𝑅)(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
2319, 22eqeltrd 2827 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
24233ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
25 fveq2 6885 . . . . . 6 ((𝑆𝑄) = -1 → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (𝑌‘-1))
2625eleq1d 2812 . . . . 5 ((𝑆𝑄) = -1 → ((𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅)))
2724, 26imbitrrid 245 . . . 4 ((𝑆𝑄) = -1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
2815, 27jaoi 854 . . 3 (((𝑆𝑄) = 1 ∨ (𝑆𝑄) = -1) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
295, 28syl 17 . 2 ((𝑆𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
304, 29mpcom 38 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cpr 4625  cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  1c1 11113  -cneg 11449  cz 12562  Basecbs 17153  .gcmg 18995  SymGrpcsymg 19286  pmSgncpsgn 19409  1rcur 20086  Ringcrg 20138  ℤRHomczrh 21386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390
This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  21488  m2detleib  22488  mdetpmtr1  33333
  Copyright terms: Public domain W3C validator