Theorem zrhcopsgnelbas 20810

Description: Embedding of permutation signs into a ring results in an element of the ring. (Contributed by AV, 1-Jan-2019.) (Proof shortened by AV, 3-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpsgnelbas.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
zrhpsgnelbas.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
zrhpsgnelbas.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhcopsgnelbas	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem zrhcopsgnelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhpsgnelbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		zrhpsgnelbas.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3	1, 2	cofipsgn 20808	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
4	3	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
5		zrhpsgnelbas.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
6	1, 2, 5	zrhpsgnelbas 20809	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) ∈ (Base‘𝑅))
7	4, 6	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5588  ‘cfv 6426  Fincfn 8720  Basecbs 16922  SymGrpcsymg 18984  pmSgncpsgn 19107  Ringcrg 19793  ℤRHomczrh 20711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-addf 10960  ax-mulf 10961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-2o 8285  df-er 8485  df-map 8604  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-xnn0 12316  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-exp 13793  df-hash 14055  df-word 14228  df-lsw 14276  df-concat 14284  df-s1 14311  df-substr 14364  df-pfx 14394  df-splice 14473  df-reverse 14482  df-s2 14571  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-starv 16987  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-unif 16995  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-mhm 18440  df-submnd 18441  df-efmnd 18518  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-mulg 18711  df-subg 18762  df-ghm 18842  df-gim 18885  df-oppg 18960  df-symg 18985  df-pmtr 19060  df-psgn 19109  df-cmn 19398  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-cring 19796  df-rnghom 19969  df-subrg 20032  df-cnfld 20608  df-zring 20681  df-zrh 20715

This theorem is referenced by:  madetsmelbas  21623  madetsmelbas2  21624  mdet0pr  21751  smadiadetlem1a  21822  mdetpmtr12  31783