Theorem zrhpsgnelbas 21612

Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnelbas.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnelbas.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnelbas.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnelbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem zrhpsgnelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhpsgnelbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		zrhpsgnelbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3	1, 2	psgnran 19533	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
4	3	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
5		elpri 4649	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑆‘𝑄) = 1 ∨ (𝑆‘𝑄) = -1))
6		zrhpsgnelbas.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	zrh1 21523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = (1r‘𝑅))
9		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 7	ringidcl 20262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 10	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
13		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝑌‘1))
14	13	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → ((𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅)))
15	12, 14	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
16		neg1z 12653	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
18	6, 17, 7	zrhmulg 21520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑌‘-1) = (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
19	16, 18	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
20		ringgrp 20235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
21	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → -1 ∈ ℤ)
22	9, 17, 20, 21, 10	mulgcld 19114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
23	19, 22	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
25		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝑌‘-1))
26	25	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → ((𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅)))
27	24, 26	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
28	15, 27	jaoi 858	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑄) = 1 ∨ (𝑆‘𝑄) = -1) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
29	5, 28	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
30	4, 29	mpcom 38	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cpr 4628  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156  -cneg 11493  ℤcz 12613  Basecbs 17247  ._gcmg 19085  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  ℤRHomczrh 21510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514

This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  21613  m2detleib  22637  mdetpmtr1  33822