MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpsgnelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpsgnelbas 20738
Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpsgnelbas.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnelbas.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnelbas.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhpsgnelbas ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem zrhpsgnelbas
StepHypRef Expression
1 zrhpsgnelbas.p . . . 4 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2 zrhpsgnelbas.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
31, 2psgnran 18643 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
433adant1 1127 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) ∈ {1, -1})
5 elpri 4572 . . 3 ((𝑆𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑆𝑄) = 1 ∨ (𝑆𝑄) = -1))
6 zrhpsgnelbas.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
7 eqid 2824 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
86, 7zrh1 20660 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = (1r𝑅))
9 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
109, 7ringidcl 19321 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
118, 10eqeltrd 2916 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
12113ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
13 fveq2 6661 . . . . . 6 ((𝑆𝑄) = 1 → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (𝑌‘1))
1413eleq1d 2900 . . . . 5 ((𝑆𝑄) = 1 → ((𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅)))
1512, 14syl5ibr 249 . . . 4 ((𝑆𝑄) = 1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
16 neg1z 12015 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
17 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (.g𝑅) = (.g𝑅)
186, 17, 7zrhmulg 20657 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑌‘-1) = (-1(.g𝑅)(1r𝑅)))
1916, 18mpan2 690 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (-1(.g𝑅)(1r𝑅)))
20 ringgrp 19302 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2116a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → -1 ∈ ℤ)
229, 17, 20, 21, 10mulgcld 18249 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g𝑅)(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
2319, 22eqeltrd 2916 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
24233ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
25 fveq2 6661 . . . . . 6 ((𝑆𝑄) = -1 → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (𝑌‘-1))
2625eleq1d 2900 . . . . 5 ((𝑆𝑄) = -1 → ((𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅)))
2724, 26syl5ibr 249 . . . 4 ((𝑆𝑄) = -1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
2815, 27jaoi 854 . . 3 (((𝑆𝑄) = 1 ∨ (𝑆𝑄) = -1) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
295, 28syl 17 . 2 ((𝑆𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
304, 29mpcom 38 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  {cpr 4552  cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  1c1 10536  -cneg 10869  cz 11978  Basecbs 16483  .gcmg 18224  SymGrpcsymg 18495  pmSgncpsgn 18617  1rcur 19251  Ringcrg 19297  ℤRHomczrh 20647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-word 13867  df-lsw 13915  df-concat 13923  df-s1 13950  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-reverse 14121  df-s2 14210  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-efmnd 18034  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-oppg 18474  df-symg 18496  df-pmtr 18570  df-psgn 18619  df-cmn 18908  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-rnghom 19470  df-subrg 19533  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651
This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  20739  m2detleib  21240  mdetpmtr1  31148
  Copyright terms: Public domain W3C validator