Theorem zrhpsgnelbas 21836

Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnelbas.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnelbas.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnelbas.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnelbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem zrhpsgnelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhpsgnelbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		zrhpsgnelbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3	1, 2	psgnran 19665	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
4	3	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
5		elpri 4608	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑆‘𝑄) = 1 ∨ (𝑆‘𝑄) = -1))
6		zrhpsgnelbas.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
7		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	zrh1 21754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = (1r‘𝑅))
9		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 7	ringidcl 20430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 10	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
13		fveq2 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝑌‘1))
14	13	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → ((𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅)))
15	12, 14	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
16		neg1z 12676	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
18	6, 17, 7	zrhmulg 21751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑌‘-1) = (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
19	16, 18	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
20		ringgrp 20400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
21	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → -1 ∈ ℤ)
22	9, 17, 20, 21, 10	mulgcld 19242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
23	19, 22	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
25		fveq2 6880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝑌‘-1))
26	25	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → ((𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅)))
27	24, 26	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
28	15, 27	jaoi 871	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑄) = 1 ∨ (𝑆‘𝑄) = -1) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
29	5, 28	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
30	4, 29	mpcom 39	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4586  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  Fincfn 8956  1c1 11147  -cneg 11488  ℤcz 12637  Basecbs 17323  ._gcmg 19213  SymGrpcsymg 19519  pmSgncpsgn 19639  1_rcur 20343  Ringcrg 20395  ℤRHomczrh 21741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9966  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-4 12351  df-5 12352  df-6 12353  df-7 12354  df-8 12355  df-9 12356  df-n0 12551  df-xnn0 12624  df-z 12638  df-dec 12759  df-uz 12910  df-rp 13065  df-fz 13584  df-fzo 13732  df-seq 14088  df-exp 14148  df-hash 14417  df-word 14601  df-lsw 14650  df-concat 14658  df-s1 14685  df-substr 14731  df-pfx 14763  df-splice 14841  df-reverse 14850  df-s2 14941  df-struct 17261  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-ress 17345  df-plusg 17377  df-mulr 17378  df-starv 17379  df-tset 17383  df-ple 17384  df-ds 17386  df-unif 17387  df-0g 17548  df-gsum 17549  df-mre 17692  df-mrc 17693  df-acs 17695  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-mhm 18914  df-submnd 18915  df-efmnd 19001  df-grp 19083  df-minusg 19084  df-mulg 19214  df-subg 19269  df-ghm 19364  df-gim 19409  df-oppg 19496  df-symg 19520  df-pmtr 19592  df-psgn 19641  df-cmn 19932  df-abl 19933  df-mgp 20297  df-rng 20311  df-ur 20344  df-ring 20397  df-cring 20398  df-rhm 20638  df-subrng 20734  df-subrg 20758  df-cnfld 21615  df-zring 21689  df-zrh 21745

This theorem is used by:  zrhcopsgnelbas  21837  m2detleib  22882  mdetpmtr1  34363