Theorem copsgndif 20789

Description: Embedding of permutation signs restricted to a set without a single element into a ring. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
copsgndif.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
copsgndif.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
copsgndif.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
copsgndif	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑌(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem copsgndif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copsgndif.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		copsgndif.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		copsgndif.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
4	1, 2, 3	psgndif 20788	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → (𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑆‘𝑄)))
5	4	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑆‘𝑄))
6	5	fveq2d 6772	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
7		diffi 8927	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
8	7	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
9		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
10		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
12	1, 9, 10, 11	symgfixelsi 19024	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
13	12	adantll 710	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
14	10, 3	cofipsgn 20779	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin ∧ (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))))
15	8, 13, 14	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))))
16		elrabi 3619	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → 𝑄 ∈ 𝑃)
17	1, 2	cofipsgn 20779	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
18	16, 17	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
19	18	adantlr 711	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
20	6, 15, 19	3eqtr4d 2789	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄))
21	20	ex 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3069   ∖ cdif 3888  {csn 4566   ↾ cres 5590   ∘ ccom 5592  ‘cfv 6430  Fincfn 8707  Basecbs 16893  SymGrpcsymg 18955  pmSgncpsgn 19078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-tpos 8026  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-word 14199  df-lsw 14247  df-concat 14255  df-s1 14282  df-substr 14335  df-pfx 14365  df-splice 14444  df-reverse 14453  df-s2 14542  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-tset 16962  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-efmnd 18489  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-gim 18856  df-oppg 18931  df-symg 18956  df-pmtr 19031  df-psgn 19080

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3  21798