Theorem copsgndif 20906

Description: Embedding of permutation signs restricted to a set without a single element into a ring. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
copsgndif.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
copsgndif.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
copsgndif.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
copsgndif	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑌(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem copsgndif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copsgndif.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		copsgndif.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		copsgndif.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
4	1, 2, 3	psgndif 20905	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → (𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑆‘𝑄)))
5	4	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑆‘𝑄))
6	5	fveq2d 6823	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
7		diffi 9036	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
8	7	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
12	1, 9, 10, 11	symgfixelsi 19131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
13	12	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
14	10, 3	cofipsgn 20896	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin ∧ (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))))
15	8, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))))
16		elrabi 3628	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → 𝑄 ∈ 𝑃)
17	1, 2	cofipsgn 20896	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
18	16, 17	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
19	18	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
20	6, 15, 19	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄))
21	20	ex 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403   ∖ cdif 3894  {csn 4572   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  ‘cfv 6473  Fincfn 8796  Basecbs 17001  SymGrpcsymg 19062  pmSgncpsgn 19185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-xnn0 12399  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-exp 13876  df-hash 14138  df-word 14310  df-lsw 14358  df-concat 14366  df-s1 14392  df-substr 14444  df-pfx 14474  df-splice 14553  df-reverse 14562  df-s2 14652  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-tset 17070  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-efmnd 18596  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-gim 18963  df-oppg 19038  df-symg 19063  df-pmtr 19138  df-psgn 19187

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3  21915