Theorem zrhpsgnelbas 20440

Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnelbas.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnelbas.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnelbas.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnelbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem zrhpsgnelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhpsgnelbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		zrhpsgnelbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3	1, 2	psgnran 18405	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
4	3	3adant1 1110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1})
5		elpri 4463	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑆‘𝑄) = 1 ∨ (𝑆‘𝑄) = -1))
6		zrhpsgnelbas.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
7		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	zrh1 20362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) = (1r‘𝑅))
9		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	9, 7	ringidcl 19041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11	8, 10	eqeltrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
12	11	3ad2ant1 1113	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅))
13		fveq2 6499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝑌‘1))
14	13	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → ((𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘1) ∈ (Base‘𝑅)))
15	12, 14	syl5ibr 238	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = 1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
16		neg1z 11831	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
17		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
18	6, 17, 7	zrhmulg 20359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑌‘-1) = (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
19	16, 18	mpan2 678	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) = (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
20		ringgrp 19025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
21	16	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → -1 ∈ ℤ)
22	9, 17	mulgcl 18030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ -1 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
23	20, 21, 10, 22	syl3anc 1351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
24	19, 23	eqeltrd 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
25	24	3ad2ant1 1113	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅))
26		fveq2 6499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝑌‘-1))
27	26	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → ((𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅) ↔ (𝑌‘-1) ∈ (Base‘𝑅)))
28	25, 27	syl5ibr 238	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝑄) = -1 → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
29	15, 28	jaoi 843	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑄) = 1 ∨ (𝑆‘𝑄) = -1) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
30	5, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝑄) ∈ {1, -1} → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅)))
31	4, 30	mpcom 38	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {cpr 4443  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  Fincfn 8306  1c1 10336  -cneg 10671  ℤcz 11793  Basecbs 16339  Grpcgrp 17891  ._gcmg 18011  SymGrpcsymg 18266  pmSgncpsgn 18378  1_rcur 18974  Ringcrg 19020  ℤRHomczrh 20349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-xor 1489  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-ot 4450  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-word 13673  df-lsw 13726  df-concat 13734  df-s1 13759  df-substr 13804  df-pfx 13853  df-splice 13960  df-reverse 13978  df-s2 14072  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-gim 18170  df-oppg 18245  df-symg 18267  df-pmtr 18331  df-psgn 18380  df-cmn 18668  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-rnghom 19190  df-subrg 19256  df-cnfld 20248  df-zring 20320  df-zrh 20353

This theorem is referenced by:  zrhcopsgnelbas  20441  m2detleib  20944  mdetpmtr1  30736