Theorem copsgndif 21542

Description: Embedding of permutation signs restricted to a set without a single element into a ring. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
copsgndif.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
copsgndif.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
copsgndif.z	⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))

Assertion

Ref	Expression
copsgndif	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄)))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑃,𝑞   𝑄,𝑞

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑌(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem copsgndif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		copsgndif.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2		copsgndif.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
3		copsgndif.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (pmSgn‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
4	1, 2, 3	psgndif 21541	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → (𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑆‘𝑄)))
5	4	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑆‘𝑄))
6	5	fveq2d 6832	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
7		diffi 9091	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
8	7	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin)
9		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} = {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}
10		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))) = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
11		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∖ {𝐾}) = (𝑁 ∖ {𝐾})
12	1, 9, 10, 11	symgfixelsi 19349	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
13	12	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))))
14	10, 3	cofipsgn 21532	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∖ {𝐾}) ∈ Fin ∧ (𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) ∈ (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))))
15	8, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = (𝑌‘(𝑍‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})))))
16		elrabi 3639	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → 𝑄 ∈ 𝑃)
17	1, 2	cofipsgn 21532	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
18	16, 17	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
19	18	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄) = (𝑌‘(𝑆‘𝑄)))
20	6, 15, 19	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄))
21	20	ex 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ((𝑌 ∘ 𝑍)‘(𝑄 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾}))) = ((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ∖ cdif 3895  {csn 4575   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  Fincfn 8875  Basecbs 17122  SymGrpcsymg 19283  pmSgncpsgn 19403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-word 14423  df-lsw 14472  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-splice 14659  df-reverse 14668  df-s2 14757  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-tset 17182  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-efmnd 18779  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-gim 19173  df-oppg 19260  df-symg 19284  df-pmtr 19356  df-psgn 19405

This theorem is referenced by:  smadiadetlem3  22584